北师大版九年级上册数学 第一章复习导学案1(2)
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第一章 特殊平行四边形
【学习目标】
1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）
2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.（难点）
【学习方案】
正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
（凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写)
矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1、已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
2、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
3、如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
※4、如图，在□ABCD中，DE⊥AB于E，BM＝MC＝DC，求证：∠EMC=3∠BEM.
菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形
1、 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
2、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
FEDCBAMEABDC
3、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段BE的长．
4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
正方形
正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．
正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
1、已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
DABCOE60
2、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
综合练习作业
1、下面有四个命题：
（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
（3）一组对角相等且这一组对角的顶点连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
（4）一组对角相等且这组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
其中，正确的命题个数是（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
3、一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
A
B C P D
E
第13题图 FEDCBAPGFEDCBA
4、如图，分别以△ABC的边AC和BC的一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半.
5、在ABC△中，90BACADBCBEAF，⊥，、分别是ABC，DAC的平分线，BE和AD交于G，试说明四边形AGFE的形状．
5，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF．
（1）求证：ABEADF△≌△；
（2）连结CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
A F D
C E B D GEFDACB
