勾股定理资料 知识点+典型例题+变式训练

勾股定理的运用一、梯子问题【典型例题】例1 如图1-1，一个梯子AB长5米，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为3米，梯子沿墙滑动后停在DE的位置上，如图1-2所示，测得BD长为1米，求梯子顶端A下落了多少米？二、两点间的距离问题例2 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？例3-1 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间。

一位旅客携带一件长60cm 的画卷，这件画卷能放入行李架吗？例3-2 如图，有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ） A ．cm 41 B ．cm 34 C ．cm 25 D ．cm 35【典型例题】例4 一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方向航行，则一个小时后两船相距多远？例5 某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西 60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风影响。

（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果精确到0.1小时）* 例6 阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。

关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”。

专题01勾股定理与几何综合的三种考法类型一、翻折问题【变式训练1】如图，在等腰两点，连接DE，将BDE△BB'交于点F，则折痕类型二、最值问题例1．（垂线段最值）将ABD △沿BD 折叠，【变式训练1】如图，C为线段AC，EC．已知AB＝2，DE＝(1)用含x的代数式表示AC＋CE(2)探究：当点C满足什么条件时，(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式A．21cm B．15类型三、解三角形问题A．13B．△Rt ABC【变式训练2】如图，在长方形△ABE 的轴对称图形△于点F ，已知AB ＝9【变式训练3】如图，ABC 26AD BC ==，:5AB BC =A ．32B ．52课后训练1．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知3CE =，8AB =，则图中阴影部分的面积为（）A ．20B ．24C ．28D ．303．如图所示，将一张矩形纸片沿着BF 折叠（其中点F 为:3:5BCF BGF S S =△△，且AB 5．如图，在Rt ABC △中，C ∠折后，点A 落在点E 处，如果7．如图，在矩形ABCD 称点分别是点M 、N ．如果直线8．如图，在四边形ADC B DAE ∠=∠+∠9．如图，如果四边形ABCD 13DC =，9FC =，则10．如图，在矩形ABCD 中，已知为,MN 连接.CN CDN △的面积与11．如图的实线部分是由Rt ABC∆沿高CH折叠，使点B∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC落在斜边上的点B'处，再沿CM折叠，使点A落在CB'的延长线上的点A'处.若图中∠=︒，15cmACB90AC=，则MB'的长为______.BC=，20cm12．如图，矩形ABCD中，5V沿AE折叠，AD=，7AB=，点E为DC上一个动点，把ADE∠的角平分线上时，DE的长为______．当点D的对应点D¢落在ABC。

1 / 3勾股定理【知识梳理】 1.勾股定理：股勾b a2.勾股定理的证明：方法一：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形方法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形.方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形3.基本训练：（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求AB 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，求AB 的长．（4）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求BC 的长．（5）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，求BC 的长．3.常见的勾股数：【探究】与勾股定理相关的问题探究1.已知直角三角形的两边求第三边，或已知直角三角形的两边比和一边长求两边. （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求BC 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:4，AB=10，求AC 、BC 的长.2.求直角三角形斜边上的高. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=3，BC=4，求CD 的长．3.求直角三角形三边的中线的长.（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，E 是BC 的中点，求AE 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，E 是AC 的中点，求BE 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，F 是AB 的中点，求CF的长．4.求直角三角形角平分线的长.（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，求CD和AD的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，求CD和BD的长．5.含特殊角的直角三角形（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB和BC的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，求AC和BC的长．（3）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3，求AC和AB的长．（4）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=2，求AC和AB的长．（5）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=2，求AC和BC的长．6.等边三角形与直角三角形如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．7.含120°角的等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB=3，AD⊥BC，求AD、BC的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，AD⊥BC，求AD、AB的长和△ABC的面积．8.等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．9.含特殊角的三角形与直角三角形（1）如图，AB=2，BC=3，求AC的长和△ABC的面积．DB CDBB2 / 33 / 360°ABC（2）如图，AB=1，BC=2，求AC 的长和△ABC 的面积．120°ABC10.折叠与直角三角形（1如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，若AC=3，BC=4，则CD= ．DCAB第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 第（5）题（2））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．（3）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE ，则DE 的长为 ．（4）如图.在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 式垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是 ．（5）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为 ． （6）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是 ．第（6）题 第（7）题 第（8）题 第（9）题 （7）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于 ．（8）如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为 ．（9）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. （10）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．（11）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 ．第（10）题 第（11）题 第（12）题 第（13）题（12）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为 ．（13）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．（14）矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.。

勾股定理综合应用习题精选1、在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm ，求BC 的长.1题图 变式1变式1、在△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm ，AB=6cm ，求AC 的长.变式2、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，BC=10cm,求△ABC 的面积和AC 边上的高.ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.方法1方法2变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求点B 的坐标.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ， AC=6cm ，BC=8cm ，（1）求线段CD 的长；（2）求△ABD 的面积.变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABC 的顶点A 为（0，6），B 为（8，0），AD 平分∠BAC 交x 轴于点D ， DE ⊥AB 于E.（1）求△ABD 的面积；4AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？5、矩形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的长。

6、Rt ΔABC 中,AB 比BC 多2,AC=6,如图折叠,使C 落到AB 上的E 处,求CD 的长度,8-x C8 E C ABD 10-x6 A C DEB CDE x7、三角形ABC 中,AB=10,AC=17，BC 边上的高线AD=8,求BC8、.将一根长24 cm 的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm 的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长是h cm,则h 的取值范围是______________.9．（2011•济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）．（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？10．（2011•呼伦贝尔）根据题意，解答问题：（1）如图①，已知直线y=2x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，求线段AB 的长．（2）如图②，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M （3，4）与点N （﹣2，﹣1）之间的距离．8 AB C118D1．已知：直线y=kx+b的图象过点A（﹣3，1）；B（﹣1，2），（1）求：k和b的值；（2）求：△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）在x轴上有一动点C使得△ABC的周长最小，求C点坐标．2．（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）4．有一根竹竿，不知道它有多长．把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长．问竹竿长几尺？5．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？6．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？7．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为8cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P 落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．8．一只蚂蚁从长、宽都是30cm，高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长．9．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB=5cm．一只壁虎要沿长方休的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路径是多少cm？10．如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．11．华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请同学们求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺．葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱七周，恰好子长到圆柱上底面的B点．问葛藤的长度是多少尺？11．（2007•聊城）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．12.如图18－1－24，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？。