山东省沂水县第一中学2018届高三下学期第1次模拟数学(文)试题

2018高三数学模拟试题（文）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合}54,3,1{},3,2,1{，==B A ,则B A 的子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．162. 已知点A （0,1），B （3,2），向量BC =（-7，-4）,则向量AC =( ) A.（-4，-3） B.（10,5） C.（-1,4） D.（3，4）3. 已知i 为虚数单位，复数z 满足2i (12i)z ⋅=-，则z =（ ） A ．43i -+ B ．23i -+ C ．23i + D ．43i --4. 有5张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为（ ）A.45 B.35 C.25 D.155.已知点P 在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 上，抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，若6PFQ π∠=，PFQ ∆F 到准线l 的距离为( )A.1C.36.已知偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数.若0.82121(log ),(log 3),(2)5a fb fc f -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<7. 《九章算术》中的 “两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休.则以上说法错误的个数是（ ）个A ． 0B ．1 C. 2 D ．38. 已知函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ ）[]()Z k k k A ∈++1610,162. []()Z k k k B ∈++1614,166.[]()Z k k k C ∈++-166,162. []()Z k k k D ∈++-162,166. 9. 在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )π4.A.(4B π π6.C.(5D π10.执行如下图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ．1 B. 12016- C. 12017- D.12018-11. 某多面体的三视图如下图所示，则该多面体的体积为（ ） A. 2 B.53C. 1D.212. 若存在()满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )A.B. 3[,)2e+∞ C. (,0)-∞ D.第II 卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 已知函数2log (),1()10,1||3x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪+⎩，若(0)2f =，则(2)a f +-=________ 14.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为28,224n m S a a a +==，1a =2，则2m S =15. 已知点P 和点Q 分别为函数x y e =与y kx =图象上的点，若有且只有一组点（P,Q)关于直线y x =对称，则k =_________ 16.已知点12,F F 为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和双曲线()2222'2:1'0,'0'x y C a b a b-=>>的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足1290F PF ∠=o ，设椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +=_________. 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题共12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos 0a b c b B C a A ++=，且32,sin 5c C ==. （1）求证：2A B π=+；（2）求ABC ∆的面积.18. （本小题共12分）如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAC ⊥平面PBD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若M 为PD 的中点，AM ⊥平面PCD ，求三棱锥D ­ACM 的体积．19. （本小题共12分）济南市某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分別到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料（表）: )该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想.其中回归系数公式，1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-20. （本小题共12分）已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2-2a 2x-4y=0(a ≠0,a 为常数). (1)判断曲线C 的形状;(2)设曲线C 分别与x 轴,y 轴交于点A,B(A,B 不同于原点O),试判断△AOB 的面积S 是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C 交于不同的两点M,N,且85OM ON ⋅=-,求a 的值.21. （本小题共12分）已知函数2()()ln ,()f x a x x x a R =--∈． （1）若()f x 在1x =处取到极值，求a 的值；（2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++>…．请考生从22、23题中任选一题做答，22. （本小题共10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线l 的参数方程为12(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数), 圆C 的极坐标方程为2ρ=.（1）写出直线l 极坐标方程及圆C 标准方程；（2）设()1,1P -，直线l 和圆C 相交于,A B 两点，求PA PB -的值.23.（本小题共10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2222x x +-->的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）已知t 为集合M 中的最大正整数，若1,1,1a b c >>>，且()()()111a b c t ---=，求abc 的最小值2018高三数学（文）模拟试题参考答案及评分标准1--5 CAACD 6--10 ABDDC 11-12 BB 13、 2 14、2652 15、1e16、 2 17. 解：(1)因为()sin cos 0,sin cos 0b B C a A b A a A ++=∴+=，又由正弦定理得sin cos sin sin 0A A B A +=，即cos sin ,A B =-所以A 为钝角，cos sin sin ,2A A B π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭又2A π-和B 都为锐角，2A B π∴-=即2A B π=+；------6分 (2)4cos sin sin 22sin cos 25C C B B B π⎛⎫=-===⎪⎝⎭,则()59cos sin cos sin 212=+=+B B B B，得sin cos 5B B +=，--------------9分 所以()()1010sin sin sin cos sin 33c a b A B B B C +=+=+== ()C ab ab b a C ab b a c cos 22cos 22222--+=-+=解得：940=ab --------------11分 则345394021sin 21=⨯⨯==C ab S -------12分 ()PDPB DO BO PO BD PAC PO PAC BD BDAC ABCD BD AF PBD BD PBD AF PO PBD PAC F AF PO A PO O BD AC ==⊥⊂⊥⊥⊥⊂⊥⊥所以又故平面又平面所以是正方形，所以又底面，所以平面又平面所以，且交线为平面又平面，垂足为的垂线作，过，连接交于连接证明：,,,,,.,1.18(2)如图，因为AM ⊥平面PCD ，AM ⊥PD ，PD 的中点为M ，所以AP ＝AD ＝2 --------------8分由AM ⊥平面PCD ，可得AM ⊥CD ，又AD ⊥CD ，AM ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PA ， 又由（1）可知BD ⊥PA ，BD ∩CD ＝D ，F所以PA ⊥平面ABCD . --------------10分故V D ­ACM ＝V M ­ACD ＝13×12PA ×S △ACD ＝13×12×2×12×2×2＝23--------------12分19.解：（1）设抽到相邻两个月的数据为亊件A ， 因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51153P A ==. --------------3分 （2）由数据求得11,24x y ==, 由公式求得187b =，再由307a y bx =-=-,得y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-.--------------8分（3）当10x =时，150150,22277y =-<; 同样，当6x =时，7878,12277y =-<, 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. --------------12分20.解:(1)将曲线C 的方程化为x 2+y 2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a 2+,可知曲线C 是以点(a,)为圆心,以为半径的圆. --------------3分(2)△AOB 的面积S 为定值.证明如下:在曲线C 的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),在曲线C 方程中令x=0,得y(ay-4)=0,得点B(0,),所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值). --------------4分(3)直线l 与曲线C 方程联立得225(2168)16160ax a a x a -+-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2121221681616,55a a a x x x x a a+--+=⋅=12121212858()165OM ON x x y y x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅-++=-即28080161286480855a a a a a ---++=-即22520a a -+=解得2a =或12a = 当2a =时，满足0∆>；当12a =时，满足0∆>故2a =或12a =-------------12分 21. 【解析】（1）1'()2f x ax a x=--，()f x 在1x =处取到极值，∴'(1)0f =即10a -=1a ∴=经检验，1a =时，()f x 在1x =处取到极小值.（2）221'()ax ax f x x --=，令2()21g x ax ax =--，(1)x ≥1当0a =时，1'()0f x x-=<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，不满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立 2当0a >时，二次函数()g x 开口向上，对称轴为14x =，过(0,1)- ①当(1)0g ≥即1a ≥时，()g x 0≥在[1,)+∞上恒成立，'()0f x ∴≥，从而()f x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =1x ∴≥时，()f x 0≥成立，满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立 ②当(1)0g <即0<1a <时，存在0x >1,使0(1,)x x ∈时，()g x <0，()f x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时, ()g x >0，()f x 单调递增， 0()(1)f x f ∴<，又(1)0f =，0()0f x ∴<故不满足题意3当0a <时，二次函数()g x 开口向下，对称轴为14x =，()g x 在[1,)+∞单调递减，(1)10g a =-<，()0g x ∴<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，故不满足题意综上所述，1a ≥（3）证明：由（1）知令1a =，当[1,)x ∈+∞时，2()ln 0x x x --≥（当且仅当1x =时取“=”）∴当2x >时，xx x ->22ln 1． 即当2,3,4,,x n =…，有222111111)ln 2ln 3ln 2233n n n+++>+++--- (1111)122334(1)n n=++++⨯⨯⨯-… 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++--…111n n n-=-=．--------------12分22.解：(1)由直线l 的参数方程消去参数t 可得()122x y -=-，化简并整理可得直线l 的一般方程为230x y -+=，则极坐标方程03sin 2cos =+-θρθρ 由2ρ=可得24ρ=，即224x y +=，所以圆C 的标准方程为224x y +=.--------5分 (2)易知点P 在圆内，且在直线l 上，联立圆的方程和直线l 的参数方程方程组22241258102x y x t t t y t⎧+=⎪=+⇒++=⎨⎪=+⎩，设()(),,,A A B BA x yB x y ，所以81,055A B A B t t t t +=-=>，所以()1821(1)11555A B A B A B t t t t t t ++=+++=-，则2251AAA P t t =+++=，同理1B PB=+，8112255A B A B PA PB t t ∴-=+-+=++=+=.---------10分 23.4,2()222(x)3,214,1x x f x x x f x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪-+>⎩解析：设，则2426x x x <-->>当时，由的，不符合条件，舍22212133x x x x -≤≤>><≤当时，由3的，故，142212x x x x >+><<<当时，由-的，故，2={|2}3M x x <<综上所述，集合 --------------------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1t =，则()()()1111a b c t ---==．因为1,1,1ab c >>>，所以10,10,10a b c ->->->， ………………6分 则()110a a =-+≥>，（当且仅当2a =时等号成立）……………7分()110b b =-+≥>，（当且仅当2b =时等号成立）………………8分 ()110c c =-+≥>，（当且仅当2c =时等号成立）………………9分则8abc ≥（当且仅当2a b c ===时等号成立）， 即8abc ≥，即8abc 的最小值为 ---------------------10分。