第1章 1.2 极坐标系

第1章 1.2 极坐标系

第 2 页 1.2 极坐标系

1.2.1 平面上点的极坐标

1.2.2 极坐标与直角坐标的关系

1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)

2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

1.平面上点的极坐标

(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴.

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.

2.点与极坐标的关系

(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数.特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.

3.极坐标与直角坐标的关系

(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示).

图1-2-1

(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

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第 4 页 A.(1,0) B.(2，π4)

C.(3，π2) D.(4，π)

【答案】 C

3.点A的极坐标是(2，7π6)，则点A的直角坐标为( )

A.(－1，－3) B.(－3，1)

C.(－3，－1) D.(3，－1)

【解析】 x＝ρcos θ＝2cos76π＝－3，

y＝ρsin θ＝2sin76π＝－1.

【答案】 C

4.点M的直角坐标为(0，π2)，则点M的极坐标可以为( )

A.(π2，0) B.(0，π2)

C.(π2，π2) D.(π2，－π2)

【解析】 ∵ρ＝x2＋y2＝π2，且θ＝π2，

∴M的极坐标为(π2，π2).

【答案】 C

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

类型一 确定极坐标系中点的坐标

第 5 页 设点A(2，π3)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π

【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.

【尝试解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－π3).

关于直线l的对称点为C(2，23π).

关于极点O的对称点为D(2，－23π).

四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上.

1.点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.

2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后.

[再练一题]

1.在极坐标系中，B(3，π4)，D(3，74π)，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).

【解】 由B(3，π4)，D(3，7π4)，

知|OB|＝|OD|＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称.

所以点B，D关于极轴对称.

设点B(3，π4)，D(3，7π4)关于极点的对称点分别为E(ρ1，θ1)，F(ρ2，θ2)，

且ρ1＝ρ2＝3.

当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，

∴E(3，5π4)，F(3，3π4)为所求.

类型二 将点的极坐标化为直角坐标

写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.

(1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3).

第 6 页 【精彩点拨】 点的极坐标(ρ，θ)―→ x＝ρcos θy＝ρsin θ―→点的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限.

【尝试解答】 (1)由题意知x＝2cos4π3＝2×(－12)＝－1，y＝2sin4π3＝2×(－32)＝－3.

∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点.

(2)x＝2cos(－23π)＝－1，

y＝2sin(－23π)＝－3，

∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点.

(3)x＝2cos(－π3)＝1，

y＝2sin(－π3)＝－3，

∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点.

1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同.

2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.

[再练一题]

2.分别把下列点的极坐标化为直角坐标：

(1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π).

【解】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝3，

y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1.

第 7 页 ∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1).

(2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0，

y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3.

∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3).

(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，

y＝ρsin θ＝πsin π＝0，

∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0).

类型三 将点的直角坐标化为极坐标

分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).

(1)(－2,23)；(2)(6，－2).

【精彩点拨】 利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限.

【尝试解答】

(1)∵ρ＝x2＋y2＝－22＋232＝4，

tan θ＝yx＝－3，θ∈[0,2π)，

由于点(－2,23)在第二象限.

∴θ＝2π3.

∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π).

(2)∵ρ＝x2＋y2＝62＋－22＝22，

tan θ＝yx＝－33，θ∈[0,2π)，

由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6.

∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6).

第 8 页 1.将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)求解. 2.在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.

[再练一题]

3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；

(2)如果点的直角坐标(x，y)满足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围.

【解】 (1)根据与角α终边相同的角为α＋2kπ(k∈Z)知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈k)分别如下：

(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2kπ)(k∈Z).

(6，－2)的极坐标为(22，116π＋2kπ)(k∈Z).

(2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.

所以(x，y)可能在第二象限或第四象限.

把直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R时，θ的取值范围为

(π2＋2kπ，π＋2kπ)∪(3π2＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z).

类型四 极坐标与直角坐标的综合应用

在极坐标系中，如果A(2，π4)，B(2，5π4)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).

【精彩点拨】 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标.

【尝试解答】 对于点A(2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，

∴x＝2cosπ4＝2，y＝2sinπ4＝2，则A(2，2).

第 9 页 对于B(2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，

∴x＝2cos54π＝－2，y＝2sin54π＝－2.

∴B(－2，－2).

设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，

故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.

∴有 x－22＋y－22＝16，x＋22＋y＋22＝16.

解之得 x＝6，y＝－6，或 x＝－6，y＝6.

∴C点的坐标为(6，－6)或(－6，6).

∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，

∴θ＝74π或θ＝34π.

故点C的极坐标为(23，74π)或(23，34π).

1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.

2.若设出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成.

[再练一题]

4.本例中，如果点的极坐标仍为A(2，π4)，B(2，5π4)，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标.

【导学号：62790003】

【解】 对于点A(2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B(2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，

设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，

∴AC→·BC→＝0，