山西省六校2018届高三第四次名校联合考试数学(文)试题含答案

山西省六校2018届高三第四次名校联合考试数学（文）试题含答案2017-2018年度高三第四次名校联合考试（百日冲刺）数学（文科）六校联考 长治二中、鄂尔多斯一中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,2{},,4{2m B m A ==.若≠⋂B A ∅，则m 的取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22. 复数3)1(i z +=的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i 2-D ．i 23.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，已知88,0112==S a ，则=5a （ ）A ．6B ．7C ．9D ．104. 已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 87203 76621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学，编号为60~01号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ）A ．53,18,27,15B ．52,25,02,27C ．22,27,25,14D ．74,18,27,15 5. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，173)(--=x x f x，则=-)1(f （ ） A ．5 B ．5- C. 6 D ．6-6. 若41)3sin(=-a π，则=-)62sin(πa （ ）A ．87-B ．87 C. 1615- D ．16157. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤-3313y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为（ ）A ．]3,1[-B ．]6,1[- C. ]5,1[- D ．]6,5[8. 已知][x 表示不超过x 的最大整数，如3]4.2[,1]1[,0]4.0[-=-==.执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A ．1B ．5 C. 14 D ．15 9. 已知曲线)32sin(:π-=x y C ，则下列结论正确的是（ ）A ．把C 向左平移125π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称D ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称10.已知倾斜角为135的直线l 交双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 于B A ,两点，若线段AB 的中点为)1,2(-P ，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．2 C.26D ．2511.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34 B ．1 C. 35D ．2 12.已知R a ∈，函数2225284)(a ax x ae e x f x x +-+-=（e 是自然对数的底数），当)(x f 取得最小值时，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．58 C. 54 D ．52第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在矩形ABCD 中，2,5==AD AB ，则=+→→||AC AB ． 14.在正项等比数列}{n a 中，62,a a 是031032=+-x x 的两个根，在=-+2652a a a ．15.已知抛物线y x C 8:2=，直线2:+=x y l 与C 交于N M ,两点，则=|MN | ． 16.在直三棱柱111C B A ABC -中，8,52,4,1===⊥AA AC AB AC AB .若该三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1,sin 2sin 3,12cos 2cos 22=-==-+b a A B C BA . （1）求角C 的大小；（2）求bc的值.18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的费率浮动机制，保费是与上一年度车辆发生道路交通安全违法行为或者道路交通事故的情况相联系的.交强险第二年价格计算公式具体如下：交强险最终保费=基准保费⨯a （+1浮动比率t ）.发生交通事故的次数越多，出险次数的就越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，为此搜集并整理了辆这一品牌普通6座以下私家车一年内的出险次数，得到下面的柱状图：已知小明家里有一辆该品牌普通6座以下私家车且需要续保，续保费用为X 元. （1）记A 为事件“a X a ⋅≤≤%175”，求)(A P 的估计值. （2）求X 的平均估计值.19. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC AB BC AD ⊥,//，且F E AD BC ,,42==分别为DC AB ,的中点，沿EF 把AEFD 折起，使CF AE ⊥，得到如下的立体图形.（1）证明：平面⊥AEFD 平面EBCF ；（2）若EC BD ⊥，求二面角A CD F --的大小.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,1(1-F ，点)22,1(M 在椭圆C 上，经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，P 为椭圆C 上一点（P 与B A ,都不重合）. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AB 的斜率为21-，求ABP ∆的面积的最大值. 21. 已知函数xxax x g ln )(+=（a 是常数）.（1）求)(x g 的单调区间与最大值；（2）设)()(x g x x f ⋅=在区间],0(e （e 为自然对数底数）上的最大值为10ln 1--，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 3=.（1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，)0,5(A ，若点P 到直线3)3sin(=-πθρ的距离为437，求ACP ∠的大小.23.选修4-5：不等式选讲 设函数a a x x f 2||)(++=.（1）若不等式1)(≤x f 的解集为}42|{≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式4)(2--≥k k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBADA 6-10:BBCDC 11、12：AC 二、填空题13. 14.3715.16 16.π100三、解答题 17.解：（1）由12cos 2cos22=-+C BA ，得0cos 2cos =+C C ， 所以01cos cos 22=-+C C ，解得1cos ,21cos -==C C （舍去）. 从而3π=C .（2）因为A B sin 2sin 3=，所以a b 23=.又1=-b a ，所以2,3==b a .根据余弦定理可得7649=-+=c ，62所以27=b c . 18. 解：（1）由所给数据知，事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于或等于1且小于或等于4， 所以55.01005151520)(=+++=A P .的平均估计值为a a a a a a a 14.105.0205.075.115.05.115.025.120.040.085.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.19.（1）证明：有题可得AD EF //，则EF AE ⊥， 又CF AE ⊥，且F CF EF =⋂，所以⊥AE 平面EBCF ， 因为平面AEFD ，所以平面平面EBCF ，（2）解：过点D 作AE DG //交EF 于点G ，连接BG ，则⊥DG 平面EBCF ，EC DG ⊥. 又D DG BD EC BD =⋂⊥,，所以⊥EC 平面BG EC BDG ⊥,.易得BEC EGC ∆∆~，则BC EBEBEG =，得22=EB . 以E 为坐标原点，→EB 为x 轴，→EA 为y 轴，→EA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz E -，则)220,0(),04,22(),2220(),030(，，，，，，A C D F .故)0,1,22(),020(),222,22(--==--=→→→CF AD CD ，，，. 设),,(z y x n =→是平面FCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=⋅=--=⋅→→→→022222022z y x CD n y x CF n令1=x 得)1,22,1(--=→n .设),,(c b a m =→是平面ACD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=⋅==⋅→→→→02222202c b a CD m b AD m同理)1,0,1(=→m .⊂AE ⊥AEFD因为||||,cos =⋅>=<→→→→→→m n mn m n ，所以二面角A CD F --为90.20.解：（1）由已知左焦点)01(1，-F ，右焦点1),0,1(2=-c F . 因为)22,1(M 为椭圆C 上一点，所以22||||221=+=MF MF a ，所以1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）如图，设),(),,(2211y x B y x A ，直线x y AB 21:-=，联立方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=122122y x x y ，消去y 得02232=-x ， 则)33,332(),33,332(--B A3152320)3333()332332()()(||22221221==++--=-+-=y y x x AB ，设点)sin ,cos 2(θθP ，则点P 到直线AB 的距离5|)sin(6|12|sin 2cos 2|2ϕθθθ+=++=d ，当1)sin(±=+ϕθ时，53056max ==d . 所以2530315221||21)(max max =⨯⨯=⋅=∆d AB S OBP.21. 解：（1）)(x g 的定义域为),0(+∞. 因为x x a x g ln )(+=，所以2ln 1)(xxx g -='.令0)(='x g ，得e x =. 当),0(e x ∈时，0)(>'x g ，在),0(e 上)(x g 是增函数；当)(∞+∈，e x 时，0)(<'x g ，在)(∞+∈，e x 上)(x g 是减函数， 所以ea e g x g 1)()(max +==. （2）因为x ax x g x x f ln )()(+=⋅=，所以],0(,1)(e x x a x f ∈+='，则),1[1+∞∈ex . ①若ea 1-≥，则0)(≥'x f ，从而)(x f 在],0(e 上是增函数. 所以01)()(max ≥+==ac e f x f ，不合题意. ②若e a 1-<，则由0)(≥'x f ，01)(≥+='x a x f ，得ax 10-≤<. 由01)(≤+='x a x f ，得e x a ≤≤-1. 从而)(x f 在]1,0(a -上为增函数，在],1[e a -为减函数，所以10ln 1)1ln(1)1()(max --=-+-=-=aa f x f .由10ln )1ln(-=-a，得10-=a .22.解：（1）x y x 3,cos 3,cos 3222=+∴=∴=θρρθρ ， 即∴=+-,49)23(22y x 圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 23cos 2323y x （α为参数）. （2）由（1）可设)2,0[),sin 23,cos 2323(πθθθ∈+P ，3)3sin(=-πθρ的直角坐标方程为0323=+-y x ，则P 到直线3)3sin(=-πθρ的距离为437|)3sin(23437|2|32sin 23)cos 2323(3|=--=+-+πθθθ，3),2,0[,0)3sin(πθπθπθ=∴∈=-∴ 或34π.故3π=∠ACP 或32π=∠ACP .23.解：（1）因为12||≤++a a x ，所以a a x 21||-≤+， 所以a a x a 2112-≤+≤-，所以a x a 311-≤≤-， 因为不等式1)(≤x f 的解集为}42|{≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=--=-43121a a ，解得1-=a . （2）由（1）得2|1|)(--=x x f ，不等式4)(2--≥k k x f 恒成立， 只需4)(2min --≥k k x f ， 所以422--≥-k k ，即022≤--k k ，所以k 的取值范围是]2,1[-.。