10年天津市和平区数学整理1张

2023-2024学年天津市和平区七年级上学期期中质量调查数学试题第I 卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作元，那么亏本60元记作（ ）90+A ．元 B ．元 C ．元D ．元60-70-60+70+2. 的相反数是（ ）5-A ．B ．5C ．D ．155-15-3. 计算的结果是（ ）()914--A ．B ．23C ．D ．523-5-4． 2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器到地球的距离为1920000000公里．其中1920000000用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．719210⨯919.210⨯81.9210⨯91.9210⨯5. 下列各组中的两项是同类项的是（ ）A ．与B ．与ab abc 35-3x-C ．与D ．与25x y 23y x2xy -5yx-6. 下列说法正确的是（ ）A ．的系数是B ．的常数项是x π-1-2327x y xy +-7-C ．是单项式D ．的次数是23x y +25x y 7. 下列各式，，，，，，a 中，整式有（ ）1a 2x y +213a bx y π-54yx 0A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个8. 下列合并同类项的结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．277a a a +=532y y -=22232x y yx x y -=325a b ab +=9. 下列去括号正确的是（ ）A ． B ．()3131x x -=-()3232x y x y -+=-+C ．D ．()2121x x -+=--()3133x x -+=-+10. 点A 、B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ．则下列各式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．a b <0a b ->a b >-0a b +<11. 若有理数a ，b 满足，则的值为（ ）()2210a b ++-=()2021a b +A ．－1B ．1C ．9D ．－912. 若，则的值是（ ）22570m n m n ==+<，，m n -A ．－12或－2B ．－2或12C ．12或2D ．2或－12第Ⅱ卷（非选择题 共84分）2、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）13. 的倒数是__________．15-14. 用四舍五入法取近似数，__________（精确到百分位）.32.1998≈15. 比较大小：0；； ．1.5-34-45-7--7-16. 关于x 、y 的多项式中不含三次项，则n 的值是__________．2214xy nxy xy +++17. 若，则__________．34a b -=239a b -+=18. 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，如果对折n 次，可以得到________条折痕．第一次对折 第二次对折 第三次对折3、解答题（本大题共7题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（8分）请把下列各数填入相应的集合中：，6，，，，0，，0.01，15-2273.25-0.6g π132-正数集合：｛ …｝整数集合：｛ …｝负分数集合：｛ …｝非负整数集合：｛ …｝20.（12分）计算：（1）（2）()()2935+----731081557⎛⎫-÷⨯-⨯ ⎪⎝⎭（3）（4）()111(24263-+⨯-23213[2(2)]334⎛⎫-+⨯+--÷- ⎪⎝⎭21.（6分）化简下列各式：：（1）．（2）22543x y x y +--()()7332a a b b a +---22.（10分）先化简，再求值：（1），其中．()()225222a b b a b+-++2,1a b =-=-（2），其中.2222222(45)[(23)(25)]x y xy x y x y x y xy ---++-2,3x y ==-23.（10分）出租车司机小李某天的运营全是在东西走向的人民大街进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：km ）：　、、、、、、、、、 、10+3-8-11+10-12+4+15-16-15+11+（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少？在出车地点的什么方向？（2）若汽车的耗油量为，那么这天下午汽车共耗油多少？0.5/L km 24.（10分）七年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元，现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7折收费．若有名学生去公园秋游.m (1)用含的代数式表示两种优惠方案各需多少元；m (2)当时，采用哪种方案优惠？请说明理由.70=m 25.（10分）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：b a b 、60c a b +-+=（1）请直接写出的值． ， ， ；a b c 、、=a b =c =（2）所对应的点分别为，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在B 、C a b c 、、A B C 、、之间运动时，请化简式子：6+ 2.x x -+（3）在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A 以每秒个单位A B C 、、 (0)n n >长度的速度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度C 2n 5n 向右运动，假设经过秒钟过后，若点B 与点之间的距离表示为，点A 与点B 之间的距C BC 离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若AB BC AB -不变，请求其值．答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）题号123456789101112答案ABADDB BCCDAC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）（13） （14） 32.20 （15）< ；> ；< 5-（16）（17）（18）15 ； 4-10-21n -三、解答题（本大题共7小题，共66分）（19）（每小题2分，共8分）正数集合：{6，，，，0.01…}……………………… 2分2270.6g整数集合：{，6，0…}……………………… 4分15-负分数集合：{，…}……………………… 6分3.25-132-非负整数集合：{6，0…}……………………… 8分（20）（每小题3分，共12分）（1）()()2935+----()2935=+-++-（）；……………………… 3分9=-（2）731081557⎛⎫-÷⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 718105857=-⨯⨯⨯；……………………… 6分25=-（3） ()11124263⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭()()()111242424263=⨯--⨯-+⨯-()1248=-++-；………………………9分16=-（4）(23213[22)334⎛⎫⎤-+⨯+--÷- ⎪⎦⎝⎭ ()2928343=-+⨯-+⨯()296343=-+⨯-+⨯()9412=-+-+．……………………… 12分1=-（21）（每小题3分，共6分）（1）22543x y x y+--()()21453x y=-+-．……………………… 3分232x y =-+（2）()()7332a a b b a +---73922a a b b a=+--+()()73292a b=++-+．……………………… 6分1211a b =-（22）（每小题5分，共10分）解：（1）()()225222a b b a b+-++2255242a b b a b=+--+2254522a a b b b=-+-+，……………………… 3分25a b =+当时，2,1a b =-=-原式．……………………… 5分()()22511=-+⨯-=-（2）原式=4x 2y ﹣5xy 2+2x 2y 2﹣3x 2y ﹣2x 2y+5xy 2=﹣x 2y+2x 2y 2，………………………8分当x=2，y=﹣3时，原式=12+72=84．……………………… 10分（23）（本小题10分）（1）解：()()()()()()()()()()1038111012415161511++-+-+++-+++++-+-++++，……………………… 3分11km =+答：小李距下午出车地点的距离是，在出车地点的东边．……………………… 5分11km （2）解： 共行驶：1038111012415161511++-+-+++-+++++-+-++++1038111012415161511=++++++++++(千米)，……………………… 8分115=共耗油：(升)……………………… 9分1150.557.5⨯=答：这天下午汽车共耗油升．……………………… 10分57.5（24）（本小题10分）（1）解：甲方案：，……………………… 2分30m ⨯⨯81024m =乙方案：元；……………………… 4分()(5)300.721(521105)m m m +⨯⨯=+=+（2）解：当时，甲方案付费为元，………………………6分70=m 24701680⨯=乙方案付费元，……………………… 8分2170+105=1575⨯∵，16801575>∴采用乙方案优惠．……………………… 10分（25）（本小题10分）解：（1）∵是最小的正整数，∴，1b =∵，60c a b +-+=∴，，60c -=0a b +=∴，．6c =1a =-故，1，6；……………………… 3分1-（2）∵根据题意，点在B 、C 间运动，P ∴，16x <<∴……………………… 6分62=6(2)8x x x x -++-++=（3）不变，理由如下：根据题意，当经过秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，A (1)nt --B (12)nt +C (65)nt +由题意，，……………8分65(12)53BC nt nt nt =+-+=+12(1)23AB nt nt nt =+---=+∴，()()53233BC AB nt nt -=+-+=∴的值不变，．……………………… 10分BC AB -3BC AB -=。

2024年天津市和平区双菱中学数学九年级第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）点()1,2A 向右平移2个单位得到对应点'A ，则点'A 的坐标是（）A ．()3,2B ．()1,0C ．()1,2-D ．()1,42、（4分）设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和53、（4分）直线23y x =-的截距是（）A ．—3B ．—2C ．2D ．34、（4分）设a=，b=，c=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b>c>a B ．b>a>c C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b 5、（4分）如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明想测出A 、B 间的距离；先在AB 外选一点C ，然后找出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量MN 的长为19m ，由此他得到了A 、B 间的距离为（）A ．28mB ．38mC ．19mD ．39m6、（4分）下列命题是假命题的是（）A ．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半B ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等C ．平行四边形是中心对称图形D ．对角线相等的四边形是平行四边形7、（4分）若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1B ．-1C．1或-1D ．128、（4分）有9位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前5位同学进入决赛，小明知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这9位同学得分的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）对于反比例函数3y x =，当1x <-时，y 的取值范围是__________．10、（4分）已知5的整数部分为a ，5的小数部分为b ，则a +b 的值为__________11、（4分）在一次函数y ＝（2﹣m ）x +1中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____．12、（4分）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）13、（4分）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过t （分）时，小明与家之间的距离为1s （米），小明爸爸与家之间的距离为2s （米），图中折线OABD 、线段EF 分别表示1s 、2s 与t 之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过___分钟在返回途中追上爸爸．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为贯彻落实关于“传承和弘扬中华优秀传统文化”的重要讲话精神，2018年5月27日我市举办了第二届湖南省青少年国学大赛永州复赛.本次比赛全市共有近200所学校4.6万名学生参加.经各校推荐报名、县区初赛选拔、市区淘汰赛的层层选拔，推选出优秀的学生参加全省的总决赛.下面是某县初赛时选手成绩的统计图表（部分信息未给出）.请根据图表信息回答下列问题：（1）在频数分布表中，m =，n =.（2）请将频数直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于120分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？15、（8分）已知函数4y x =-，（1）在平面直角坐标系中画出函数图象；（2）函数图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，已知(),P x y 是图象上一个动点，若OPA 的面积为6，求P 点坐标；（3）已知直线()10y kx k =+≠与该函数图象有两个交点，求k 的取值范围.16、（8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，AB=5，AC=6，过D 点作DE//AC 交BC 的延长线于E 点（1）求△BDE 的周长（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，求证：BP=DQ 17、（10分）化简求值：2321()11x x x x x x --⋅-+，其中x 5-．18、（10分）某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在周长为26cm 的▱ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ．则△CDE 的周长为_____cm ．20、（4分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠D=60°，AB=4，E 为边BC 上的动点，连接AE ，作AE 的垂直平分线GF 交直线CD 于F 点，垂足为点G ，则线段GF 的最小值为____________．21、（4分）是同类二次根式，那么a=_______22、（4分）如图，折叠矩形纸片的一边AD,使点D 落在BC 边上的点F 处，BC=10cm,AB=8cm,则EC 的长为_________.23、（4分）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l ∥BE ，则∠1的度数为____________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知：如图，在▱ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ．猜测DE 和BF 的位置关系和数量关系，并加以证明．25、（10分）如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于点,//E BF DE ，交AG 于点F ．求证： AF BF EF=+26、（12分）用适当的方法解一元二次方程：x2+4x+3=1．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】根据平移的坐标变化规律，将A 的横坐标+2即可得到A′的坐标．【详解】∵点A （1，2）向右平移2个单位得到对应点'A ，∴点'A 的坐标为（1+2，2），即（3，2）．故选A ．本题考查图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．2、C 【解析】的取值范围．【详解】∵45<<，∴314<<，故34a <<，故选C.3、A 【解析】由一次函数y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距是b ，可求解．【详解】∵在一次函数y ＝2x−1中，b ＝−1，∴一次函数y ＝2x−1的截距b ＝−1．故选：A ．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的关系式．4、B 【解析】先把a 、b 化简，然后计算b -a ，b -c ，a -c 的值即可得出结论．【详解】解：a ==，b ===．由b -a ==＞0，∴b ＞a ，由b -c ==＞0，∴b ＞c ，∴b 最大．又∵a -c ==＞0，∴a ＞c ，故b ＞a ＞c ．故选B ．本题考查了无理数比较大小以及二次根式的性质．化简a 、b 是解题的关键．5、B 【解析】根据三角形中位线定理解答．【详解】∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴AB ＝2MN ＝38（m ），故选B ．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．6、D 【解析】利用直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题；B 、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题；D 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，故选：D ．本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定．7、B 【解析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方程()22110a x x a -++-=得到关于a 的一元二次方程，然后解此方程即可【详解】把x=0代入方程()22110a x x a -++-=得210a -=，解得a=±1．∵原方程是一元二次方程，所以10a -≠，所以1a ≠,故1a =-故答案为B 本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．8、B 【解析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知9人成绩的中位数是第5名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于9个人中，第5名的成绩是中位数，故小明同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，需知道这9位同学的分数的中位数．故选：B ．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、﹣3＜y ＜1【解析】先求出x ＝﹣1时的函数值，再根据反比例函数的性质求解．【详解】解：当x ＝﹣1时，3331y x ===--，∵k ＝3＞1，∴图象分布在一、三象限，在各个象限内，y 随x 的增大而减小，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，且y ＜1，∴y 的取值范围是﹣3＜y ＜1．故答案为：﹣3＜y ＜1．本题主要考查反比例函数的性质．对于反比例函数k y x =（k ≠1），当k ＞1时，在各个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜1时，在各个象限内，y 随x 的增大而增大．10、12-【解析】的取值范围，再求出5与5的取值范围，从而求出a ，b 的值．【详解】解：∵3＜4，∴8＜5＜9，1＜5＜2，∴5的整数部分为a =8，5的小数部分为b =5-1=4，∴a +b =8+4=12-，故答案为12．的范围．11、m ＞1．【解析】根据一次函数的性质列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】∵一次函数y ＝（1﹣m ）x +1的函数值y 随x 的增大而减小，∴1﹣m ＜0，∴m ＞1．故答案为m ＞1．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．12、AD ⊥BC 【解析】根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．【详解】∵在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=．故答案为：AD BC ⊥．本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．13、1.【解析】用路程除以时间就是小亮骑自行车的速度；设小亮从家出发，经过x 分钟，在返回途中追上爸爸，再由题意得出等量关系除了小亮在图书馆停留2分钟，即x-2分钟所走的路程减去小亮从家到图书馆相距的2400米，就是小亮在返回途中追上爸爸时，爸爸所走的路程，列出方程即可解答出来【详解】解：小亮骑自行车的速度是2400÷10=240m/min ；先设小亮从家出发，经过x 分钟，在返回途中追上爸爸，由题意可得：（x-2）×240-2400=96x 240x-240×2-2400=96x144x=2880x=1．答：小亮从家出发，经过1分钟，在返回途中追上爸爸．此题考查一次函数的实际运用，根据图象，找出题目蕴含的数量关系，根据速度、时间、路程之间关系解决问题．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)m =0.2，n =20；（2）图见解析；（3）50%.【解析】（1）根据成绩在105≤x ＜120的频数和频率可以求得本次调查的人数，从而可以求得m 、n 的值；（2）根据（1）中n 的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据可以得到本次测试的优秀率．【详解】解：（1）由表可知：105≤x ＜120的频数和频率分别为15、0.3，∴本次调查的人数为：15÷0.3=50，∴m =10÷50=0.2，n =50×0.4=20，故答案为：0.2，20；（2）由（1）知，n =20，补全完整的频数分布直方图如右图所示；（3）成绩不低于120分为优秀，则本次测试的优秀率:（0.4+0.1）×100%=50%，答：本次测试的优秀率是50%．本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15、（1）图略；（2）()7,3P 或()1,3；（3）k 的取值范围是104-<<k 或01k <<.【解析】（1）去绝对值，化为常见的一次函数，画出图像即可；（2）由OPA 的面积可先求出P 点纵坐标y 的值，再由函数解析式求出x 值；（3）当直线1y kx =+介于经过点A 的直线与平行于直线()44y x x =-≥时，其与函数图像有两个交点.【详解】解：()144444x x y x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，所以函数图像如图所示()2如图，作PC y ⊥轴4,6OPA OA S ==6243PC ∴=⨯÷=43x ∴-=7x ∴=或1()7,3P ∴或()1,3()3直线1y kx =+与y 轴的交点为()0,1①当直线1y kx =+经过()4,0A 时，1410,4k k +=∴=-学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………②当直线1y kx =+平行于直线()44y x x =-≥时，1k =k ∴的取值范围是104-<<k 或01k <<本题考查了函数的图像，合理的将图像与一次函数相结合是解题的关键.16、（1）1；（2）证明见解析.【解析】分析：(1)因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt △AOB 中利用勾股定理求出OB ，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE 的周长；(2)容易证明△BOP ≌△DOQ ，再利用它们对应边相等就可以了．详解：（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3，22AB OA -∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED 是平行四边形，∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，∴△BDE 的周长是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=1．（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∥BC，∴∠QDO=∠PBO，∵在△DOQ 和△BOP 中QDO PBO OB OD QOD POB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOQ≌△BOP（ASA），∴BP=DQ．点睛：本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，也考查了全等三角形的判定及性质;这是一道综合性的题,熟悉每个知识点是解决问题的关键.17、x +【解析】首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x 的值代入化简后的式子中即可求解．【详解】原式=()()()()11113211x x x xx x x x x x +-+-⋅-⋅-+()()3121x x =+--3322x x =+-+5x =+当5x =时，原式55=+=．本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．18、（1）A 型：100元，B 型：150元；（2）①y=-50x+15000；②34台A 型电脑和66台B 型，利润最大，最大利润是1元【解析】（1）设每台A 型电脑销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元；然后根据销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍列不等式求出x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得10204000 20103500a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得100150 ab=⎧⎨=⎩．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y=100x+150（100-x），即y=-50x+15000；②据题意得，100-x≤2x，解得x≥331 3，∵y=-50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，此时最大利润是y=-50×34+15000=1．即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是1元．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、13.【解析】利用垂直平分线性质得到AE=EC，△CDE的周长为ED+DC+EC=AE+ED+DC，为平行四边形周长的一半，故得到答案【详解】利用平行四边形性质得到O为AC中点，又有OE⊥AC，所以EO为AC的垂直平分线，故AE=EC，所以△CDE的周长为ED+DC+EC=AE+ED+DC=AD+CD，即为平行四边形周长的一半，得到△CDE周长为26÷2=13cm，故填13本题主要考查垂直平分性性质，平行四边形性质等知识点，本题关键在于能够找到OE 为垂直平分线20、1【解析】作辅助线，构建三角形全等，证明Rt △AFM ≌Rt △EFN （HL ），得∠AFM=∠EFN ，再证明△AEF 是等边三角形，计算FG=2AG=2AE ，确认当AE ⊥BC 时，即FG 最小．【详解】解：连接AC ，过点F 作FM ⊥AC 于，作FN ⊥BC 于N ，连接AF 、EF ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠D=60°，∴∠B=∠D=60°，AD ∥BC ，∴∠FCN=∠D=60°=∠FCM ，∴FM=FN ，∵FG 垂直平分AE ，∴AF=EF ，∴Rt △AFM ≌Rt △EFN （HL ），∴∠AFM=∠EFN ，∴∠AFE=∠MFN ，∵∠FMC=∠FNC=90°，∠MCN=120°，∴∠MFN=60°，∴∠AFE=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AG=32AE ，∴当AE ⊥BC 时，Rt △ABE 中，∠B=60°，∴∠BAE=10°，∵AB=4，∴BE=2，∴当AE ⊥BC 时，即FG 最小，最小为1；故答案为1．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的性质和判定，垂线段的性质等知识，本题有难度，证明△AEF 是等边三角形是本题的关键．21、3【解析】分析：根据同类二次根式的被开方式相同列方程求解即可.详解：由题意得，3a +4=25-4a ，解之得，a =3.故答案为：3.点睛：本题考查了同类二次根式的应用，根据同类二次根式的定义列出关于a 的方程是解答本题的关键.22、3cm 【解析】【分析】由矩形的性质可得CD=AB=8，AD=BC=10，由折叠的性质可得AF=AD=10，DE=EF ，∠AFE=∠D=90°，在Rt △ABF 中，由勾股定理可求出BF 的长，继而可得FC 的长，设CE=x ，则DE=8-x ，EF=DE=8-x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理即可救出CE 的长.【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，AD=BC=10，∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，∴AF=AD=10，DE=EF ，∠AFE=∠D=90°，在Rt △ABF 中，BF==6，∴FC=BC-BF=4，设CE=x，则DE=8-x，EF=DE=8-x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，即CE=3cm，故答案为：3cm.【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.23、36°【解析】∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=180(52)5⨯-=108°，∴∠1=∠2=12（180°-∠BAE），即2∠1=180°-108°，∴∠1=36°．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、DE=BF，DE∥BF.【解析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ADE≌△CBF，即可得结论．【详解】解：DE∥BF DE=BF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，且AE=CF，AD=BC，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE=BF，∠AED=∠BFC，∴∠DEC=∠AFB ，∴DE ∥BF.∴DE=BF ，DE ∥BF.本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．25、见详解.【解析】结合正方形的性质利用AAS 可证ABF DAE ≅，由全等三角形对应边相等的性质易证结论.【详解】证明：四边形ABCD 是正方形,90AB DA BAD ︒∴=∠=DE AG ⊥Q 90AED DEF ︒∴∠=∠=//BF DE Q 90BFA DEF ︒∴∠=∠=BFA AED ∴∠=∠90,90BAF DAE DAE ADE ︒︒∠+∠=∠+∠=Q BAF ADE ∴∠=∠在ABF 和DAE △中，BFA AED BAF ADE AB DA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABF DAE AAS ∴≅V V BF AE∴= AF AE EF=+Q AF BF EF∴=+本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活的利用正方形的性质及平行线的性质确定全26、x2=-3，x2=-2【解析】利用因式分解法解方程．【详解】解：（x+3）（x+2）=2，x+3=2或x+2=2，所以x2=-3，x2=-2．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．第21页，共21页。

本训练分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间1002024-2025学年天津市和平区高一上学期第一次月考数学质量检测试题分钟．第Ⅰ卷 选择题（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ）A. {}0B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为（ ）A. 2R,240x x x ∃∈-+≥ B. 2R,240x x x ∃∈-+<C. 2R,240x x x ∀∉-+≥ D. 2R,240x x x ∃∉-+<【答案】B 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+<”.故选：B.3. 已知不等式240x ax ++<的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()4,4- B. ()(),44,∞∞--⋃+C. ()(),22,∞∞--⋃+ D. ()2,2-【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式、函数、方程的关系计算即可.【详解】由题意可知2440a ∆=-⨯>，解之得()(),44,a ∈-∞-⋃+∞.故选：B 4. 若,,a b c R ∈，且满足a b c >>，则下列不等式成立的是A.11a b< B.2211a b >C.2211a bc c >++ D. a c b c>【答案】C 【解析】【分析】通过反例可依次排除,,A B D 选项；根据不等式的性质可判断出C 正确.【详解】A 选项：若1a =，2b =-，则11a b>，可知A 错误；B 选项：若1a =，12b =，则2211a b <，可知B 错误；C 选项：210c +> 2101c ∴>+又a b > 2211a bc c ∴>++，可知C 正确；D 选项：当0c =时，a c b c =，可知D 错误.本题正确选项：C【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.5 已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（ ）A. {|1x x ≤-或}2x ≥B. {|01x x <<或}2x ≥C. {|1x x <-或x >2}D. {|01x x <<或x >2}【答案】B 【解析】【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果.【详解】因为{}0U x x =>，{}12A x x =≤<，所以U A =ð{|01x x <<或}2x ≥..故选：B6. 已知,R a b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用集合相等，求出0b =，再根据互异性求出a 的取值情况并检验即可．【详解】根据题意，0a ≠，故0ba=，则0b =，则{a ,0,21}{a =,a ,0}，由集合的互异性知0a ≠且1a ≠，故{a ,0,21}{a =,a ,0}，则21a =，即1a =-或1a =（舍)，当1a =-，0b =时，{1-,0,1}{1=,1-,0}，符合题意，所以1a b +=-．故选：A ．7. 已知0a >，0b >，132a b+=，则a b +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式中“常数”代换，即可求得.【详解】0,0a b >> ，132a b+=，11313()()(4)22b a a b a b a b a b ∴+=++=++1(422≥+=，当且仅当3b a a b =，即a b ==.故选：D .8. 满足{}{}1,2,31,2,3,4,5A = 的集合A 的个数是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据并集、子集知识求得正确答案.【详解】因为{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=，所以4,5A ∈，所以集合A 是集合{}4,5与集合{}1,2,3的子集的并集所得，集合{}1,2,3的子集共有328=个，所以集合A 有8个.故选：D9. 设集合{}13A x x =->，{}2B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（ ）A. {}4a a ≤- B. {}1a a ≤- C. {}1a a ≥ D. {}4a a ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据不等式解集表示出,A B ，然后将A B A = 转化为B A ⊆，由此列出不等式完成求解.【详解】由13x ->解得4x >或2x <-，所以{2A x x =<-或}4x >，由2x a <解得2ax <，所以2a B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，又因为A B A = ，所以B A ⊆，所以22a≤-，所以4a ≤-，即a 的取值范围是{}4a a ≤-，故选：A.10. 若“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. {|1a a ≤或2}a ≥ B. {}21a a -<<C. {}21a a -≤≤- D. {|2a a ≤-或1}a ≥-【答案】C 【解析】【分析】求得不等式的()()30x a x a ---<解，由已知可得131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），求解即可.【详解】因为()()30x a x a ---<，所以3a x a <<+，因为“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，的所以131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），解得21a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是{}|21a a -≤≤-.故选：C.11. 已知0x >，0y >，且26xy x y ++=，则2x y +的最小值为（ ）．A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【详解】解：已知00x y >>，，且xy +2x +y =6，y =621x x -+2x +y =2x +621x x -+=2(x +1)8441x +-≥+，当且仅当()821,11x x x +==+时取等号，故2x +y 的最小值为4.故选:A12. 关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（ ）A. (1,0][2,3)-⋃ B. [2,1)(3,4]-- C. ()(]2,13,4--⋃ D. [1,0)(2,3]- 【答案】B 【解析】【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得．【详解】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式∆的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．第Ⅱ卷 非选择题（90分）二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）13. 函数()f x =______．【答案】[)(]2,11,2- 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可.【详解】由题意得2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得21x x ⎧≤⎨≠⎩，即221x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以()f x 的定义域为[)(]2,11,2- ，故答案为：[)(]2,11,2- .14. 设{|2}A x x ==，{|2}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值为_________．【答案】0或1-或1【解析】【分析】根据B A ⊆，对集合{|2}B x ax ==进行分类讨论，即可求得a 的值.【详解】因{|2}A x x ==，则{2,2}A =-，因为{|2}B x ax ==，当0a =时，则B =∅，满足B A ⊆，当0a ≠时，则2{}B a =，因为B A ⊆,所以22a =或22a=-，则1a =或1a =-，综上，0a =或1a =-或1a =.为故答案为：0或1-或1.15. 若2a >-，则162a a ++的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】根据基本不等式直接求最值.【详解】1616222622a a a a +=++-≥-=++当且仅当162,22a a a +==+时取等号故答案为：6【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知全集R U =，集合{}Z 03M x x =∈≤≤与集合{}*21,N N x x k k ==+∈的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______．【答案】3【解析】【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是()U N M ð，故先化简两个集合，即可求解.【详解】由题意{}{}Z 030,1,2,3M x x =∈≤≤=， {}{}*21,N 3,5,7,,N x x k k ==+∈= 故{}()0,1,2U N M ⋂=ð，集合有3个元素，故答案为：317. 已知13a b -<+<且24a b <-<，则23a b +的取值范围是______．【答案】913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设()()23a b x a b y a b +=++-，求出,x y ，结合不等式性质可求结论.【详解】设()()23a b x a b y a b +=++-，则()()23a b x y a x y b +=++-，所以2,3x y x y +=-=，故52x =，12y =-，所以()()512322a b a b a b +=+--，因为13a b -<+<，24a b <-<，所以()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以9132322a b -<+<，所以23a b +取值范围是913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为：913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.18. 已知集合{}12A x x =-<≤，{}12B x m x m =-≤<+．若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是______．【答案】{3m m >或}3m ≤-【解析】【分析】由A B =∅ ，有12m ->或21m +≤-，解不等式可得．【详解】显然集合{}12B x m x m =-≤<+非空，要使A B =∅ ，应有12m ->或21m +≤-，解得3m >或3m ≤-，故答案为：{3m m >或}3m ≤-19. 若两个正数,x y 满足92xy x +=，且不等式212x m m y+>-恒成立，则实数m 取值范围是______．【答案】(1-+【解析】【分析】由条件适当变形，再结合均值不等式求出1x y +的最小值，只需2min 12()m m x y-<+，解出实数m 的范围即可.【详解】解：因为,x y 为正数且满足92xy x +=，的的所以92y x+=，所以1111111()()(2)2)2222x y x xy y x y xy +=++=++≥+=当且仅当192xy xy xy x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即515x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.因为不等式212x m m y+>-恒成立，所以只需222m m -<，即2220m m --<，所以11m -<<+，即实数m的取值范围是(1-+.故答案为：(1-+.20. 设,,a b c 是两两不相等的正整数，已知集合{},,A a b b c c a =+++，集合()(){}()222*,1,2N B n n n n =++∈，若A B =，则222ab c ++的最小值是______．【答案】1297【解析】【分析】不妨设a b c <<，由条件可得()2142n a --=，()2122n b ++=，()2342n c +-=，由此证明n 为奇数且3n >，证明5n =时，,,a b c 都最小，由此可得结论.【详解】不妨设a b c <<，则a b a c b c +<+<+，因为A B =，{},,A a b b c c a =+++，()(){}222,1,2B n n n =++，所以2a b n +=，()21a c n +=+，()22b c n +=+，所以()22365a b c n n ++=++，所以23652n n a b c ++++=，所以()()22214365222n n n a n --++=-+=，()()22212365122n n n b n ++++=-+=，()2223436522n n n c n +-++=-=，因为,,a b c 为正整数，N n *∈，所以1n -，1n +，3n +都为奇数，12n ->，故n 为大于等于5的奇数，又当5x ≥时，函数()2142x y --=，()2122x y ++=，()2342x y +-=都随x 的增大而增大，所以当5n =时，,,a b c 同时取最小值，此时222a b c ++取最小值，当5n =时，6a =，19b =，30c =，222363619001297a b c ++=++=，所以222a b c ++的最小值是1297.故答案为：1297.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设a b c <<，由此求出,,a b c 的表达式，结合整除知识，证明n 为大于等于5的奇数.三．解答题（本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 已知非空集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}25Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求()R P Q ð；（2）若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|24x x -≤< （2）02a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】3a =时，P ={x |4≤x ≤7}，{|4P x x =<R ð或}7x >，因为{}25Q x x =-≤≤，所以(){}R |24P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，则P Q ⊆，所以12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤.22. 设命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立：命题1:13m q m m m ⎧⎫+∈≥⎨⎬-⎩⎭．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）02m ≤<（2）01m <<或23m ≤<【解析】【分析】（1）对m 进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 真q 假或p 假q 真，列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】对于命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立，当0m =时，102>恒成立.当0m ≠时，则需20Δ20m m m >⎧⎨=-<⎩，解得02m <<.综上所述，m 的取值范围是02m ≤<.【小问2详解】由113m m +≥-得1132210333m m m m m m m++-+--==≥---，所以()()223030m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13m ≤<.若p 真q 假，则“02m <<”且“1m <或3m ≥”，则01m <<.若p 假q 真，则“0m ≤或2m ≥”且“13m ≤<”，则23m ≤<.综上所述，m 的取值范围是01m <<或23m ≤<.23. 已知函数()()()21,f x ax a x b a b =-++∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3-，求不等式240bx ax -+<的解集；（2）若1b =，求关于x 的不等式()0f x >的解集．【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得0a >，且1-，3是方程2(1)0ax a x b -++=的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出a ，b ，进一步可得不等式240bx ax -+<等价于2340x x --+<，即2340x x +->，最后求解不等式即可；（2）当0b =时，0a >时，不等式等价于1(1)0x x a -->，从而分类讨论1a >，1a =，01a <<三种情况即可求出不等式所对应的解集．【小问1详解】若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,3)-，则1-和3是方程()210ax a x b -++=的两根，且0a >，由韦达定理得123a a b a+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1,3a b ==-，所以不等式()()22403403410bx ax x x x x -+<⇔--+<⇔+->，解得43x <-或1x >，所以不等式240bx ax -+<的解集为()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】若1b =，则()()()()20110110f x ax a x ax x >⇔-++>⇔-->，1）当0a =时，由()10x -->解得1x <；2）当0a ≠时，方程()()110ax x --=的两根为1,1a，当0a <时，11a <，解不等式()()110ax x -->得11x a<<；当01a <<时，11a >，解不等式()()110ax x -->得1x <或1x a >；当1a >时，11a <，解不等式()()110ax x -->得1x >或1x a <；当1a =时，由2(1)0x ->得1x ≠．综上，当0a =时，不等式解集为(),1-∞；当0a <时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭ ；当1a >时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式解集为()(),11,-∞+∞ ．24. 设二次函数2y x mx =+.（1）若对任意实数[]0,1,0m y ∈>恒成立，求实数x 的取值范围；（2）若存在[)04,0x ∈-，使得函数值04y ≤-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),10,-∞-⋃+∞（2）[)4,+∞【解析】【分析】(1)转化m 自变量，x 为参数，根据已知条件列方程式即可求解；(2)若存在[)04,0x ∈-，使得04y ≤-成立，经变形后()004x m x -+≤-，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出m 的取值范围.【小问1详解】对任意实数[]()0,1,0m f x ∈>恒成立，即()20g m xm x =+>对任意实数[]0,1m ∈恒成立，因为()2g m xm x =+是关于m 的一次函数， 所以()()220010g x g x x ⎧=>⎪⎨=+>⎪⎩001x x x ≠⎧⎨><-⎩或所以实数x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞；【小问2详解】存在[)04,0x ∈-，使得()04f x ≤-成立，即2004x mx +≤-，只需()004x m x -+≤-成立，即需00min 4x m x ⎛⎫-+ ⎪-⎭≤⎝成立，因为(]00,4,x -∈所以0044x x -+≥=-（当且仅当02x =-时等号成立），则00min 44x m x ⎛⎫-+=≤ ⎪-⎝⎭，所以4≥m ，综上得实数m 的取值范围是：[)4,+∞.。

2023-2024学年天津市和平区九年级上册期末数学质量检测卷一、选一选：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的．1．下列四个图形中，是对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x ＝－2的是（）A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-3．如图，将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB ＝10°，则∠AOB ′的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°4．对于二次函数y ＝2（x ＋1）（x －3），下列说确的是（）A ．图象的开口向下B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝－15．将抛物线222y x x =-+先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A ．（－2，3）B ．（－1，4）C ．（3，4）D ．（4，3）6．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A ．B ．4C ．D ．8．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似，在象限内将线段AB 减少为原来的12后得到线段CD ，则点B 的对应点D 的坐标为（）A ．（3，3）B ．（1，4）C ．（3，1）D ．（4，1）9．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点M ，交⊙O 于点D ．则图中类似三角形共有（）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD AB ∥，若⊙O 的半径为52，CD ＝4，则弦AC 的长为（）A ．25B ．32C ．4D ．2311．（3分）一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相反，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（）A ．16B ．29C ．13D ．2312．如图是抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③()24b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为______．14．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝50°，则∠BAC ＝______．15．若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面积为______．16．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延伸线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝______．三、解答题：本大题共4小题，共36分，解答应写出文字阐明、演算步骤或推理过程．17、（8分）已知关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是1，求该方程的另一个根．18．（10分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且DE ＝CE ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延伸线交于点F ．（1）求证：CD BF ∥；（2）若⊙O 的半径为6，∠A ＝35°，求 DBC 的长．19．（8分）留意：为了使同窗们地解答本题，我们提供了一种解题思绪，你可以按照这个思绪按上面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题，此时不必填空，只需按解答题的普通要求进行解答．参加商品买卖会的每两家公司之间都签订了一份合同，一切公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品买卖会？设共有x家公司参加商品买卖会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以一切公司共签订了______份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．20．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为3 3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）点P与水面的距离是______m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？参考答案与试题解析一、选一选：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的．1．C2．【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．【解答】解：()22y x =+的对称轴为x ＝－2，A 正确；222y x =-的对称轴为x ＝0，B 错误；222y x =--的对称轴为x ＝0，C 错误；()222y x =-的对称轴为x ＝2，D 错误．故选：A ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．3．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，∴∠A ′OA ＝45°，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝10°，∴∠AOB ′＝∠A ′OA －∠A ′OB ′＝45°－10°＝35°，故选：C ．【点评】此题次要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A ′OA ＝45°，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝10°是解题关键．4．【分析】先把二次函数化为顶点式的方式，再根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：二次函数y ＝2（x ＋1）（x －3）可化为()2218y x =--的方式，A 、∵此二次函数中a ＝2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x ＝1，故本选项错误．故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的方式是解答此题的关键．5．【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．【解答】解：∵()222211y x x x =-+=-+，∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为()243y x =-+，∴顶点坐标为（4，3），故选：D ．【点评】本题次要考查函数图象的平移，求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．6．A7．【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA ，作OM ⊥AB ，得到∠AOM ＝30°，∵圆内接正六边形ABCDEF 的周长为24，∴AB ＝4，则AM ＝2，因此cos30OM OA =⋅︒=A ．【点评】此题次要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．8．【分析】利用位似图形的性质，两图形的位似比，进而得出D 点坐标．【解答】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似，在象限内将线段AB 减少为原来的12后得到线段CD ，∴点D 的横坐标和纵坐标都变为B 点的一半，∴点D 的坐标为：（4，1）．故选：D ．【点评】此题次要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似，类似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k ．9．【分析】类似三角形的判定成绩，只需两个对应角相等，两个三角形就是类似三角形．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠DBC ＝∠DCB ，又∵∠BDA ＝∠MDB ，∠CDA ＝∠MDC ，∴△ABD ∽△BDM ；△ADC ∽△CDM ；∵∠CAD ＝∠CBD ，∠AMC ＝∠BMD ，∴△AMC ∽△BMD ，∵∠BAD ＝∠MCD ，∠AMB ＝∠CMD ，∴△ABM ∽△CDM ，∵∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠DAC ，∴△ABM ∽△ADC ，∵∠ACB ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CAD ，∴△ACM ∽△ADB ，∴共有六对类似三角形，故选：C ．【点评】此题次要考查了类似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形类似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似；（3）三边对应成比例的两个三角形类似．10．【分析】首先连接AO 并延伸，交CD 于点E ，连接OC ，由直线AB 与⊙O 相切于点A ，根据切线的性质，可得AE ⊥AB ，又由CD AB ∥，可得AE ⊥CD ，然后由垂径定理与勾股定理，求得OE 的长，继而求得AC 的长．【解答】解：连接AO 并延伸，交CD 于点E ，连接OC ，∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，∴EA ⊥AB ，∵CD AB ∥，∠CEA ＝90°，∴AE ⊥CD ，∴114222CE CD ==⨯=，∵在Rt △OCE 中，32OE ==，∴AE ＝OA ＋OE ＝4，∴在Rt △ACE 中，AC ==A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质．此题难度适中，正确的添加辅助线是解题的关键．11．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：3193=．故选：C ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．留意树状图法与列表法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，列表法合适于两步完成的；树状图法合适两步或两步以上完成的；解题时要留意此题是放回实验．12．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（－2，0）和（－1，0）之间，则当x ＝－1时，y ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，即b ＝－2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b n a-=，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，则抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（－2，0）和（－1，0）之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b n a-=，∴()2444b ac an a c n =-=-，所以③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的地位：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点地位：抛物线与y 轴交于（0，c ）：抛物线与x 轴交点个数由△决定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2【分析】△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，可得∠DEA ＝∠DEA ′＝90°，AE ＝A ′E ，所以，△ACB ∽△AED ，A ′为CE 的中点，所以，可运用类似三角形的性质求得．【解答】解：∵△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，∴∠DEA ＝∠DEA ′＝90°，AE ＝A ′E ，∴△ACB ∽△AED ，又A ′为CE 的中点，∴ED AE BC AC =，即163ED =，∴ED ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换和类似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形类似，各边之比就是类似比．14．25°【分析】连接OB ，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB ＝180°－∠P ＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数．【解答】解：连接OB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－∠P －∠PAO －∠PBO ＝130°，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的运用，次要考查先生的推理和计算能力，留意：圆的切线垂直于过切点的半径．15．6∏16．40°【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF＝∠A＋∠E＝85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD＝180°－∠A＝125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．【解答】解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°，∵∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°，∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，∴∠F＝125°－85°＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．三、解答题：本大题共4小题，共36分，解答应写出文字阐明、演算步骤或推理过程．17．【分析】将x＝1代入原方程可求出k值，设方程的另一个根为1x，根据两根之和等于b a-即可得出关于1x的一元方程，解之即可得出结论．【解答】解：将x＝1代入原方程，得：1＋k＋3＋k＝0，解得：k＝－2．设方程的另一个根为1x，根据题意得：1＋1x＝－（－2＋3），∴1x＝－2，∴该方程的另一个根为－2．18．【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD BF∥；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴DBC的长1406141803ππ⨯==．19．（x －1）()112x x -【分析】（Ⅰ）用x 表示出每家公司与其他公司签订的合同数，则用x 表示出一切公司共签订的合同数；（Ⅱ）利用一切公司共签订的合同数列方程得到()11452x x -=，然后解方程、检验、作答．【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x －1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以一切公司共签订了()112x x -份合同；（Ⅱ）根据题意列方程得：()11452x x -=，解得110x =，29x =-（舍去），检验：x ＝－9不合题意舍去，所以x ＝10．答：共有10家公司参加商品买卖会．故答案为：（x －1）；()112x x -．【点评】本题考查了一元二次方程的运用：列方程处理实践成绩的普通步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．20．【分析】（1）根据点P 的横纵坐标的实践意义即可得；（2）利用待定系数法求解可得；（3）在所求函数解析式中求出y ＝1时x 的值即可得．【解答】解：（1）由点P 的坐标为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭知点P 与水面的距离为32m ，故答案为：32；（2）设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A （4，0）、P 33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-＋；（3）当y ＝1时，21212x x =-＋，即2420x x -+=，解得：2x =±，则水面的宽为()22m +-=．。

天津市和平区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．已知如图中的两个三角形全等，则α∠度数等于（）A．45︒B．50︒C．60︒D．70︒△≌△成立的是（）4．如图，已知12∠=∠，则下列条件中，不能使ABC DCBA ．AB CD=B ．AC BD =C ．A D∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠5．如图，在ABC V 中，边AB 上的高是（）A ．CEB ．BEC ．AFD ．BD6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F 在边AB 上，BC DE ∥，作EFD ∠的平分线FM ，则BFM ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．2023年10月17日至118日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边上高的交点8．如图，G 为ABC V 三边中线AD ，BE ，CF 的交点，212cm ABC S =，则阴影部分的面积为（）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．28cm 9．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC V 外的A '处，折痕为DE ．如果．A α∠=，CEA β'∠=，BDA γ'∠=，那么下列式子中正确的是（）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γ=︒10．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．如果AB ＝AC ，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了BCD AOB ∠=∠．以下是排乱的作图过程：①以点C 为圆心，OE 长为半径画 MN ，交OB 于点M ．②作射线CD ，则BCD AOB ∠=∠．③以点M 为圆心，EF 长为半径画弧，交 MN于点D ．④以点O 为圆心，任意长为半径画 EF ，分别交OA ，OB 于点E ，E 则正确的作图顺序是（）A ．①②③④B ．③②④①C ．④①③②D ．④③①②12．如图，在ABC 中，45ABC ∠︒＝，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交B 于点N ，C 与B 交于点E ．下列结论：①∠ABM ACD ∠=；②DM DN =；③45AMD ∠=︒；④EDN ADM S S = ．其中正确结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知一个多边形的外角和与内角和的比为1:3，则这个多边形的边数为．14．在平面直角坐标系中，点(),2m -与点()3n ,关于x 轴对称，则m n +=．15．如图，AC CD ⊥，BD AB ⊥，请添加一个条件，使ABD ACD △≌△这个条件可以是．16．如图15AOE BOE ∠∠︒＝＝，EF OB ，EC OB ⊥于点C ，若2EC ＝，则OF =．17．如图,在ABC V 中,90,8cm,10cm ACB AC BC ∠=== ．点C 在直线l 上,动点P 从A 点出发沿A C →的路径向终点C 运动;动点Q 从B 点出发沿B C A →→路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于,M QN ⊥直线l 于N ．当点P 运动时间为秒时,PMC △与QNC 全等．三、解答题18．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．(1)在图①中，作ABC V ，使其面积为32；(2)在图②中，作四边形ABEF ，使其是轴对称图形且面积为3．19．已知ABC V 的三边长是a b c ，，．(1)若68a b ==，，且三角形的周长是小于22的偶数，求c 的值；(2)化简a b c c a b +---+．20．如图，在平面直角坐标系中，(0,3)A ，(2,1)B -，()3,2C ．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的A B C ''' ．(2)点C '的坐标为__________；A B C ''' 的面积为__________．(3)在x 轴上找出一点P ，使得PA PB +的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）21．小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，A 、B 两点分别为雕像底座的两端（其中A 、B 两点均在地面上）．因为A 、B 两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点A 、B 的点O ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使CO AO =，DO BO =，连接DC ，测出DC 的长即为雕塑底座两端A 、B 间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由．22．如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．23．如图1，点M N ，分别是正五边形ABCDE 的边，BC CD 上的点，且,BM CN =AM 交BN 于点P ．(1)求APN ∠的度数；(2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则APN ∠=．(3)探究：改成正n 边形()5n ≥，其他条件不变，则APN ∠=．（用含有n 的式子表示）24．图1是一个平分角的仪器，其中OD OE FD FE ==，．(1)如图2，将仪器放置在ABC V 上，使点O 与顶点A 重合，D ，E 分别在边AB AC ，上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．AP 是BAC ∠的平分线吗？请判断并说明理由．(2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，若69PQ AC ==，，ABC V 的面积是60，求AB 的长．25．如图，在Rt ABC △中，90604ACB A AC CD ∠=︒∠=︒=，，，平分ACB ∠，交边B 于点D ，点E 是边B 的中点．点P 为边B 上的一个动点．(1)AE =，ACD ∠=度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求CP 的长；(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD ∠的度数；(4)若点M 在线段C 上，连接MP ME 、，直接写出MP ME +的值最小时CP 的长度．。

天津和平区中心小学数学小升初试题解决问题解答应用题训练带答案解析1一、人教六年级下册数学应用题1．在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为7厘米的圆柱形钢材全部放人水中，这时水面上升10厘米.把这段钢材竖着拉出水面6厘米，水面下降3厘米。

求这段钢材的体积。

2．我们都知道：圆的周长与直径的比值就是圆周率。

它是一个无限不循环小数，用字母π表示。

但你未必知道“圆方率”，就让我们一起来探索吧！【探索】把一个棱长a厘米的正方体削成一个最大的圆柱体。

求这个圆柱体与正方体体积和表面积比。

（计算涉及圆周率，直接用π表示）3．—个棱长是6分米的正方体。

（1）它的表面积是多少？（2）如果把它削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少？（3）如果把它削成一个最大的圆锥体，削去的体积是多少立方分米？4．有A、B两个商场都在进行促销活动。

A商场按“每满100元减30元”的方式进行促销，B商场按“全场七五折”的方式进行促销。

（1）有一件商品，在A、B两个商场都标价320元。

在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？（2）有一件商品，在A、B两个商场的标价相同。

按各自的促销方式计算，顾客在两个商场购买这件商品实际应该付的钱数也相同。

这件商品的标价最高是________元。

（直接填出答案即可）5．张华家有一只底面直径40厘米、深50厘米的圆柱形无盖水桶，这只水桶盛满了水，把水倒入长40厘米、宽30厘米、高50厘米的长方体玻璃鱼缸内，水会溢出吗？请用喜欢的方式解答，（水桶和鱼缸的厚度都忽略不计）6．一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行24千米，15小时到达；返回时逆水，速度降低了25%，返回时用了多少小时？（用比例解）7．甲、乙两个车间工人的工作时间和耗电量如下表。

工作时间/时123456甲车间耗电量/千瓦∙时40 80 120 160 200 240乙车间耗电量/千瓦∙时4085 130170 205 260（2）根据表中的数据，在下图中描出甲车间工人的工作时间与耗电量所对应的点，再把它们按顺序连接起来。

． ．． ．．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（．．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（αβαβ+4-3-(5y x =-A ．C ．8．如图，是A ．9．如图，是，则A ．B ()(204306x --()(206304x --AB O 43DEC ABC 12DCB ∠=︒AFD ∠33︒．．．．A ．C ．12．已知抛物线①图象的对称轴为直线2AB BC=ACB BOC ∠=∠2y a bx =+x15．飞机着陆后滑行的距离滑行米才能停下来．16．若方程x2－408444117．如图，在四边形18．如图，在每个小正方形的边长为AB（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点迹）三、解答题（本大题共(1)在位置①处，当时，(2)有一个计时点的计时装置出现了故障，编号可能是______；(3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为(4)求s 与t 的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．(1)求的大小；0=t BDC ∠(2)如图②，连接并延长交的延长线于点，若，求的大小．23．2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T 恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T 恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．(1)求该款T 恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T 恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？24．已知矩形，，，将矩形绕A 顺时针旋转，得到矩形，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ，点D 的对应点是点G ．(1)如图①；当时，连接，求的长；(2)如图②，当边经过点D 时，延长交于点P ，求的长；(3)连接，点M 是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．25．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．(1)若点，求点和点的坐标；(2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：(3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DC AB P 10CAB ∠=︒P ∠ABCD 3AB =5BC =ABCD ()0180αα︒<<︒AEFG 90α=︒CF CF 'EF FE BC EP CF CF BM BM 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()1,4M -x A B A B y C ()0,3C -A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x ∥BC D P PE y x E PD PE +P由作图可知：垂直平分∵，∴，∴∵，∵，∴∵∴CD 4AB =11124OM OB AB ===22CM OC OM =-=CD OB ⊥45ACB ∠=︒12DCB ∠=︒45ACD ACB DCB ∠=∠-∠=DMF AMC∠=∠D AFD A ACD ∠+∠=∠+∠∵，∴，∴ ，∴，∵，2AOB BOC ∠=∠ 2AB BC= AD BDBC ==AD BD BC ==AB AD BD <+∵，∴，∴，∵，∴，∴点F 在以为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到与的交点90ABC BAD ∠=∠=︒AD BC ∥DAE AEB ∠=∠ADF BAE =∠∠90DFA ABE ==︒∠∠AD OB O F【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，熟练的利用垂径定理应用于作图是解本题的关键．19．（Ⅰ），；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）利用公式法解一元二次方程即可解题；（Ⅱ）①根据一元二次方程根的判别式求解即可；11x =215x =-②由题可得，，当选择①时，，解得：或（舍去）；当选择②时，，解得：；当选择③时，则，即，解得：；【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系，，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系并能灵活运用是解答的关键．20．(1)(2)平滑曲线见详解，③(3)(4)（），【分析】（1）将，代入函数解析式，即可求解；（2）画出图象，观察图象即可求解；（3）根据图象可找出当时，对应的近似值，即可求解；（4）图象经过，，可求，验证，是否在抛物线上，从而可以确定s 与t 的函数关系式，再当即可求解．【详解】（1）解：当时，，，，故答案：．（2）解：画图如下，观察图象可知，除了③号点，其它各点都在同一个抛物线上，故这个计时点的位置编号可能是③．故答案为：③；（3）解：如图，1221x x k +=+2121x x k =+212k +=1k =1k =-213k +=1k =()2121x x -=()()()2221212421411x x x x k k +-=+-+=1k =03.122.52s t t =+0t ≥10.625m0=t 0s =30s =t ()1,4.5()2,1422.52s t t =+()3,28.5()4,481.5t =0=t 0s =∴000c ++=0c ∴=0由图象得：当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为，故答案：．（4）解：由题意得，图象经过，，则有，解得：，，当时，当时，，，在抛物线上，s 与t 的函数关系式（），当时，（），答：s 与t 的函数关系式（），滑雪者在故障位置的滑行距离．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．21．(1)(2)【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案；（2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案．【详解】（1）∵四边形内接于，∴，3.1s 3.1()1,4.5()2,144.54214a b a b +=⎧⎨+=⎩2.52a b =⎧⎨=⎩∴22.52s t t =+3t =22.532328.5s =⨯+⨯=4t =22.542448s =⨯+⨯=()3,28.5∴()4,4822.52s t t =+∴22.52s t t =+0t ≥1.5t =22.5 1.52 1.5s =⨯+⨯10.625=m 22.52s t t =+0t ≥10.625m 30︒3DCB ∠DCB DBC ∠=∠OB OC BOC ∠OBC ABCD O 180DCB BAD ∠+∠=︒【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．(1)，(2)．26D ∠=︒DBC ∠30P ∠=︒（2）如图，连接，由题意可知，在根据勾股定理得∵，∴，又∵，PA Rt AED ED AD =90PEA PBA ∠=∠=︒EPA BPA ∠=∠BC AD【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．25．(1)，(2)，(3)取得最大值()1,0A -()3,0B ()5,8A '-()2114y x =-PD PE +498将点代入得，解得：()30A -,()214y a x =--1640a -=14a =。

天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C. D.{}0,1,2{}1,2{}1{}22. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA.B.3()2f x x x =-+2()1xf x x =+C. D.()cos 4f x x x=||()e x x f x =4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b <<b c a<<5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A .3B. 2C. 1D. 06. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 1927. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A .B. C. D.4816+32+8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1 B. 2C. 3D. 49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211m m f x m m x+-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00011. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +15. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N 求实数的取值范围.m天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}1{}2【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N 所以.{2}A B = 故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.20x x ->【详解】由，解得或，20x x ->1x >0x <故“”是“”的充分不必要条件.0x <20x x ->故选：A.3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA. B.3()2f x x x=-+2()1x f x x =+C. D.()cos 4f x x x =||()e x x f x =【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD 不成立；()10f <对于A 选项：，当时，，'2()61f x x =-+'()0f x>x ⎛∈ ⎝当时，，'()0f x<,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调()fx ,⎛-∞ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b<<b c a<<【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，()3log 4a f =()0.82c f -=-3log 423log 2的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.0.82--【详解】奇函数在上是减函数，则，()f x R ()()f x f x -=-所以，()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()0.80.822c f f --=-=-因为，，3331log 3log 4log 92=<<=122233332log 2log log 123-⎛⎫<==- ⎪⎝⎭又，所以，0.800221-<<=0.8120--<-<所以，则，0.82334log 22log -<-<()()0.8233log 22log 4f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭故.b c a >>故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，1n +21n n n a a a +++=n 321n n n a a a +++=-再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，21n n n a a a ++=-1n +n 321n n n a a a +++=-两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.3n n a a +=-63n n n a a a ++=-={a n }又，，.12a =21a =34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=所以数列的前2024项和.{a n }()2024126123373S a a a a a =+++++= 故选：A.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，1n n n a a b +-=由，，21312a a -=-=32633a a -=-=，…，431064a a -=-=可知为等差数列，首项为2，公差为1，{}n b 故，()211n b n n =+-=+故，11n n a a n +-=+则，，，212a a -=323a a -=434a a -=…，，()12n n a a n n --=≥累加得，()()1122n n n a a -+-=即，显然该式对于也成立，()()1212n n n a -+=+1n =故．212301231a =+=故选：B7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A. B. C. D. 4816+32+【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，AD BC G H GH FH过点作的垂线，垂足为，F AB FI I因为，,所以，所以，3FB FC ==4BC =FH BC ⊥FH =根据对称性易得，FBC EAD △≌△所以，11422FBC S BC FH =⨯=⨯=△在中，，所以，Rt FBI △8422BI -==FI ==，1()2FEAB S EF AB FI =+⨯梯形1(48)2=⨯+=又，32ABCD S AB BC =⨯=矩形所以FE ABCD S -22FBC ABCD FEAB S S S =++△矩形梯形32=+故选：D ．8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】C【详解】3cos cos 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,cos sin 255πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以 原式sin sin cos cos sin 555sin cos cos sinsin 555πππαααπππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，tan tan 3tan 553tan tantan55ππαππα+===-故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质ωϕ一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，()3sin()10,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭π所以，则，2π2πω==()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线对称，()()3sin 21f x x ϕ=++π3x =所以，解得，ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 6k k ϕ=-+∈因为，所以当时，，则，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0k =π6ϕ=-()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，故A 错误；0x =()3103sin11622πf =-+=-+=-由，所以，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦206π6,x 7π⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦因为在上不单调，所以在上不单调，故B 错误；sin y x =70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，7π7π3sin 213sin π11012126πf ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是的一个对称中心，故C 错误；7π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为，将的图象向左平移个单位长度得到：1π212ϕ=()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π12，所以能得到的图象，故D 正确.π3sin 213sin 2126π1y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 21y x =+故选：D.10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211mm f x m m x +-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，(0,+∞)2m =单调递增，故，得到答案.()()()f a f b f b >-=-【详解】函数是幂函数，则，解得或()()2211mm f x m m x +-=--211m m --=2m =.1m =-当时，，在上为减函数，排除；1m =-()1f x x-=(0,+∞)当时，，在上为增函数，满足；2m =()5f x x =(0,+∞)，函数为奇函数，故在上单调递增.()5f x x =R ，故，，故.0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选.C本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值k 即可．【详解】函数，可得，2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，，(,2)x ∈-∞-(0,+∞)()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减．()f x (,2)-∞-(0,+∞)(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点，(k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或，k 3k =-1k =-故选：．C 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，()()0f a f b a b=⇒<<()e 1x f x =-[]0,2b 所以,(2)()()f b f b f a >=所以在区间上的最大值为，解得[],2a b 2(2)e 1e 1b f b =-=-12b =故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,()()()()()52i 2i 534i 105i34i 5584i 2i 2i 2i 5z ----=+-=+=+=-++-,z ==故14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.315y x +=13143(43)(5x y x y y x +=++【详解】正数，满足，，x y 35x y xy +=315y x +=1311123143(43)((13)(135555x y x y x y y x y x ∴+=++=++≥+=当且仅当即且时取等号，123x y yx =12x =1y =故的最小值为5.43x y +故515. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x 【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确0x =0y =()00f =②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R ，故错误()y f x =x ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确()y f x =④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确()y f x =⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可()y f x =12y x=能有三个交点，错误.故①③④．16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -【正确答案】4π【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为2BC m =11BB m =，所以其比表面积的最小值为.1R =≥4S π=考点：几何体的外接球，基本不等式.17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.【正确答案】或7382a <<54a =-【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，()()h x xf x =当时，，；2x ≤()11f x x =--()22,12,12x x h x x x x ⎧-≤=⎨-<≤⎩当时，，，(]2,4x ∈(]20,2x -∈()()()1123122f x f x x =--=---；()()()2212,23214,342x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩当时，，，(]4,6x ∈(]40,2x -∈()()()1145144f x f x x =-=--；()()()2214,45416,564x x x h x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩当时，，，(]6,8x ∈(]60,2x -∈()()()1167188f x f x x =--=---；()()()2216,67818,788x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩……作出函数的部分图象如下，()h x因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共()()g x x f x a =⋅-()()h x xf x =y a =点个数为2，由图可知，或.7382a <<54a =-故或7382a <<54a =-18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅【正确答案】13-【分析】由题意可得，，进一步化为，2AB DC =()()AE BF AB BC BC CF λ⋅=+⋅+ 4613λλ+-再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，2BC =4AB =60ABC ∠=︒所以，，2cos60422CD AB BC =-⋅︒=-=∴2AB DC =又动点和分别在线段和上，且，，所以E F BC DC BE BC λ= 12DF DCλ=，解得，011012λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩112λ≤≤∴()()()()AE BF AB BC BC CF AB BC BC FC λλ⋅=+⋅+=+⋅- 1()[()]()()2AB BC BC DC DF AB BC BC DC DC λλλ=+⋅--=+⋅+- 112()()()()2224AB AB AB BC BC AB BC BC AB λλλλλ-=+⋅+⋅-=+⋅+⋅221212(1)44AB AB BC BCλλλλ--=⋅++⋅+，1212416(1)42cos1204613131344λλλλλλ--=⨯++⨯⨯⨯︒+=+-≥=-当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，46λλ=λ=AE BF ⋅13故．13三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得cos cos 2cos b C c B a A += ，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=()sin sin 2sin cos B C A A A+==，，，()0,πA ∈ sin 0A ≠1cos 2A ∴=π3A =【小问2详解】，21cos 2cos 123C C =-= 22cos 23C =，，()0,πC ∈ π0,22C ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 22C C ∴===πππcos cos cos cos sin sin 2232323C C C C A ⎛⎫⎛⎫∴+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12=-=【小问3详解】中，由余弦定理，得，ABD △22212cos 222b c BD A b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⋅，224228b c bc ∴+-=中，由余弦定理，得，ABC V 2221cos 22c b a A c b +-==⋅，2228b c bc ∴+-=联立，得，，2222422828b c bc b c bc ⎧+-=⎨+-=⎩23c bc =3b c =代入，解得，224228b c bc +-=6b =2c =的面积.ABC ∴11π1sin 26sin 262232S bc A ==⨯⨯⨯=⨯⨯=20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N求实数的取值范围.m 【正确答案】（1）2nn a =（2）93m -<<【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数n 122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩{}n a 列，得出，即可得出答案；122a q =⎧⎨=⎩（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d 1n n b a d =+，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减1nn n b a d +=-n 11232n n nn n b n b b -=+⋅+ 法得出，则，令，则数列为递减数列，即可n T 33232n n n T n -⋅-⨯+=332nn c =-+⨯{}n c 结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，{}n a q 由，得：，1310a a +=314S =21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩解得或，122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩因为是递增数列，{}n a 所以，则，1q >122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n nn a -=⨯=【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，n a 1n a +n 1n b 2n b nn b 使、、、…、、成等差数列，设其公差为，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d此数列首项为，末项为，2n n a =112n n a ++=则，，1n n b a d =+1nn n b a d +=-则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又,()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ 则,101332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ 122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则，()012132232322n n n T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n n n n n --=--⨯+⋅=-+-则，33232n n n T n -⋅-⨯+=令，则数列为递减数列，332n n c =-+⨯{}n c 由对恒成立，()321n n n T n m -⋅<-⋅*n ∈N 则当为偶数时，对恒成立，则；n 332n m ->+⨯*n ∈N 29m c >=-当为奇数时，对恒成立，则，即，n 332n m ⨯->-+*n ∈N 13m c ->=-3m <综上实数的取值范围为.m 93m -<<。

2024届天津市和平区高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷-解析版注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10n＝,则输出的结果是( )A．11114(1)35717P=-+-+⋅⋅⋅+B．11114(1)35719P=-+-+⋅⋅⋅-C．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅+D．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅-2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，:p A、B的体积不相等，:q A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）4．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e -6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠7．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B ．2C ．223D ．238．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．2π C ．π D ．32π 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．2511．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。