2020北师大版数学八年级下册第一章《三角形的证明》复习课件1

(3)如果AD=
1 n
1 AC,AE= n AB,
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE
由此你能得到一个什么结论?
A ED
B
C
这里是一个由 特殊结论归纳 出一般结论的 一种数学思想 方法.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
二 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于60°.
可以利用等腰 三角形的性质 进行证明.
怎样证明这 一定理了？
定理证明
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
第一章
20年春北师大版八年级数 学下册《第1章三角形的 证明》PPT课件
三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
导入新课
D
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内
2x
角和用含x的式子表示出来.
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
A
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
⌒
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
讲授新课
一 等腰三角形的重要线段的性质

则 1 2 1 BAC.
2
∵ AB = AC， ∴ AE⊥BC.
A
∴∠2 +∠ACB = 90°.
12
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠ACB = 90°.
D
∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们 是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的 特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是 30° 的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段.
结论 ，并将结论改成 条件 ，便可以得到原命题的逆 命题．
3. 逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它
也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫 做另一个的 逆 定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆 定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
什么是反证法？
反证法：先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们 把它叫做反证法.
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.
求证：∠BAC = 2∠DBC.
A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”
的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，
来获取角的数量关系.
B
12
D
E
C
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？

D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。
线段的垂直平分线
角平分线
定义 几何证明
命题 互逆 逆命题
公理
定理 互逆 逆定理
依据
线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理
演绎推理
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
M
∵MN⊥AB, CA=CB(已知)
P
∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的 距离相等）
1
2
A
C
B
N
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知)
∴点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
B
A C
角平分线
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
三.直角三角形全等的判定： AAS、ASA、SAS、SSS、HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
例1.已知：如图， ∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.
请说明AC= BD的理由. 1
2
解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90°
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
直角三角形
直角三角形：有一个角是直角的三角形。 一.直角三角形的性质：

范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm

ED2＝CD2＋CE2＝2CD2.即2CD2＝AD2＋DB2
16．(2015·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边 形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O， OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
解：∵AB＝CB，AD＝CD，∴BD是AC的垂直平分线．∵AB＝CB， OB⊥AC，∴OB平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF
6．如图，已知 OP 平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD ⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E.如果点 M 是 OP 的中点，则 DM 的长是( C)
A．2 B. 2 C. 3 D．2 3
二、填空题 7．(2016·长沙)如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为__1_3_．
解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C，即AB＝AC
(2)由(1)得AB＝AC，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°， ∴AC＝2CD，由AD2＋CD2＝AC2得(2)2＋CD2＝(2CD)2，解得CD＝2，∴AC ＝2CD＝4
AE＝1A0．C，如则图∠，D在CERt的△度AB数C为中_4，_5_°D_．，E 是斜边 AB 上的两点，且 BD＝BC，
11．如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点， 那么∠OCB＝__3_8_°．
12．(2016·南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， △ABO≌△ADO，下列结论：
14．(2016·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在 同一直线上，连接BE，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.

八年级数学·下
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.

例1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数． 解：设∠A=x．∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x； ∵BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x； ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x， ∴∠DBC=x； ∵x+2x+2x=180°， ∴x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．
第一章 三角形的证明
第11课时 《三角形的证明》 章节复习
目录 contents
课前小测
课堂精讲
课后作业
目录 contents
课前小测
课前小测
Listen attentively
知识小测 1.已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为 （D） A.36° B.45° C.60° D.72°或36° 2.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则 该等腰三角形的周长为（C ） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 3.如图，在△ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直 平分线交AC于点N，△BCN的周长 是7 cm，则BC的长为（ C） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
课堂精讲
Listen attentively
【例2】如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD， AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；如图 （2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D， AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索 BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
课堂精讲
Listen attentively
课堂精讲
Listen attentively
在Rt△ABC与Rt△QPA中，， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP=BC=10； ②当P运动到与C点重合时，AP=AC，不合题意． 综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC 与△APQ全等．

2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）

A
D
E
B
C
证明： ∵AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，
∴ AE = BE，
∵△BCE 的周长为 8，
∴ BC + CE + BE = 8，
A
∴ BC + CE + AE = 8 ，即 AC + BC = 8，
又∵ AC – BC = 2， ∴ AC = 5，BC = 3， ∴ AB = AC =5.
❖证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ， ❖ ∴∠ACB = 60°. ❖ △CDE 是等边三形 ， ∴∠DCE = 60°， ❖ ∴∠BCD =∠ACE. ❖又CE = CD，CB = CA， ❖∴△CBD ≌△CAE ∴AE = BD.
❖（2）∵△BCD ≌△ACE， ∴∠CAE =∠CBD. 又 AB = AC，
4. 直角三角形有什么性质？它有什么判定条件？
定理 直角三角形的两个锐角互余.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理 有两个角互余的三角形是直角 三角形.
定理 如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形.
7. 说说线段角平分线的性质及其逆定理.
定理 角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等.
三角形的三个内角的角平分线交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等.
定理 在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上.
8. 什么是反证法？
反证法：先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们 把它叫做反证法.

▪ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B＋∠EDB＝∠C ＋∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB.∵∠EDB＝ ∠ADF，∴∠EFC＝∠ADF，∴△ADF是等腰三角 形．
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，
的关键．
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周
长为( )
▪ A．13
B．14
▪ C．15
D．16
6
▪ 分析：∵DE是AB的垂直平分线， ▪ ∴AE＝BE， ▪ ∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC. ▪ ∵AC＝8，BC＝5， ▪ ∴△BEC的周长＝8＋5＝13. ▪ 答案：A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N 是OB上的任意一点，C则线段PN的取值范围为( )
▪ A．PN＜3
B．PN＞3
▪ C．PN≥3
D．PN≤3
21
2．【2018·山西中考】如图，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两 弧在∠NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB＝2，∠ABP＝60°，则线 段 AF 的长为__2__3____.
C．22 cm
D．25 cm