2015高考数学一轮精品课件：8.2 空间几何体的表面积与体积

20212A版

- 1 - 第2节 空间几何体的表面积和体积

考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

知 识 梳 理

1。多面体的表(侧）面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r1＋r2）l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体 表面积 体积

柱 体 S表面积＝S侧＋V＝S底h 20212A版

- 2 - (棱柱和圆柱) 2S底

锥 体

（棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝错误!S底h

台 体

（棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h

球 S＝4πR2 V＝错误!πR3

［常用结论与微点提醒］

1。正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a,球的半径为R，

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；

（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。

2。长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。

3。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。

诊 断 自 测

1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。（ ) 20212A版

- 3 - （2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。（ )

(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ )

(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。( ）

解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

答案 （1）× （2）× （3)√ (4)√

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第1讲 空间几何体及其表面积、体积

最新考纲 考向预测

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 命题

趋势 主要考查空间几何体的表面积与体积．常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征，要求考生有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.

核心

素养 直观想象、数学运算

1．空间几何体的结构特征

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2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面

展开图

侧面

积公式 S圆柱侧

＝2πrl S圆锥侧

＝πrl S圆台侧＝

π(r＋r′)l

4.空间几何体的表面积与体积公式

表面积 体积

柱体

(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h

锥体

(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13S底h

台体

(棱台和圆台) S表面积＝S侧

＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h 球

S＝4πR2 V＝43πR3

常用结论

1.特殊的四棱柱

四棱柱――→底面为平行四边形平行六面体――→侧棱垂直于底面直平行六面体――→底面为矩形长方体――→底面边长相等正四棱柱――→侧棱与底面边长相等正方体

上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．

第 1 页 共 10 页 第八章 立体几何初步第5课时 空间几何体的表面积和体积对应学生用书（文）108～110页 （理）110～112页

考情分析 考点新知

了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积、体积中的运用．

① 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式).

② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.

1. (必修2P69习题10改编)用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面面积为________．

答案：94π或14π

解析：有两种情况：以3π为圆柱的高时，圆柱底面积为14π，以π为圆柱的高时，圆柱底面积为94π.

2.

(原创)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.

答案：83π

解析：几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝13×π×4×2＝83π.

3. (2013·南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________cm.

答案：22

解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π3×3，所以r＝1，此圆锥的高为32－12＝22.

4. (必修2P55练习4改编)已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为BC、DC的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，则这个四面体的体积为________．

答案：13

解析：折成的四面体为三棱锥AECF，S△ECF＝12×1×1＝12，高为AB＝2，所以这个四面体的体积为V＝13S△ECF·

AB＝13×12×2＝13.

5. (必修2P69复习题5改编)若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积是________．

答案：6π 第 2 页 共 10 页 解析：设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝3，bc＝6.解得a＝1，b＝2，c＝3.长方体外接球半径为R＝1212＋（2）2＋（3）2＝62，外接球的表面积为S＝4π622＝6π.

1 第八篇 立体几何

第1讲 空间几何体及其表面积与体积

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数是________．

解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．

答案 1

2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

解析 ①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD －A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件． 2

答案 ①③④⑤

3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．

解析 设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋3.

答案 3＋3

4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．

解析 设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则 πrl＝2π，πr2＝π，∴ r＝1，l＝2.

∴h＝l2－r2＝22－12＝3.

∴圆锥的体积V＝13π·12·3＝33π.

答案 33π

5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为________．