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§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m ⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a∥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
