排列与组合练习题及解析

45分钟限时训练：排列组合

1.若6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为______.

2.若有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法种数为______.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四

位数的个数为______.

4.男女学生共8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,则女生人数为______.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8

步走完,则方法数为______.

6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,

另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案数为______.

7.已知集合A＝{5},B＝{1,2},C＝{1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,

则确定的不同点的个数为______.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字,且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是______.

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校

连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有______.

10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日

和2日,不同的安排方法数为______.

11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列的不同排法数为______.

12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的

分配方案数为______.

13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种不同颜色的花,要求相邻区域不同色,

排列组合例题与解析

【公式】

r n! P n= (n-r)! r r n! P n n-r C n= r!(n-r)! = r! =C n

例题分析：

1．首先明确任务的意义

例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。

例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴ 本题答案为：=56。

2．分析是分类还是分步，是排列还是组合

注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

归类解析分组、分配问题

四川省仪陇中学新政校区 魏登昆

高中数学排列组合中元素的分组、分配问题在高考中常出现，有一定的难度。学生在学习中对这类问题的处理主要错误表现在审题不清、归类不明，现笔者就这类问题归类解析：

Ⅰ、 不同元素分组问题

1、非平均分组无归属问题，即将相异的P（P=12mnnn）个物件分成任意12,mnnn件无记号的m堆且这m堆的个数互不等，其分法数为N=121nnmnnppnmCCC

2、平均分组无归属问题, 即将相异的P(P= mn)个物件分成无记号的m堆，其分法数为N= 2nnnnppnnnmmCCCCA

3、部分平均分组无归属问题，即将相异的P（P=12mnnn）个物件分成任意12,mnnn件无记号的m堆，且12,mnnn这m个数中分别有a,b,c个相等，其分法数为N=2nnnnppnnnabcabcCCCCAAA

例1:现有12件不同礼品①平均分成三堆;②分成件数为2,4,6三堆;③分成件数为2,2,2,3,3五堆，其方法数分别为多少?

(答: 4441284133CCCNA ; 246212106NCCC ; 22233121086333232CCCCCNAA )

Ⅱ、 不同元素分配问题

1、无限定分配有归属问题

即将相异的P（P=12mnnn）个物件分配给m个人,物件分完,分别得12,mnnn件求其分法数.它的处理方法是:第一步将这p件物件按Ⅰ类中相应类别分成m堆,第二步将这m堆对应m个人进行全排列.

例2: :现有12件不同礼品①平均分给三个人;②分给三个人其中一人得2件, 一人得4件,

一人得6件;③分给五个人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法数分别为多少?

(答: 3113MNA : 3223MNA ; 5335MNA 其中123,,NNN为例1的结果 )

高二排列与组合练习题

1. 一共有10个人，其中有4个英语老师和6个数学老师。现在要从这10个人中选择3位老师组成一个辅导小组，请问一共有多少种选择方式？

解析：根据排列组合的原理，从10个人中选出3个人的选择方式可以表示为10P3，即10的全排列中选取3个位置。根据排列公式，可以计算出答案如下：

10P3 = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720

所以，一共有720种选择方式。

2. 一个由5个0和3个1组成的数列能够构成多少个不同的数？

解析：根据排列组合的原理，可以将该问题转化为从8个位中选择3个1的问题。选择3个位置放置1的方式可以表示为8C3，即从8中选择3个的组合方式。根据组合公式，可以计算出答案如下：

8C3 = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2) = 56

所以，能够构成56个不同的数。

3. 一个箱子里有6只红球和4只蓝球。现在要从箱子中无放回地随机取出3只球，求取到这3只球后，其中有2只红球的概率。

解析：首先计算总的取球方式，可以表示为10C3，即从10个球中选择3个球的组合方式。根据组合公式，可以计算出总的取球方式如下： 10C3 = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2) = 120

接下来计算取到其中有2只红球的方式。有两种情况符合要求：一种是从6只红球中选2只，再从4只蓝球中选1只；另一种是从6只红球中选3只。分别对应的组合方式为6C2和6C3，根据组合公式计算如下：

6C2 = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15

6C3 = 6! / (3! * (6-3)!) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20