【数学】四川省绵阳南山中学2020届高三10月月考 数学(文)(扫描版)

2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<，()0,2B =，则A B =（ ）A ．{}04x x <<B ．{}22x x -<< C ．{}02x x << D ．{}13x x <<【答案】C【解析】解绝对值不等式得集合A ，再求交集即可. 【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，()0,2B =， 所以AB ={}02x x <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．7 B ．10 C ．14 D ．21【答案】C【解析】由1476a a a ++=，利用等差数列的性质解得4a ，再利用等差数列求和公式即可得出． 【详解】1476a a a ++=， 436a ∴=，解得42a =．则17747()7142a a S a +===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c -+等于（ ） A ．0 B ．2C ．2D ．22【答案】C【解析】利用向量的三角形法则、向量加法的运算律及向量减法的运算律，即可得解. 【详解】 如图，a b c +=，∴2a b c a b a b a -+=-++=，1a =，∴22a b c a -+==.故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则、向量加法的运算律、向量减法的运算律及向量的模，考查学对这些知识的掌握能力，属于基础题. 4．设sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ） A 3B ．3-C ．3D ．3【答案】A【解析】利用二倍角公式将sin 2sin 0αα-=展开，即可求cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α及tan α，然后利用二倍角公式求得tan2α. 【详解】由sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，得2sin cos sin sin (2cos 1)0ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==， 则23sin 1cos αα=--=-， 所以sin tan 3cos ααα==-， 所以22tan 23tan 231tan ααα-===-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99 B ．131C ．139D ．141【答案】D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．6．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D 【解析】【详解】当0x >时，()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增，则值域为(1,)+∞； 当0x ≤时，()3xf x a =-在(,0)-∞上单调递减，则值域为[1,)a a -；因为函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以函数()f x 有最小值时，需满足11a -≤，即2a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,2]-∞， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.7．已知123a =，b log =92c log =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．.a c b >> C ．.b a c >> D ．.c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为102331a =>=，2211log 3log 2,122b b =>=<<，3911log 2log 222c ==<所以a b c >>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 8．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．已知命题p ：x R ∃∈，321x x =-，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】先利用函数图象交点、不等式恒成立判断p ，q 的真假，再利用复合命题的性质得到结论． 【详解】因为32,1y x y x ==-有交点，所以x R ∃∈，321x x =-，即p 为真命题，又因为，当0a =时，210ax ax ++>也恒成立； 故q 为假命题；所以p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∧⌝为假命题，p q ∨为真命题； 故选：B ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定以及一元二次不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在数列{}n a 中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n + 【答案】B【解析】由已知1122n n n a a a --=+两边取倒数，求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即可.【详解】1122n n n a a a --=+， 11112n n a a -∴=+，1112=a 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12 为首项，公差为12的等差数列，112n n a = ，2n a n = 故选:B 【点睛】当递推关系不能直接表达为等差或等比数列时，通过将所给递推关系变形，显现出一个相关数列为等差或等比数列，间接求出原数列得通项公式.11．已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．12．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是（ ）①()g x x =是()f x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e=+在[)1+∞，上的弱渐进函数. A ．①② B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误； ③由构建关系，取特值()()1f e g e ->，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥，1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当2x =时，()21F >，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设取特值()()=421g e e f e -->， 不符合，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1≥x 时，()10xx H x e -'=≤，()1x xH x e=-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1≥x 时，0x xe>，()11x x H x e =->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确.综上，①④正确. 故选:C 【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.二、填空题13．数列{}n a 满足13n n a a +=且2469a a a =，则()3579log a a a 的值是___________ 【答案】11【解析】由递推式可得数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得34a 的值，由等比数列的性质得37a ，代入即可得结果. 【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得349a =，所以()3339211579743333a a a a a ===⨯=，即()1135793log log 311a a a ==，故答案为：11. 【点睛】本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题.14．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______．【答案】23【解析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点()1,b 的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为1-，求出a ，即可得解； 【详解】解：∵()1,b 是2ln y x x =+的点，则1b =，12y x x'=+，显然在点()1,b 处的斜率3k =，则切线方程为32y x =-，∵直线32y x =-与直线1y ax =-垂直，则31a =-，显然13a =-，则12133a b +=-=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题． 15．已知()()36xx f x x ee -=++, ()10f a =,则()f a -= _________.【答案】2【解析】推导出()()12f x f x +-=，再由()10f a =求()f a -的值. 【详解】 ∵()()()()336,6xx x x f x xee f x x e e --=++-=-++ ，∴()()12f x f x +-=，∵()10f a =， ∴()()122f a f a -=-= 故填：2. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，关键是发现()()f x f x -与的关系. 16．如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.2【解析】设,AB AC m n ==，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=，可得：6mn = 再由1233t AC AB t AC A AP D =++=，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==ABC 的面积为332， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1333222mn =⋅=6mn ∴=D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t = 1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+ 2222229393m n mn AP +∴=++=当且仅当m n ==时取得最小值. 【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212n n n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且()co 2cos s 0c b A a B --=. （1）求角A 的大小；（2）若3b =，ABC 的面积ABCS =，求a 的值．【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角A 的大小； （2）根据三角形面积公式先求得c ，再代入余弦定理即可求得a 的值． 【详解】（1）∵()co 2cos s 0c b A a B --=，由正弦定理代入化简可得()cos 2sin sin sin cos 0A C B A B --=， 即2cos sin cos sin sin cos 0A C A B A B --=，()2cos sin cos sin sin cos sin A C A B A B A B ∴=+=+，即2cos sin sin A C C =，sin 0C ≠，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =，又0A π<<，3A π∴=，（2） 3b =，由（1）知3A π=，结合三角形面积公式可知11sin 322ABCSbc A c ==⨯= 4c ∴=，由余弦定理有22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=【点睛】本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的简单应用，余弦定理解三角形的应用，属于基础题.19．已知函数()21cos 2sin f x x x x =+-，x ∈R .（1）若[]0,x π∈，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数()g x ，求()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，最大值为1-. 【解析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据函数平移求出函数()g x 的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 【详解】（1）()21cos 2sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤可得函数()f x 的单调减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半， 得到()2sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦54,666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦ ，所以11sin 462x π⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭ 故()g x 的最小值为2-，最大值为1-. 【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）01k <<．【解析】（1）求出导函数()'f x ，然后按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）问题变形为方程ln 52x x k x ++=+有两解，【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 （2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x > 所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →， 当30x e -<<时，()1p x <，∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的零点个数．零点个数总是常常转化为方程解的个数，又可转化为直线与函数图象交点个数．本题中在确定出函数的单调性与极值（最值）后还必须确定函数值的变化趋势才可得出正确答案，否则易出现扩大了的范围．21．已知函数2()ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的最值；（2）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.【答案】（1）最小值为0，无最大值；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数进行求导得到函数的单调区间，进而可得最值；（2）由题意可得得到2121lnx x a x x =-，把要证明的结论转化为证2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，不妨令211x t x =>，构造函数21()ln 2g t t t t=--+，利用导数证明()g t 在()1,+∞上为减函数，可得()()10g t g <=，则结论得证. 【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， 故最小值等于()10f =，无最大值.（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln x x a x x =- ，要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫ ⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t <-+， 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明恒成立问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=，曲线2C的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程; （2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 【答案】（1）2yx ，10x y +-=；（2）2.【解析】（1）给曲线1C 的极坐标方程2sin cos θρθ=两边同乘ρ，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩进行转化.曲线2C 的参数方程两式相加消去t ，得直角方程； （2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，然后利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】（1）由曲线1C 的极坐标方程可得曲线1C 的直角坐标方程为2y x ,由曲线2C 的参数方程可得曲线2C 的普通方程为10x y +-=,（2）将曲线2C的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入曲线1C的普通方程得：220t -=, 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，∴12t t +=, 122t t ⋅=-， 可得122MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，难度一般.23．已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(][),04,-∞+∞；（2）13a >-. 【解析】（1）先通过分类讨论去掉绝对值符号，再分段求出()0f x <的解，从而得到原不等式的解.（2）根据给定的范围可把()3f x x <+转化为10ax a --<在[]2,1-上恒成立，令()1g x ax a =--，[]2,1x ∈-，可得关于a 的不等式组，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()4,22213,214,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩，不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得0x ≤或4x ≥，不等式解集为(][),04,-∞+∞.（2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+等价于()213x a x x ++-<+，整理得10ax a --<，记()1g x ax a =--，则()()2010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解得13a >-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般有零点分段讨论法、数形结合法、平方法等，对于不等式的恒成立问题，应该根据不等式的特点合理构建新函数，得到关于参数的不等式或不等式组，本题属于中档题.。

2020届四川省绵阳南山中学实验学校高三10月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}21xB x =>，则集合A B =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|2x x >-C ．{}1|0x x <<D ．{}|21x x -<<【答案】B【解析】利用一元二次不等式以及指数不等式的解法化简集合A 、B ，再根据并集的定义求解即可． 【详解】集合2{|20}{|21}A x x x x x =+-<=-<<， 集合{}{}210xB x x x =>=，∴集合{|2}A B x x =>-∪．故选：B ． 【点睛】本题考查并集的求法，考查指数不等式、一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0b a -> B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【答案】D【解析】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.3．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ab 的值为（ ） A ．-6 B ．-5C ．6D ．5【答案】C【解析】由题意可得0a <，且11,3-为210ax bx ++=的两根，利用根与系数的关系可计算得到a ，b .由题意，0a <，且11,3-为210ax bx ++=的两根，所以1131113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=-⎩，所以6ab =.故选：C 【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数的问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.4．下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．()21y x =+ B ．cos()2y x π=-C ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-【答案】C【解析】直接利用函数的奇偶性的定义判断. 【详解】A. 定义域为R ，()()21f x x -=-+ ()()()()11,11f f f f -≠-≠-，故不是奇函数，不是偶函数，故错误；B. 定义域为R ，()sin f x x =，()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-是奇函数，故错误；C. 定义域为R ，()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=是偶函数，故正确；D. 由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >，所以()()lg 1lg 1y x x =++-的定义域为()1,+∞，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，也不偶函数，故错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则2a b -=（ ）A ．B ．C ．4D ．5【解析】先根据向量共线求出3x =-，再计算出向量()22,1a b -=-，再根据模的公式求解即可. 【详解】解：因为//a b ，所以由()2610x -⨯-=，解得3x =-，所以()6,3b =-，所以()()()24,26,32,1a b -=---=-，所以()222a b -=-=.故选：A. 【点睛】本题考查共线向量的坐标运算，向量线性运算的坐标表示，向量的模的计算，是中档题. 6．设3log 2a =，9log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】根据幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】1213332839,==2323∴<33322log 2log 33∴<=933log g 2lo log =< b a c ∴<<故选：B 【点睛】本题主要考查了利用对数函数以及幂函数的单调性比较大小，属于中档题.7．已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20202021D ．20212022【答案】C【解析】由题意得出()13f '=，可求得a 的值，可得出函数()y f x =的解析式，并求得数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法可求得2020S 的值.【详解】()2f x x ax =-，()2f x x a '∴=-，由题意可知()123f a '=-=，得1a =-. ()2f x x x ∴=+，()()21111111f n n n n n n n ===-+++， 20201111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查裂项求和法，同时也考查了利用切线斜率求参数，考查计算能力，属于中等题. 8．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增 C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值【答案】A【解析】由最小正周期为π得出2ω=，由()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数得出3πϕ=，进而得出()2sin(2)3f x x π=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案. 【详解】解：函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=， ()f x 向右平移6π个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2)63y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为此函数为奇函数，又2πϕ<，所以3πϕ=.故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于选项A ：2()sin()0,333f A πππ=+=∴正确；对于选项B ：当24(),2(,)22333-,x x πππππ∈+∈-， ()f x 不具有单调性，故B 错； 对于选项C ：2,,32x k k Z πππ+=+∈,122k x k Z ππ=+∈，故C 错； 对于选项D ：2()2sin363f ππ==，没有取到最大值，，故D 错. 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.9．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高()3km AB =，()33km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ）A ．()63kmB ．()53kmC ．()13kmD ．()66km【答案】B【解析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在BED 中，利用余弦定理求出2BD ，即得2AF ，在直角三角形AFC 中，根据勾股定理可得AC .【详解】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE=3==()km ， 在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅92723(=+-⨯⨯ 63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC=+=+263=+75=， 所以)km AC =. 故选：B. 【点睛】本题考查了方向角，考查了余弦定理的应用，属于基础题.，10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．52【答案】B【解析】由题意利用向量数量积的定义和平面向量基本定理整理计算即可确定λ的值. 【详解】 由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选B . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象,见下图.若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1y x'=,设切点为()00,x y ,则00ln y x =,切线斜率为01x ,即切线方程为:()0001ln y x x x x -=-,该切线过原点,则()00010ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e a =,显然()1eg x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有一个实根;若114ea ≤<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时无交点,在1x >时有2个交点,符合题意; 若104a <<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时有2个交点,不符合题意;若0a ≤,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时无交点,不符合题意; 若1e>a ,,直线()g x 与()f x 的图象至多有一个交点,不符合题意. 所以只有114ea ≤<符合题意. 故选:B.【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.二、多选题12．命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，4sin 4sin x x+≥.则下列是真命题的（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．qD ．p ⌝【答案】BCD【解析】判断出命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假性与简单命题之间的关系可判断各选项中命题的真假. 【详解】对于命题p ，22000131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题p 为假命题；对于命题q ，0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x <<， 由基本不等式可得44sin sin 4sin sin x x x x+≥⋅=， 当且仅当sin 2x =时，等号成立，但0sin 1x <<，等号不成立，所以，4sin 4sin x x+>，命题q 为真命题.所以，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，q 为真命题，p ⌝为真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了全称命题和特称命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、填空题13．若实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值是___________.【答案】5-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图，由10220x y x y -+=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得34x y =⎧⎪⎨⎪=⎩， 将2z x y =-变形为1122yx z =-， 平移直线1122y x z =-， 由图可知当直1122y x z =-经过点()3,4时，直线在y 轴上的截距最大，此时最小值3245z =-⨯=-， 故答案为：5-.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．函数()cos 23cos 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为______. 【答案】178【解析】将函数()y f x =的解析式变形为()23172sin 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由1sin 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的最大值.【详解】()22317cos 23cos 12sin 3sin 2sin 248f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1sin 1x -≤≤，当3sin 4x =时，()max 178f x =. 故答案为：178. 【点睛】本题考查二次型正弦函数最值的求解，同时也考查了二倍角公式以及诱导公式的求解，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递减，若实数a 满足313(log )log 2(1)f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为3(log )(1)f a f ≥，再利用函数在[0,)+∞上的单调性即可转化为3log 1a ≤，然后求得a 的范围. 【详解】因为()f x 为R 上偶函数，则()()()f x f x f x =-=， 所以13333(log )(log )(log )(log )f a f a f a f a =-==，所以3133(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f +=≥，即3(log )(1)f a f ≥，因为()f x 为[0,)+∞上的减函数，3log 0,10a ≥>，所以3log 1a ≤， 解得31log 1a -≤≤，所以133a ≤≤，a 的范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为1()f x 与2()f x 大小比较的形式：12()()f x f x >；（2）利用函数单调性将12()()f x f x >转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.2.偶函数的性质：()()()f x f x f x =-=；奇函数性质：()()f x f x -=-；3.若()f x 在D 上为增函数，对于任意12,x x D ∈，都有1212()()x x f x f x <⇔<； 若()f x 在D 上为减函数，对于任意12,x x D ∈，都有1212()()x x f x f x <⇔>. 16．已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-，对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(],4-∞【解析】通过分离参数，得到关于x 的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a 的取值范围． 【详解】因为()()2f x g x ≥，代入解析式可得22ln 3x x x ax ≥-+- 分离参数a 可得32ln a x x x≤++令()32ln h x x x x=++（0x > ） 则()()()231'x x h x x+-=，令()'0h x =解得123,1xx =-=所以当0＜x ＜1，()'0h x <，所以h （x ）在（0，1）上单调递减 当1＜x ，()'0h x >，所以h （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以h （x ）在x=1时取得极小值，也即最小值．所以h （x ）≥h （1）=4．因为对一切x ∈（0，+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立， 所以a≤h （x ）min=4． 所以a 的取值范围为(],4-∞ 【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题．四、解答题17．已知函数()2cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()43f α=，求cos2α.【答案】（1）π，2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角法将函数转化为()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）由4()3f α=得到1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用平方关系得到cos 263πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，然后利用角的变换，由cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】 （1）2()cos 21cos 23f x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭，1cos 22cos 212x x x =+-+12cos 21sin 21226x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为π；由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由4()3f α=可得，1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 又110sin 2632πα⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭，2,62ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，cos 263πα⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查三角恒等变换与三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足123n n S a a =-，且12333a a a -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使得492985nT ≤成立的n 的最大值． 【答案】（1）3nn a =；（2）6.【解析】（1）根据123n n S a a =-，可得{}n a 是等比数列，根据12333a a a -+=，可得1a 的值，即可得数列{}n a 的通项公式.（2）由{}n a 的通项公式，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用等比数列求和得n T ，令492985n T ≤，解得n 的范围，即可得n 的最大值. 【详解】（1）由已知123n n S a a =-，有()111232n n S a a n --=-≥， 两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即323a a =，又因为12333a a a -+=，所以130a =≠， 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为3nn a =.（2）由（1）得，113n n a =，所以21111111133113332313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪⎝⎭-， 因为492985n T ≤，所以198413985n -≤即3985n ≤， 解得16n ≤≤，所以使得不等式成立的n 的最大值为6． 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，解指数不等式，属于中档题.19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin 0a C c A b B +-=.（1）求B ； （2）若B 为锐角，sin 2A =，BC 边上的中线长AD =ABC 的面积.【答案】（1）6B π=或56π；（2【解析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）由（1）可知6B π=，再根据二倍角公式求出A ，从而得到C ，在ABC 中，设2AC BC x ==，在ADC 中，利用余弦定理即可求出x ，最后根据面积公式计算可得； 【详解】解：（1）在ABC 中，因为cos cos 2sin 0a C c A b B +-=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=， 所以()sin 2sin sin 0A C B B +-=，即()sin 12sin 0B B -=， 又因为sin 0B ≠，所以1sin 2B =因为B 是三角形的内角，所以6B π=或56π（2）由（1）知6B π=，因为22cos 12sin 122A A =-=-=⎝⎭， 50,π,66A A π⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭所以ABC 为等腰三角形，且23C π=，在ABC 中，设2AC BC x ==， 在ADC 中，由余弦定理得222222cos 773AD AC DC AC DC x π=+-==，解得1x =所以2AC BC ==，所以1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题； 20．已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a >，是否存在实数,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）存在，41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）求得()6()3af x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或3a ，对a 分类讨论，判断()f x '的符号即可得出单调性．（2）由（1）知0a >时，()f x 在区间(0,)3a上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增，对a 分类讨论，结合函数的单调性，分别利用()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1列方程求解即可．【详解】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.(2)由（1）知0a >时，()f x 在区间(0,)3a 上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. ①若13a≥，即3a ≥时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨-+=-⎩解得41a b =⎧⎨=⎩. ②若13a <，即0<<3a 时，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af ，最大值为(0)f 或(1)f当02a <≤时，(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=，即(0a a a -+=，又因为02a <≤，所以无解.当若23a <<时，(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解. 综上得41a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了方程与不等式的解法，同时考查分类讨论思想、等价转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．已知函数()1x f x e x =--，(e 是自然对数的底数). （1）求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()xF x e f x =，证明：()F x 有极大值0()F x ，且满足0211()4F x e <<. 【答案】（1）(1)1y e x =--；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数可得(1)1k f e '==-，结合(1)2f e =-，利用点斜式可求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设()22xh x e x =--，两次求导，由零点存在性定理可得0(2,1)x ∈--，使得0()0h x =，则在0(,0)x x ∈， ()F x 单调递减；在(0,)x ∈+∞，()F x 单调递增，()F x 有极大值0()F x ，再利用二次函数的性质可得结论. 【详解】（1）()1()xf x e x R '=-∈，所以(1)1k f e '==-，又(1)2f e =-故，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)1y e x =--（2）因为()(1)x x F x e e x =--，()(1)(1)(22)x x x x x xF x e e x e e e e x '=--+-=--设()22xh x e x =--，令()210xh x e '=-=，解得ln2x =-.在x ∈(,ln 2)-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减， 在(ln 2,)x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；又12(1)(212)(1)0h e e--=+-=-<，22(2)(222)(2)0h e e ---=+-=>.由零点存在性定理：设0(2,1)x ∈--，使得：0()0h x =， 即000()()0xF x e h x '==.又0(0)2020h e =--= 即(0)0F '=∵在0(,)x x ∈-∞，()()0xF x e h x '=>，∴()F x 单调递增；在0(,0)x x ∈，()()0xF x e h x '=<，∴()F x 单调递减；在(0,)x ∈+∞，()()0xF x e h x '=>，∴()F x 单调递增； ∴()F x 有极大值0()F x .∵有11021()(1)(11)F x F e e e -->-=+-=. 又∵000()220xh x e x =--=，∴0022xx e +=， 00200000000221111()(1)(1)(2)(1)224444x x x x F x e e x x x x x ++=--=--=-+=-+<.综上可得：函数()F x 有极大值0()F x ，且满足0211()4F x e <<. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查利用导数证明不等式，属于综合题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2.【解析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解. 【详解】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）. 由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）， 化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则A ρ=2sin 4B πρ==，所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23．已知函数()211f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，试求1412a b +++的最小值. 【答案】（1）{}26x x -≤≤；（2）32【解析】（1）化简函数()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用绝对值三角不等式求出最小值m ，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】（1）依题意得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，因为()4f x ≤，所以124x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或11234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩，或1224x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得21x -≤≤-，或112x -<<，或162x ≤≤. 所以26x -≤≤，即不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤.（2）()()()31212221223y f x x x x x x =++=-++≥--+=， 当且仅当()()21220x x -+≤，即112x ≤≤-时取等号. 则3m =，3a b +=，因为0,0a b >>，126a b +++=， 所以()141141212612a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()41125612a b a b +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦13562⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()41212a b a b ++=++，且3a b +=，即1a =，2b =时取等号， 所以1412a b +++的最小值为32. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。

四川省绵阳南山中学2016届高三数学上学期10月月考试题 文1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共150分,考试时间120分钟.2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效．第Ⅰ卷(客观题,共50分)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.全集U=R ,集合{}220A x x x =-?{}cos ,B y y x x R ==?,则A B ?( )A .{}1,2x x x <->或 B .{}12x x-＃C .{}1x x ? D.{}01x x ＃.2.已知向量,a b r r 满足1a b ==r r , 12a b ?-r r ,则2a b +=r r( )A B C D3.下列四种说法:①{}0,1A =的子集有3个；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真；③“命题p q Ú为真”是“命题p q Ù为真”的必要不充分条件；④命题“2,320x R xx "?-?均有” 的否定是：“2000,320x R x x $?-?均有”.其中错误．．命题的个数有 （ ）A .0个B .1个C . 2个D . 3个4.函数3y x = 与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图象的交点坐标为(),a b ，则a 所在区间为 ( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,4 5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为 ( )A ．12B ．10C ．8D ．26.已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是 ( )A. B. C. D.7.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为A. -B ．12-C ．12D 8.下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c p p =-=-=-，大小顺序正确的是 ( ) A . a c b >> B . a b c >> C . b c a >> D . b a c >>9.在边长为1的正三角形AOB 中，P 为边AB 上一个动点，则OP BP ×u u u r u u u r的最小值是 ( )A . 316-B . 316C . 116-D . 11610.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2f x x =.若对任意[],2x k k ?，不等式()()9f x k f x +?恒成立，则()2log g k k=的最小值是( )A . 2B .12C .12- D .2-第Ⅱ卷(主观题,共100分)二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π=________. 12.已知等差数列{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－2，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________. 13.若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x p =+<<的对称中心，则12a b+的最小值为________.14.已知函数()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极值0，则a b -＝______.15.已知函数(),0,ln ,0,x ae x f x x x ì£ï=í->ïî(其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为______________.三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(本小题满分12分)已知函数2()2cos .2xf x x =(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若1,(),33f 为第二象限角且παα-=求cos 21cos 2sin 2a a a+-的值.17.(本小题满分12分) 已知等比数列{a n }(*n N Î)满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,n n n n nb a S b b b a =+=+++L ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．18.(本小题满分12分)设函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最小值1和最大值4，设函数()()g x f x x=. (Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)若不等式()220x x f k -壮在区间[]1,1-上有解，求实数k 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知A,B 分别在射线CM,CN （不含端点C ）上运动，23MCN p ?.在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c . (Ⅰ)若,,a b c 成等差数列，且公差为2，求c 的值；(Ⅱ)当cθ∠ABX =,试用q 表示三角形的周长，并求周长的最大值.AB MCN20.(本小题满分13分)已知函数()ln xf x a x bx =+的图象过点11,,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭且在点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直(e 为自然对数的底数，且 2.71828e L =).(Ⅰ) 求,a b 的值;(Ⅱ)若存在 01,x e e 轾Î犏犏臌，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数()2(),g 2,.xf x e x x x a a R ==-++∈(Ⅰ)讨论函数()()()h x f x g x =?的单调性; (Ⅱ) 记函数()()(),0,,0,f x x x g x x jì<ï=í>ïî，设()()()()1122,,,A x x B x x ϕϕ为函数()x j 图象上的两点，且12x x <. ① 当0x >时，若()x j在A ，B 处的切线相互垂直，求证：211xx -?；② 若在点A ，B 处的切线重合，求实数a 的取值范围. 2015年10月绵阳南山中学2015年秋季2016届 一诊模拟考试数学(文科)试题答案一. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. - 12.36 13. 3+ 14. -7 15.()(),00,1-∞⋃三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(Ⅰ)5()12sin 6f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π （或()12sin 6f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π或()12cos 3f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π） .................................... (3)故最小正周期为π，值域为[]1,3- (6)(Ⅱ)由1()33f -=πα,得1cos 3=-α. 又因为,为第二象限角α则sin 3=α. (9)222cos 2cos sin cos sin 11cos 2sin 22cos 2sin cos 2cos 2a a a a a a a a a a a -+-===+-- (12)17.(Ⅰ) 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4，①②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意，舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n －1＝2n.故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n(n ∈N *)． .………………………………………6 (Ⅱ)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n－n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)－n ＝(2＋22＋23＋ (2))－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n)1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. (9)因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10. (12)18.(Ⅰ) ()()()211.0,g x a x b a a g x =-++->\Q 在区间[]2,3上是增函数，\()()21,34,g g ì=ïí=ïî解得： 1,0a b == \函数()g x 的解析式为()221g x x x =-+. (6)(Ⅱ)由(Ⅰ)知()221g x x x =-+()12f x x x∴=+-，()220x x f k \-壮可化为2111222x xk 骣琪+-壮琪桫………………………………………………9 令12x t =，则221k t t ?+，[]11,1,,22x t 轾?\?犏犏臌Q记()221h t t t =-+，1,22t 轾Î犏犏臌Q ，()min 1h t \=故所求实数k的取值范围是：(],1-?. (12)19.(Ⅰ) Q ,,a b c 成等差数列，且公差为2，4,2a c b c ∴=-=-.又Q 23MCNp ?，1cosC 2∴=-.∴在三角形ABC 中，有222122a b c ab +-=-, 即()()()()2224212422c c c c c -+--=---，化简得：29140c c -+=，解得：7,c =或2c =.又4,7.c c Q >∴= (6)(Ⅱ)在三角形ABC 中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠2sin sin sin 33AC BC ∴===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，即2sin ,2sin 3AC BC π⎛⎫=θ=-θ ⎪⎝⎭. (8)∴三角形ABC 的周长()2sin 2sin 3f AC BC AB π⎛⎫θ=++=θ+-θ+ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=+θ+ ⎪⎝⎭ (10)又20,3333Q ππππ<θ<∴<θ+<，当32ππθ+=，即6πθ=时，()f θ有最大值2. (12)20.(Ⅰ)()()ln ln ,ln xf x a x bx ax x bx f x a x a b Q '=+=+∴=++.又点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直，()11f a b '∴=+=. (2)又()ln xf x a x bx Q =+的图象过点11,,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11a b f e e e e⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭，即1,a b -= (4)1,0a b ∴== ………………………………………………………… (6)(Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x =，由题意()2113222f x x tx +-≥-，即2113ln 222x x x tx +-≥-， 则32ln t x x x≤++. (8)若存在 01,x e e 轾Î犏犏臌，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于312ln ,,x x x e x e ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的最大值.设()312ln ,,h x x x x e x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦则()()()231x x h x x +-'=，当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '<；当[]1,x e ∈时，()0h x '>. 故()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增.()332ln 2,h e e e e e e Q =++=++11112ln 323,h e e e e e e ⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭ (1)()()121240,h h e e h h e e e e ⎛⎫⎛⎫∴-=-->∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当1,,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x 的最大值为1123,h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭故123,t e e ≤-++即实数t的取值范围是：1,23e e ⎛⎤-∞-++ ⎥⎝⎦. (13)21. (Ⅰ) ()()()()22x h x f x g xe x x a =?-++,()()22x h x e x a ¢\=-++.①当20a +?，即2a ?时，220x a -++? ，()()0,0,xe h x h x ¢Q 在R 上单调递减.②当20a +>，即2a >-时，()(xh x ex x ¢\=--当(x ?时，()0h x ¢>；当(),x ???+?时，()0h x ¢<.综上所述，当2a ?时，()h x 在R 上单调递增；当2a >-时，()h x在(-单调递增，在(),,-?+?上单调递减. (6)(Ⅱ)证明：①()()20,2,x x g x x x a Q >∴ϕ==-++()22,x x '∴ϕ=-+ 由题意可知，()()121,x x ''∴ϕ⋅ϕ=-即()()1222221,x x -+-+=- 当1x =时，()0;x 'ϕ=当01x <<时，()0;x 'ϕ>当1x >时，()0.x 'ϕ<()()121210,x x x x Q ''ϕ⋅ϕ=-<<，()()12120,0,01.x x x x 且''∴ϕ>ϕ<<<<()()()()1212122221,11,4x x x x Q -+-+=-∴--=-()121141x x =--， ()21221141x x x x ∴-=-+-.221,10,x x Q >∴->()212211141x x x x ∴-=-+≥=-,当且仅当()2211,41x x -=- 即232x ∴=时，等号成立. (10)②当()()20,2,x x g x x x a >∴ϕ==-++()()22,2x x '∴ϕ=-+∈-∞且()x 'ϕ单调递减. 当()()0,,xx x f x e <∴ϕ==()()0,1xx e '∴ϕ=∈且()x 'ϕ单调递增.由题意可得， 120.x x <<()11,xx e '∴ϕ=()2222x x 'ϕ=-+令()12122,0,0,1xe x k x k Q ∴=-+=<∴∈，12ln ,1,2k x k x ∴==-()2ln ,,1,1,24k k A k k B a ⎛⎫∴--++ ⎪⎝⎭切线重合，则A ，B 均在切线上.214,1ln 2k a k k k k -++-∴=--化简得()212ln ,0,14k a k k k k =--+-∈令()()212ln ,0,14k h k k k k k =--+-∈，()1ln ,2kh k k '=-+- ()0,1,k Q ∈易知()h k '为单调递减，()()1102h k h ''∴>=> ，()h k ∴单调递增，()31,,4h k ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即31,.4a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ (14)。

1.2.2 数轴 学习目标: 1、了解数轴的概念数轴上的点和有理数的对应关系； 2、会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数； 3、感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的，体验。

教学过程： 一、情境引入，自主学习 观察温度计，体会数、形对应．右图中第①个图表示 的温度是 ℃；第②个图表示 的温度是 ℃； 第③个图表示的温度是 ℃； 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东 3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西 3 m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图 表示这一情境． 二、合作探究 1、数轴的三要素: 、 、 。

定义：规定了 、 、 的一条直线叫做数轴。

请你画一条数轴： 在你所画的数轴上表示下列各数：0， -2，3，1.5， -3.5. 写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数: 解：点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点C表示的数是 ，点D表示的数是 ， 点E表示的数是 ， 归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的 边，与原点的距离是 个长度单位；表示数－a的点在原点的 边，与原点的距离是 个长度单位。

三、巩固提高 1、 画出数轴并表示出下列有理数： ２、下列数轴的画法正确的是（ ） 指出数轴上A、B、C、D 、E点分别表示什么数？ 4、在数轴上表示－4的点位于原点的＿＿＿边，与原点的距离是＿＿＿个单位长度。

5、与原点距离等于5的点有 个，表示的数是 。

6、在数轴上点A表示的数是－3，与点A相距两个单位的点表示的数是 。

7、从数轴上表示－1的点出发，向左移动3个单位长度到点B，则点B表示的数是＿＿＿，再向右移动7个单位长度到达点C,则点C表示的数是＿＿＿。

8、数轴上的点A表示－3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点表示的数是，终点到原点的距离是＿＿＿个单位长度。