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1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087
813812411210)(][4
1
==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E
81
)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224
1
22⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D
109.164
71
==
1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为
⎪
⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21
201)](2π
Αsin[0.500
)(x x x x x F
求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0 2 01)](2 π [cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞ ∞ -dx x f 得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞ ∞ -x x x A 2 1A = 35.04 2 )]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=< 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。 （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00 0e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤<=1110Α00 )(2 x x x x x F （3）0)]()([)(>--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00 0e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。 所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 求得，⎪⎩⎪⎨⎧<≥== -0 021)()(2 x x e dx x dF x f x （2）⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤<=1110Α00 )(2 x x x x x F 在A>0时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+成立，必须使A=1。 所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 同理，⎩⎨ ⎧<≥>==00 12)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足 1)(=⎰∞ ∞ -dx x f ，也必须使A=1。 所以，⎩⎨⎧<≥>==00 12)(x x x x f （3）0)] ()([)(>--=a a x u x u a x x F 上式可改写为00 0)]()([)(>⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=a a x a x u x u a x x F 其他 对于12x a x >>，)()(12x F x F ≥不成立。 所以，)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。 （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F 0)()]()([>---+=a a x u a x u x u a x 0120100>⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-<≤<=a x a x a a x x a x 当x a <时，不满足1)(0≤≤x F ，所以)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ⎪⎩⎪ ⎨⎧β≤≤αα-β=其他下0 1 )(x f ⎰ ⎰β α ∞ ∞β +α= α-β==2d d )(]E[-x x x x xf X )2(31 d d )(]E[222-2 2 β+β+α=α-β==⎰⎰β α ∞∞x x x x f x X 222-2)(12 1 ])X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-=⎰∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨ ⎧<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ⎩⎨⎧≤≤=其他0 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ⋅⋅⋅上均匀分布，且互相独立。若∑==n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101 )(⋅⋅⋅=⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧≤≤-=其它 n=2时，)()()(21y f y f y f X X Y *= 111)()()(21 dx x y f x f y f X X Y ⎰∞ ∞--= ⎰ -⋅-=b a dx a b a b 111 a b -= 1 同理，n=3时，)(y f Y a b -= 1 1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期
