2020届高考理科数学二轮复习专题15：函数的图象与性质、函数与方程

2020届高考理科数学二轮复习专题15：函数的图象与性质、函数与方程

[做小题——激活思维]

1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )

A．(0,2] B．(0,2)

C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]

C [由 lg x≠0，x＞0，2－x≥0，得0＜x≤2且x≠1，故选C.]

2．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是( )

A.－12，0 B.1，12

C.12，1 D.1，32

C [因为f12＝e12－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间12，1上，故选C.]

3．[一题多解](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a＞0且a≠1)的图象可能是( )

A B

C D D [法一：若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝logax＋12是增函数且其图象过点12，0结合选项可知，没有符合的图象．故选D.

法二：分别取a＝12和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.]

4．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )

A．y＝－x3 B．y＝－x2＋1

C．y＝2x D．y＝log2|x|

B [因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.]

5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(2 020)＝________.

0 [f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)．

又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，故f(2 020)＝0.]

6．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于________．

10 [由已知，得a＝log2 m，b＝log5 m，

则1a＋1b＝1log2 m＋1log5 m＝logm 2＋logm 5＝logm 10＝2.解得m＝10.]

[扣要点——查缺补漏]

1．函数的定义域，如T1.

(1)分母不为0；

(2)对数的真数大于0；

(3)被开方数有意义．

2．零点所在的区间的判定方式

f(x)在[a，b]上是连续函数且f(a)f(b)＜0.必要时借助导数研究其性质，如T2.

3.指数、对数函数 (1)图象，如T3.

(2)指对互化与对数运算，如T6.

①ax＝N⇔x＝logaN，

②logab·logba＝1(a，b＞0且均不为1)，

③logambn＝nmlogab，

④logaM＋logaN＝loga(MN)(M＞0，N＞0)，

⑤logaM－logaN＝logaMN(M＞0，N＞0)．

4．奇偶性、单调性，如T4.

(1)定义法：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；

(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.

故f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．

5．函数的周期性，如T5.

(1)若f(x＋a)＝f(x)，则周期T＝a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则周期T＝2a，其中a≠0.

函数的表示、图象及应用(5年9考)

[高考解读] 对函数的表示常以分段函数为载体，考查分类讨论及函数方程的思想，对函数图象的识别常将基本初等函数与导数融合在一起，考查学生灵活应用知识，分析函数图象及性质的能力. 1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )

A．y＝x B．y＝lg x

C．y＝2x D．y＝1x

D [函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．

函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．

函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．

函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．

函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为( )

A B

C D

D [因为f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－sin x＋xcos x＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.

令x＝π，则f(x)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2＞0，排除选项B，C.故选D.]

[点评] 知式选图：已知函数解析式选图象，一般选用函数的两三个性质.

常用性质：

1°定→定点、定义域. 2°奇→奇偶性.

3°极→极值点个数.

4°零→零点个数.

5°渐→渐近线.

6°趋→函数值变化趋势.

7°单→单调性.

8°符→函数值符号.

3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ 2－x，x≤0，1，x>0，则满足f(x＋1)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1,0) D．(－∞，0)

切入点：思路一：结合分段函数的定义，分类求解；思路二：图解法，借助单调性求解．

D [当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，

结合图象可知，要使f(x＋1)

[备选题]

1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )

D [利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，利用排除法求解．

∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，

又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.

设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.

又g′(0)＜0，g′(2)＞0，

∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，

∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )

B [因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x＞0时，f(x)＝2x32x＋2－x＞0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.]

函数的表示、图象及应用的关注点

(1)研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

(2)分段函数的求值、解不等式等问题，应遵循“分段处理”的原则．

(3)函数图象的识别可遵循“对称性、零点、极值点、极限位置”逐一排除的策略．

1．(函数图象的识别)已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则y＝f(x)的大致图象为( )

A B C D

B [f(2)＝1ln 3－2＜0，排除A，D.f－12＝1ln 12＋12＝1ln e2＜0，排除C，选B.]

2．(分段函数求值)设f(x)＝ x，0

A．2 B．4

C．6 D．8

C [当0

∴a＝2a，

解得a＝14或a＝0(舍去)．

∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

当a≥1时，a＋1≥2，

∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∴2(a－1)＝2a，无解．

综上，f1a＝6.]

3．[重视题](函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝|x2－4x＋1|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则∑ni＝1xi＝( )

A．0 B．n

C．2n D．4n C [由f(x)＝f(4－x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且函数y＝|x2－4x＋1|的图象也关于直线x＝2对称，则两个函数图象的交点两两关于直线x＝2对称，故∑ni＝1xi＝2n.故选C.]

[点评] 全国卷中考查函数对称性的比较多，数形结合找规律.规律为零点或两函数的交点关于点或直线对称，注意挖掘函数图象的对称性.

4．(函数的新定义)已知具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；

③f(x)＝ x，0＜x＜1，0，x＝1，－1x，x＞1.

其中满足“倒负”变换的函数是( )

A．①② B．①③

C．②③ D．①

B [对于①，f(x)＝x－1x，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足；

对于②，f1x＝1x＋x＝f(x)，不满足；

对于③，f1x＝ 1x，0＜1x＜1，0，1x＝1，－x，1x＞1，即f1x＝ 1x，x＞1，0，x＝1，－x，0＜x＜1，

故f1x＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]

函数的性质及应用(5年12考)