2008年高考上海数学理(含答案)
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P ’(x ’,y ’) 满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AEB 1D 1 D C 1A 1B C17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |AODBC⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷 参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.. 6.2. 7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==.10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作E F B C ⊥，交B C 于F ，连接C O . E F ⊥平面A B C D ，∴E D F ∠是直线D E 与平面A B C D 所成的角. ……4分 由题意，得1112E F C C ==.112C F C B == ∴ 5D F = ……8分 E F D F ⊥， ∴5tan 5E F E D F D F∠==.……10分故直线D E 与平面A B C D 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接C O . ……2分由题意，得500C D =(米)，300D A =（米），60C D O ∠=︒ ……4分 在△C D O 中，2222cos 60C D O D C D O D O C +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米）答：该扇形的半径O A 的长约为445米. ……13分[解法二]连接A C ，作O H A C ⊥，交A C 于H ， ……2分 由题意，得500C D =（米），300A D =（米），120C D A ∠=︒ ……4分 在△C D O 中，2222cos 120A C C D A D C D A D =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BCAOD BCAODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=.700A C ∴=（米）. ……6分22211co s 214A C A D C DC AD A C A D+-∠==⋅⋅.在直角△H A O 中，350A H =（米），11co s 14H A O ∠=， ……9分∴ 4900445co s 11A H O A H A O==≈∠（米）.答：该扇形的半径O A 的长约为445米. ……13分 18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ……4分|2|5x y -⋅2211|2||4|4555x y x y +-==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)P A x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+……11分||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||P A 的最小值为45，即||P A 的最小值为5. ……15分19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx-=，即222210xx--=解得 21x=±20lo g (1x x >=+∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttttm -+-≥即24(21)(21)ttm -≥--，2210t->∵，2(21)tm ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t-+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y a b y b x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x aby a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214ab +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a代入方程，得2212()b q c a a =-，即2222b q a q ca =-当0q c =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上； 当12q c =时，22211()24a b cc -+= ，此时点P 的轨迹落在圆上；当102q c q c >≠且时，2221()21142a bc q cc-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0q c <时2221()211()42a b c q cc--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623a a =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k a a +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m =+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a mm+=+∴；11661133333m m a a a a m m m+=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴； 1199122133399m m a a a a mmm +=-+<<+=∵，1923127m a a mm+=+∴211a a m-=∴，13213m a a mm+-=， 162219m a a mm +-=，1923127m a a m m +-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m-，321m a m+-，621m a m+-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a dm ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a dm ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a dm +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d mm +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m+->，9210m a m +->故数列23262921111,,,,m m m a a a a mmmm+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a mmmm+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。
