等腰三角形与等边三角形
轴对称与垂直平分线
1、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点
E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是。
（第1题）（第2题）
2、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E。若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为。
3、如图，一张长方形纸片AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD的度数等于。
4、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向平移个单位长度后得到的点A′与点B关于y轴对称，直线A′B与y轴的位置关系是。
1、等腰三角形的定义
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形（如右图）。
（1）相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底；
（2）两腰的夹角叫做顶角；
（3）腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角＝180°－2倍底角
底角＝1801
90
22
︒-
︒-
顶角
＝顶角可见，底角只能是锐角。
2、等腰三角形的性质
底边
底角底角
顶
角
腰腰
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 注：等腰三角形是轴对称图形，且只有 1 条对称轴，其对称轴是 。 3、等腰三角形的判定
（1）根据定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如右图，在△ABC 中，∵AB ＝AC ∴△ABC 是等腰三角形。 （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
如右图，在△ABC 中，∵∠B ＝∠C ∴AB ＝AC ∴△ABC 是等腰三角形。
4、等边三角形的性质与判定
（1）性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，每个内角都等于60°。 注：①等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴，其对称轴是 ； ②等边三角形三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 （2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
5、直角三角形中30°角的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 等于 的 。
【例题精讲一】
例1：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
（例1—1）
（例1—2）
2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，且BE ＝CD ，BD ＝CF ，∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为 。
3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是△ABC 内一点，且OB ＝OC ，求证：AO ⊥BC 。
D
C
B
A
4、如图，D为△ABC的边AB的延长线上一点，DF⊥AC于F，交BC于E，且BE＝BD，求证：AB＝BC。
【课堂练习】
1、在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有个。
2、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，D、E分别在AC、BC上，且OD⊥OE。求证：AC＝CE＋CF。
3、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠BDE ＝2
1
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 交于点F ，DG ∥AC 交AB 于点H ，交BE 的延长线于点G 。
（1）求证：△BDG 是等腰三角形； （2）猜想BE 与DF 的数量关系并证明你的结论。
【例题精讲二】
例2、如图，△ABC 、△CDE 是等边三角形，E 是AB 上一点。求证：（1）AD ∥BC ； （2）AC ＝AD ＋AE 。
例3、已知点E在等边△ABC的边AB上，点P在射线CB上，AE＝BP。
（1）如图1，求证：AP＝CE；（2）如图2，求证：PE＝EC；
（3）如图3，若AE＝2BE，延长AP至点M使PM＝AP，连接CM，求证：CM＝CE。
【课堂练习】
如图，点B在线段AC上，在AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE、CD交于点H，AE交BD于点G，CD交BE于点F，连接FG，证明：（1）AE＝DC；（2）AE与DC所夹的锐角为60°；
（3）△BGF为等边三角形；（4）GF∥AC；（5）连接BH，则BH平分∠AHC。
（备用图）
【例题精讲三】
例4：1、将一副三角尺如图所示叠放在一起，AB等于14cm，则阴影部分的面积是。
（例4—1）（例4—2）2、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要元。
【课堂练习】
1、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数为。
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求证：CM＝2BM。
1．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）。若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为。
3．已知等腰三角形的周长为20cm，则腰长a的取值范围为。
4．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，则∠BCD与∠BAC的数量关系是。
