《高等数学》函数的单调性及其极值

77 函数的单调性及其极值

一、基本内容

1. 函数单调性的判定：

设函数)(xfy在I内可导，若在I内，(1) 0)(xf, 则函数)(xfy在I上单调增加；(2) 0)(xf, 则函数)(xfy在I上单调减少。

2. 函数的极值及其求法：

（1）极值的概念：

设函数)(xf在点0x的某邻域)(0xU内有定义，如果对于去心邻域)ˆ(0xU内的任一x，有)()(0xfxf （或)()(0xfxf）则称)(0xf是函数)(xf的一个极大值（或极小值），而0x点称为函数)(xf的极大值点（或极小值点）。

极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。

（2）极值的必要条件：设函数)(xf在点0x可导，且在0x处取得极值，则0)(0xf。

（3）极值的充分条件（极值的判定）：

第一充分条件：设函数)(xf在0x处连续，且在0x的某去心邻域)ˆ(0xU内可导，若①在点0x的左邻域内，0)(xf，在点0x的右邻域内，0)(xf，则)(xf在0x处取得极大值；②在点0x的左邻域内，0)(xf，在点0x的右邻域内，0)(xf，则)(xf在0x处取得极小值；③在点0x的邻域内，)(xf不变号，则)(xf在0x处没有极值。

第二充分条件：设函数)(xf在0x处具有二阶导数且0)(0xf，0)(0xf，则①当0)(0xf，函数在0x处取得极大值；②当0)(0xf，函数在0x处取得极小值。

二、学习要求

1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法;

2. 理解函数极值的概念，掌握用导数求函数极值的方法。 78

三、基本题型及解题方法

题型1 利用导数讨论函数的单调性和单调区间

解题方法：一般步骤如下

（1） 确定函数)(xf的定义域，并求其导数)(xf；

（2） 求出)(xf的全部驻点与不可导点；

（3） 讨论)(xf在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的单调性和单调区间。

【例1】讨论函数xxy1ln的单调性。

解：该函数的定义域为（-1，+）

xxxy1111

令0y得驻点0x

列表讨论y的符号及函数y的单调性：

x （-1，0） （0，+）

y - +

y ↘ ↗

综上，函数在（-1，0）上单调减少，在（0，+）上单调增加。

题型2 求函数的极值

解题方法：

法一：（1） 确定函数)(xf的定义域，并求其导数)(xf；

（2） 求出)(xf的全部驻点与不可导点;

（3） 讨论)(xf在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；

（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(xf的全部极值。

法二： (1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；

(2)考察函数的二阶导数在驻点处的正负，确定极值点；

(3)求出极值点处的函数值，得到极值. 79

注：第二种方法有一定的局限性，当0)(0xf，此法就不能用了。事实上，当0)(0xf，0)(0xf时，)(xf在0x处可能取得极大值，也可能取得极小值，也可能没有极值。比如，4)(xxf，4)(xxg，3)(xx这三个函数在0x处就分别属于这三种情况。因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，则还得用第一种方法来判定。

【例2】讨论函数322)2()(xxxf的单调性并求其极值。

解：该函数的定义域为（，+）

3312)2(134)22()2(32)(xxxxxxxf

令0)(xf得驻点1x，又0x及2x为其不可导点

列表讨论y的符号及函数y的单调性和极值：

x （，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+）

y － 不存在 + 0 － 不存在 +

y ↘ 极小值点 ↗ 极大值点 ↘ 极小值点 ↗

综上，函数在)0,(及（1，2）上单调减少，在（0，1）及),2(上单调增加，其极大值为1)1(f，极小值为0)2()0(ff。

题型3 证明不等式

解题方法：（1）构造辅助函数)(xF

（2）求)(xF，并验证)(xF在指定区间的增减性

（3）求出区间端点的函数值或极值，比较后即证

【例3】当0x时， 试证)1ln(xx成立。

证明：设)1ln()(xxxF，只需证0)0()(FxF 80 因为xxxxF1111)(， 显然当0x时， 0)(xF ，则当0x时，)(xF单调递增，从而

0)0()(FxF

即 )1ln(xx

题型4 利用函数的单调性证明方程0)(xf的根的唯一性

解题方法:

（1）构造辅助函数)(xf，

（2）根据闭区间上连续函数性质中的零点定理证明0)(xf的根的存在性，

（3）利用函数的单调性说明根的唯一性。

【例4】证明方程015xx在区间)0,1(内有且只有一个实根。

解：设1)(5xxxf， 显然)(xf在0,1上连续，且1)1(f，1)0(f

由零点定理得 在)0,1(上，至少有一点，使得0)(f，即方程015xx在区间)0,1(内至少有一个实根，

又因为015)(4xxf，故)(xf在区间)0,1(单调递增，即)(xf在区间)0,1(上至多有一个零点。

综上方程015xx在区间)0,1(内有且只有一个实根。

四、同步练习

（一）填空题：

1．若函数122kxxy在点1x处取得极小值，则k 。

2．函数xxxf33 的极小值为 。

3．设322axxy在点1x处取得极小值，则a 。

4．设函数)(xfy在点0x处可导，且在该点取得极小值，则曲线)(xfy在点),(00xfx处的切线方程为 。

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（二）选择题：

1．函数3232xxxf（ ）

A．只有极大值； B．只有极小值；

C．在1x处取极大值，在0x处取极小值；

D．在1x处取极小值，在0x处取极大值

2．00xf，00xf是函数xf在点0xx处有极值的（ ）

A．必要条件； B．充分条件； C．充要条件； D．无关条件

3．函数xfy在点0xx处取得极大值，则必有（ ）

A．00xf； B．00xf；

C．00xf且00xf ； D．00xf或不存在

4．设321xxf，则点1x是xf的（ ）

A．间断点； B．可导点； C．驻点； D．极值点

5．函数32)1()2()(xxxf的极大值点是（ ）

A．−2； B．2； C．−1； D．1

6．设1x是21)(2bxxxf的驻点，则b（ ）

A．−2； B．2； C．21； D．21

7．函数2)(xxeexf的极小值点为（ ）

A．1； B．−1； C．0； D．不存在

8．设函数)(xf在[0，1]上可导，且0)(xf，0)0(f，0)1(f，则)(xf在（0，1）内（ ）

A．至少有两个零点； B．有且仅有一个零点； 82 C．没有零点； D．零点个数不能确定

（三）解答题：

1．证明不等式：xex1（0x）。

2．设1x，证明：xx132。

3．求函数3223xxy的极值。

4．已知432xxy，试讨论其单调性，并求其极值。

5．已知xxy33，试讨论其单调性，并求其极值。

6．已知22xexxf，试讨论其单调性，并求其极值。

7．已知xxxf3443)(，试讨论其单调性，并求其极值。

8．确定函数323)11()(xxxf的单调区间并求其极值。

9．讨论函数xxy4的单调性并求其极值。

10．证明方程019323xxx在（0，1）内有唯一的实根。