图形的折叠

学科培优数学
“图形的折叠”
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知识定位
图形折叠问题既考查学生的动手能力,又考查了想象能力,往往与全等、相似、面积、对称性质联系在一起．涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题,它与代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程,领会研究问题的方法有一定的作用,也符合新课改的教育理论。

知识梳理
1.关注“两点一线”在翻折过程中,我们应关注“两点”,即对称点,思考自问“哪两个点是对称点?”；还应关注“一线”,即折线,也就是对称轴。

这是解决问题的基础。

2.联想到重合与相等遇到这类问题,我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”,这是解决问题的关键
3. 我们把翻折问题分为两类：“依点翻折”和“依线翻折”
例题精讲
【试题来源】
【题目】
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动态折叠问题
要点一
总结词
动态折叠问题涉及到如何将一个动态 变化的二维图形准确无误地折叠成一 个动态变化的三维结构，是图形折叠 问题中的一大挑战。
要点二
详细描述
动态折叠问题需要考虑图形的动态属 性和变化规律，以及如何通过一系列 的动态折叠步骤实现动态的三维结构 。解决这类问题需要深入理解图形的 动态属性和折叠过程中的力学原理。
06 图形折叠问题的 挑战和未来发展
复杂图形的折叠问题
总结词
复杂图形的折叠问题涉及到如何 将复杂的二维图形准确无误地折 叠成三维结构，是图形折叠问题 中的一大挑战。
详细描述
复杂图形的折叠问题需要考虑图 形的形状、大小、对称性、弯曲 角度等因素，以及如何通过折叠 实现预定的三维结构。解决这类 问题需要深入理解图形的几何属 性和折叠过程中的力学原理。
未来发展
随着计算机科学和数学理论的不 断进步，复杂图形的折叠问题有 望得到更深入的研究和解决。未 来的研究可能会集中在开发更有 效的算法和优化技术，以解决更 复杂的图形折叠问题。
多面体的折叠问题
01
总结词
多面体的折叠问题涉及到如何将一个二维的多面体图形折 叠成一个三维的多面体结构，是图形折叠问题中的另一大 挑战。
解析法定义
解析法是一种通过数学公式和逻辑推理来解决问题的策略。在解决图形折叠问题时，解析 法通常用于建立数学模型，以描述图形的折叠过程和结果。
解析法的应用
解析法可以用于解决各种复杂的图形折叠问题，例如平面图形的折叠、三维模型的折纸等 。通过建立数学方程，解析法可以预测折叠后的形状和位置，以及解决折叠过程中的动态 变化问题。
总结词
三角形是具有三条边的多边形，其折叠问题主要涉及到三角 形的边与角的关系以及空间想象。

专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

几何图形的折叠和叠加一、平面图形的折叠1.定义：将一个平面图形沿着某条直线折叠，使得折叠后的两部分在三维空间中形成一个立体图形。

2.折叠的特点：折叠前后，平面图形的形状和大小不变，但位置和方向发生变化。

3.常见的平面图形折叠：正方形、长方形、三角形、圆形等。

4.折叠的分类：a)沿一条边的折叠：分为沿长边、沿宽边、沿短边折叠。

b)沿两条边的折叠：分为沿长边和宽边、沿长边和短边、沿宽边和短边折叠。

c)沿对角线的折叠。

二、立体图形的叠加1.定义：将两个或多个立体图形放置在三维空间中，使得它们的部分或全部重叠。

2.叠加的特点：叠加后的立体图形形状和大小不变，但位置和方向发生变化。

3.常见的立体图形叠加：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。

4.叠加的分类：a)同一平面的叠加：如正方体和长方体在同一平面上叠加。

b)不同平面的叠加：如正方体和圆柱体在不同平面上叠加。

c)相交的叠加：如两个圆柱体相交叠加。

d)包含的叠加：如圆锥体包含圆柱体叠加。

三、折叠和叠加在实际应用中的举例1.制作纸盒：将一张纸沿折痕折叠成纸盒，体现了平面图形的折叠。

2.搭建积木：将多个积木块叠加在一起，形成复杂的立体结构。

3.包装物品：将物品放入一个立体图形（如长方体）中，通过折叠和叠加的方式，使包装更加紧凑。

4.设计建筑模型：在建筑模型制作过程中，运用立体图形的叠加和折叠，形成丰富的空间结构。

四、注意事项1.在进行几何图形的折叠和叠加时，要注意观察图形的对称性、角度和边长的变化。

2.折叠和叠加过程中，要遵循数学规律，避免出现不符合实际的情况。

3.结合实际情况，灵活运用折叠和叠加的方法，解决问题。

通过以上知识点的学习，学生可以更好地理解几何图形的折叠和叠加，并在实际应用中灵活运用，提高空间想象能力和解决问题的能力。

习题及方法：1.习题：将一个正方形沿着一条边的折叠，求折叠后的立体图形的体积。

答案：折叠后的立体图形是一个长方体，其体积等于正方形的面积乘以折叠后的高。