各种向量和矩阵的范数的意义

特征方程为
0 2 0 1 1 0 9 1 1 1 2 1
2 T det(I A A) 0 1
0 1 0 9 1 1 2
可得AT A的特征值为
1 9.1428, 2 2.9211, 3 0.9361
为矩阵A的谱半径。
定理6.5
设A R nn，对任一算子范数 有
矩阵范数与 ( A) A . 谱半径的关 系 设是A的特征值，则有非零向 量使 Ax x. 证明：
由相容性条件得 x x Ax A x , x 0 A 即
( A) A .
n
2
1
2
- - - - - 2 - 范数

max {xi } - - - - - - 范数
例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 x 1， x 2 ，x 。 解：
x 1 1 2 3 6， x x
2
12 2 2 33 14， 3。
范数的两个常用性质：
1 j n i 1
1 j n
2n
5
2
aij max { 3,4,2} 4 A max 1 i n
j 1
1 i n
n
由于
A2
( AT A )
因此先求AT A的特征值 1 1 0 1 2 T A A 2 2 1 1 2 0 1 1 0 1
用于误差估
常用矩阵范数有下面三种情形：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n1 1 - 范数： A 1 max akj

|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||

证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。

为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。

(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。

},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。

},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。

(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。

在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。

nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。

由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。

设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。

x

5
3、范数的等价性
如
n 则 x R 设
x 2 x1 n x
2
P20习题14
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性 3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数） 4、常用的矩阵范数
二、矩阵范数 1、定义
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性
3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数）
思考：A的P-范数如何计算？
A的P-范数的计算 定理1.4 设
A R
n i 1
nn
则 A的列范数
证明
A 1 max aij
1 j n
A 2 max ( A A)
T
A的谱范数
A max aij
1 i n j 1
n
A的行范数
其中
max ( AT A) 表示矩阵 AT A 的最大特征值.
AB A B
x 1
AB max ABx max A Bx
A max Bx A B
x 1
证毕
4、常用的矩阵范数 （1）A的P-范数 （2）A的F-范数
★A的P-范数(由向量范数诱导的矩阵范数) 向量范数 x 且
p
矩阵范数
p
A p max Ax
x p 1
p
Ax p A p x
x2 x x
T
kx 2 (kxi ) k xi2 k x
2 i 1 i 1
n
n
2
x 2 xi2 xT x
i 1
n
x y 2 ( x y)T ( x y) xT x xT y yT y yT x x 2 2x y y