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导数的四则运算法则
基本初等函数的导数公式表
导数的运算法则
(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：
①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f
2′±…±f n ′.
②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )．
③商的求导法则：
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f (x )
g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，
特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )
(g (x )≠0)．
思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f (x )
g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？
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[提示] 先对f (x )求导，即f′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )．
1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－
12x
＋1
D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．] 2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
D [y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．] 3．已知函数f (x )＝ln x
x ，则f′(1)＝________. 1 [∵f′(x )＝1
x ×x －ln x x 2＝1－ln x
x 2，∴f′(1)＝1.]
用导数的求导法则求导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝2x 2＋1x －3
x 3； (2)y ＝
x ＋3
x 2＋3
； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ；
(4)y ＝x 3＋lg x .
[思路探究] 观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．
[解] (1)∵y ＝2x 2＋x －1－3·x －3， ∴y ′＝4x －x －2－3·(－3)x －4＝4x －1x 2＋9
x 4. (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3
(x 2＋3)2.
(3)y ′＝(e x cos x ＋sin x )′＝(e x cos x )′
＋(sin x )′
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＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＋cos x ＝e x cos x －e x sin x ＋cos x . (4)y ′＝3x 2＋1
x ln 10.
应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.
提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.
求下列函数的导数： (1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－32x －6＋2；
(3)y ＝cos x ln x ；
(4)y ＝x
e x .
[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x 2＋sin x 2cos x 2′
＝(x －2)′＋()1
2sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12
cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′
＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′
－(6x )′＋(2)′
＝3x 2－3x －6. (3)y ′＝(cos x ln x )′ ＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos x
x .
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(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x
)′
(e x )2
＝e x －x e x e 2x ＝1－x
e x . 导数运算法则的应用 [探究问题]
1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？ [提示] [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f′n (x )． 2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？
[提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．
【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．
[思路探究] 先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程． [解] 因为当a ＝－1时，
f (x )＝ln x ＋x ＋2
x －1，x ∈(0，＋∞)． 所以f′(x )＝x 2＋x －2
x 2，x ∈(0，＋∞)，
因为f′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0.
1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x
