高一数学向量知识点总结
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高一数学向量知识点总结
一、向量的基本概念
1. 向量的定义
- 既有大小又有方向的量叫做向量。例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示
- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模
- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。模是一个非负实数。
4. 零向量
- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量
- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算 （一）向量的加法
1. 定义
- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律
- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法
1. 定义
- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b与-→b大小相等，方向相反。求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘 1. 定义
- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
2. 运算律
- 结合律：λ(μ→a)=(λμ)→a。
- 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。
- 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
三、向量共线与平面向量基本定理
1. 向量共线定理
- 向量→b与非零向量→a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得→b=λ→a。
2. 平面向量基本定理
- 如果→e_{1}、→e_{2}是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量→a，有且只有一对实数λ_{1}、λ_{2}，使→a=λ_{1}→e_{1}+λ_{2}→e_{2}。其中→e_{1}、→e_{2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
四、向量的坐标表示 1. 向量的坐标
- 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量→i、→j作为基底。对于平面内的一个向量→a，有且只有一对实数x、y，使得→a=x→i+y→j，则有序数对(x,y)叫做向量→a的坐标，记作→a=(x,y)。
2. 向量坐标运算
- 设→a=(x_{1},y_{1})，→b=(x_{2},y_{2})，则→a+→b=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})，→a-→b=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})，λ→a=(λ x_{1},λ
y_{1})。
- 向量的模长公式：若→a=(x,y)，则|→a|=√(x^2)+y^{2}。
- 向量平行的坐标表示：若→a=(x_{1},y_{1})，→b=(x_{2},y_{2})，且→b≠→0，则→a∥→b的充要条件是x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0。
