高考数学高频考点名师揭秘与仿真测试专题11函数指数函数理

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结11指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21 C．24 D．27答案 D解析因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.2．化简(a>0，b>0)的结果是()A．ba B．ab C．a2b D．ab答案 D解析3.函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.4．已知a＝(2)43，b＝225，c＝913，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b答案 A解析5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定答案 A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x).若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.6．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是() A．(2－22，2＋22) B．(－∞，2)C．(－∞，2＋22) D．[2＋22，＋∞)答案 C解析令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f （1）＝1－m ＋m ＋1≥0，解得2－22<m <2＋22或m ≤2－22，所以m <2＋2 2.故选C. 7．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln (y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3 答案 D解析 因为实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，所以x >y ，根据函数y ＝x 2的对称性和单调性，可知x 2，y 2的大小不确定，故A ，B 中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知C 中的不等式也不恒成立；由于函数f (x )＝x 3在R 上单调递增，所以x 3>y 3，所以D 中的不等式恒成立．故选D.8．(多选)设函数f (x )＝2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2答案 ACD 解析9．(多选)已知函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是1 B ．函数f (x )是单调递增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称 答案 BD解析 函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，即f (x )＝e x －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t ，由y ＝t －1t 在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A 错误，B 正确；由f (2－x )＝e 1－x －e x －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1，0)对称，则C 错误，D 正确．故选BD.10．(多选)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x2，则f (x )，g (x )满足( )A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )B ．f (－2)＜f (3)C ．f (x )－g (x )＝π－xD ．f (2x )＝2f (x )g (x ) 答案 ABD解析 f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝πx ＋π－x2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )，A 正确；因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)＜f (3)，B 正确；f (x )－g (x )＝πx －π－x2－πx ＋π－x 2＝－2π－x 2＝－π－x，C 不正确；f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x2＝2f (x )g (x )，D 正确．11．求值：0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－590＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112＝________． 答案 14380解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎨⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x ≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2022·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 答案 D解析 因为a ＝30.7＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8＞30.7＝a ，c ＝log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，所以c ＜1＜a ＜b .故选D.14．(2022·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69 答案 C解析 因为I (t )＝K1＋e －0.23（t －53），所以I (t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则e0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln 19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66.故选C.15．(2022·北京高考)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 D解析 因为f (x )＝2x －x －1，所以f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1，在同一直角坐标系中作出y ＝2x 和y ＝x ＋1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x ＞x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).所以不等式f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.16．(2022·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________． 答案 6解析 由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2p 2p ＋ap ＝65，①2q 2q ＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q ＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ， ∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 三、模拟小题17．(2022·云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0] 答案 C解析 要使函数有意义，需满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，解得x ≥0，因此，函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞).故选C. 18．(2022·湖北武汉高三开学考试)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，－13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 D ．(－∞，0)答案 A解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，存在x 0∈[－1，1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴3－x 0＋m －1＝－3 x 0－m ＋1，∴2m ＝－3－x 0－3 x 0＋2，构造函数y ＝－3－x 0－3 x 0＋2，x 0∈[－1，1]，令t ＝3x 0，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，y ＝－1t －t ＋2＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴t ＝1取得最大值0，t ＝13或t ＝3取得最小值－43，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.故选A. 19．(多选)(2022·山东日照二模)若实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，则下列关系式中可能成立的是( )A ．m ＝nB ．1<m <nC ．0<m <n <1D ．n <m <0 答案 ACD解析 由题意，实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，可化为4m ＋5m ＝5n ＋4n ，设y ＝f (x )＝4x ＋5x ，y ＝g (x )＝5x ＋4x ，由初等函数的性质，可得f (x )，g (x )都是单调递增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，作直线y ＝t 0，当t 0<1时，n <m <0成立；当t 0＝1或t 0＝9时，m ＝n 成立；当1<t 0<9时，0<m <n <1成立；当t 0>9时，1<n <m 成立．综上，可知可能成立的为A ，C ，D.20．(多选)(2022·江苏淮安高三第一学期五校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]的叙述中正确的是( )A ．g (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在R 上是增函数D ．g (x )的值域是{－1，0，1} 答案 BC解析 ∵g (1)＝[f (1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e1＋e －12＝0，g (－1)＝[f (－1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e1＋1e －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ＋1－12＝－1，∴g (1)≠g (－1)，则g (x )不是偶函数，故A 错误；∵f (x )＝e x 1＋e x －12的定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝e －x1＋e －x －12＋e x 1＋e x －12＝1e x1＋1e x＋e x 1＋e x －1＝11＋e x ＋e x1＋e x －1＝0，∴f (x )为奇函数，故B 正确；∵f (x )＝e x 1＋e x －12＝1＋e x－11＋e x －12＝12－11＋e x ，又e x在R 上单调递增，∴f (x )＝12－11＋e x 在R 上是增函数，故C 正确；∵e x ＞0，∴1＋e x ＞1，则0＜11＋e x＜1，可得－12＜12－11＋e x ＜12，即－12＜f (x )＜12.∴g (x )＝[f (x )]∈{－1，0}，故D 错误．故选BC. 21．(2022·南阳模拟)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则a ＝________，实数m 的最小值为________．答案 1 1解析 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.22．(2022·福建漳州高三阶段考试)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1).若对任意的x ∈[0，2t ＋1]，均有f (x ＋t )≥[f (x )]3，则实数t 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－49解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1)，∴f (x )＝a |x |(a >1)，则[f (x )]3＝(a |x |)3＝a |3x |＝f (3x )，则f (x ＋t )≥[f (x )]3等价于f (x ＋t )≥f (3x )，当x ≥0时f (x )为增函数，则|x ＋t |≥|3x |，即8x 2－2tx －t 2≤0对任意x ∈[0，2t ＋1]恒成立，设g (x )＝8x 2－2tx －t 2，则⎩⎨⎧g （0）≤0g （2t ＋1）≤0⇔⎩⎨⎧－t 2≤0，27t 2＋30t ＋8≤0，解得－23≤t ≤－49，又2t ＋1＞0，∴－12＜t ≤－49.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·黑龙江鹤岗一中期末)函数f(x)＝2x－a2x是奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，求m的取值范围．解(1)∵函数f(x)＝2x－a2x是奇函数，∴f(－x)＝2－x－a2－x ＝－a·2x＋12x＝－2x＋a2x＝－f(x)，故a＝1，故f(x)＝2x－12x.(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，即m＋1<(2x)2－4·2x在x∈(0，＋∞)上恒成立，令t＝2x，t>1，h(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4(t>1)，显然h(t)在(1，＋∞)上的最小值是h(2)＝－4，故m ＋1<－4， 解得m <－5.故m 的取值范围为(－∞，－5).2．(2022·湖北襄阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R ). (1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件． 解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎨⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，即b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2022·宁夏银川一中期末)已知定义在R 上的奇函数f (x )，在x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1且f (－1)＝f (1).(1)求f (x )在x ∈[－1，1]上的解析式； (2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )<12；(3)若x ∈(0，1)，常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，解关于x 的不等式f (x )>1λ.解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数且x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1，∴f (0)＝0，当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，又f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)， ∴f (－1)＝f (1)＝0.综上所述，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 4x ＋1，x ∈（－1，0），2x 4x＋1，x ∈（0，1），0，x ∈{－1，0，1}．(2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x 4x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1，又2x ＋12x ≥22x ·12x ＝2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时取等号．∵x ∈(0，1)，∴2x ＋12x >2，∴f (x )<12. (3)当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，1λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12，f (x )>1λ，即4x －λ·2x ＋1<0，设t ＝2x ∈(1，2)，不等式变为t 2－λt ＋1<0，∵λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，∴Δ＝λ2－4>0， ∴λ－λ2－42<t <λ＋λ2－42.令g (λ)＝λ－λ2－42，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，g ′(λ)＝λ2－4－λ2λ2－4， 又λ2－4<λ，∴g ′(λ)<0， ∴g (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<g (λ)<g (2)，即12<λ－λ2－42<1.令h (λ)＝λ＋λ2－42，h (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52上单调递增， ∴h (2)<h (λ)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即1<λ＋λ2－42<2，∴1<t <λ＋λ2－42，即0<x <log 2λ＋λ2－42.综上可知，不等式f (x )>1λ的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，log 2λ＋λ2－42. 4．(2022·山东枣庄高三模拟)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x ，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋a e －x 1－(e x 2＋a e －x 2) ＝（e x 1－e x 2）（e x 1＋x 2－a ）e x 1＋x 2.因为x 1<x 2，函数y ＝e x 为增函数， 所以e x 1<e x 2，则e x 1－e x 2<0，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0， 所以e x 1＋x 2－a >0恒成立，即a <e x 1＋x 2对任意的0≤x 1<x 2恒成立， 所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1].(3)由(1)(2)知，函数f (x )＝e x ＋e －x 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x ＋e －2x ＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立， 等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立， 而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

第11讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 值域性质过定点当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a <<2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ） A ．12B ．13C ．3D ．23．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值． 【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===； （3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=． （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<， 所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →， 所以1a >，所以排除C ， 故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【解析】由指数函数的性质，可得...030002021<<=，所以01b <<， 根据对数的运算性质，可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，所以1a >， 由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <， 所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】3ln ln e 12<=，0.800.50.51<=，0.500.80.81->=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b . 因为3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<， 故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <． 综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ， 即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯， 即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-． 故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =， 所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥， 因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1， 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+， 解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++． （2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞， 可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈， 由20x a +≥恒成立，可得0a ≥， 令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x x a ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数， 则实数a 的取值范围为[]0,3。

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.二．指数函数的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝11.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝－11y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y ＝a f (x )型函数的定义域、值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域.(2)形如y ＝a f (x )的函数的值域，先求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域.若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论.2.y ＝f (a x )型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①23x y =⨯；②13x y +=；③πx y =；④x y x =．其中为指数函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】指数函数解析式为(0xy a a =>且)1a ≠，对于①②④，23x y =⨯、13x y +=和x y x =不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，πx y =符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，则m等于（）A ．1-或3B ．1-C ．3D ．13【答案】C【解析】因为函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，所以2221031m m m m m ⎧--=⎪>⇒=⎨⎪≠⎩.故选：C【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（）A ．4x y =-B ．()4xy =-C ．πxy =D ．24xy =【答案】C【解析】根据指数函数的定义()0,1xy a a a =>≠知，可得函数4x y =-不是指数函数；函数()4xy =-不是指数函数；函数πx y =是指数函数；函数24x y =不是指数函数.故选：C.2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．25x y =B ．4x y =-C ．3y x =D ．()63xy a =-（12a >且23a ≠）【答案】AD【解析】对于A 选项，2525x x y ==为指数函数；对于B 选项，4x y =-不是指数函数；对于C 选项，3y x =不是指数函数；对于D 选项，当12a >且23a ≠时，630a ->且631a -≠，则()63xy a =-（12a >且23a ≠）为指数函数.故选：AD.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3x y =-B ．()121,12x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数()(0xf x a a =>且)0a ≠图像经过点()3,27，则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】由题意327a =，得3a =，故()2239f ==，故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点()3,27P ，则()2f =（）A ．19B C ．13D ．9【答案】D【解析】由题意可知，327a =，0a >，且1a ≠，得3a =，所以()3x f x =，()2239f ==.故选：D2．（2023秋·高一课时练习）若指数函数()y f x =的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】18/0.125【解析】设指数函数()(0xf x a a =>且)1a ≠，()f x 过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，2116a -∴=，解得：4a =，()4x f x ∴=，3231428f -⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭.故答案为：18.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数()f x 的图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】12/0.5【解析】设()x f x a =（0a >，且1a ≠），由于其图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2116a -=，解得4a =或4a =-（舍去），因此()4xf x =，故1211422f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故答案为：12.考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）y =；（2）y =【答案】（1）[0,)+∞；（2）()(],33,2-∞--- .【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥，又指数函数()2x f x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)12x y +=；(2)y =(3)y =【答案】(1)(0,)+∞(2)[0,1)(3)[1,)+∞【解析】（1）12x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞；（2）由120x -≥知0x ≤，故y =(]0-∞,；由0121x ≤-<知01≤<，故y [0,1)；（3）y =[0,)+∞0≥知1≥，故y =[1,)+∞.【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，1()222x f x a a a =-≥-=-，因为函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以21a -≤，得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数y =）A ．[2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】由题意得2112703x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以211273x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2131133x --⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，所以213x -≤-，解得1x ≤-.故选：C.2．（2022秋·高一课时练习）函数()f x =+的定义域为.【答案】[]1,2-【解析】由题意可得1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤，所以函数的定义域为[]1,2-.故答案为：[]1,2-.3．（2023秋·高一课时练习）函数42x y =+的值域是．【答案】(2,)+∞【解析】由函数4x y =值域为(0,)+∞，则函数42x y =+的值域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞4．（2023秋·高一单元测试）函数()[]2,1,1xf x x x =+∈-的值域为．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 在[]1,1-上是增函数，所以()()1min 11212f x f -=-=-=-，()()1max 1213f x f ==+=，故函数值域为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5．（2023·上海）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；【答案】[1,)+∞【解析】当0x >时,根据指数函数的图象与性质知()21x f x =>，当0x ≤时,()1f x =.综上:()y f x =的值域为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.6．（2023黑龙江）已知函数()()22223,121,1x x a x a x f x x +-⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是【答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】当1x ≥时，222()21xx f x +-=-，而函数222t x x =+-在[1,)+∞上单调递增，又2ty =是增函数，因此函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)1f x f ≥=，即函数()f x 在[1,)+∞上的值域为[1,)+∞，当1x <时，函数()f x 的值域为A ，而函数()f x 的值域为R ，因此(,1)A -∞⊆，而当1x <时，()(2)3f x a x a =-+，必有20231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得122a -≤<，所以a 的取值范围是1[,2)2-.考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的a 值，函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是.【答案】(1,3)【解析】由指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过(0,1)点而要得到函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则(0,1)点平移后得到(1,3)点.则P 点的坐标是(1,3)故答案为：(1,3)【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D【解析】由图象可知，函数()f x 为减函数，从而有01a <<；法一：由()x b f x a -=图象，函数与y 轴的交点纵坐标(0,1)y ∈，令0x =，得b y a -=，由01b a -<<，即00b a a -<<，解得0b <.法二：函数()f x 图象可看作是由(01)x y a a =<<向左平移得到的，则0b ->，即0b <.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数1xy a a=-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A ，B 选项中，1a >，于是1011a<-<，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在()0,1之间，显然A ，B 的图象均不正确；C ，D 选项中，01a <<，于是110a-<，图象与y 轴的交点的纵坐标应在小于0，所以D 项符合.故选：D2．（2023·西藏林芝）()2e xf x x=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知，根据e 0x >y=，20x >，0x ≠，则()2e 0xf x x=>，排除B ，D ，当0x =时，()2e xf x x=没有意义，排除A.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数()(0x f x a a =>且1a ≠），()2g x ax x =-，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】当a ＞1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 12a =1，故A 正确，B 错误；当0＜a ＜1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 1122a =＞，故D 正确，C 错误.故选：AD ．4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数212(01)x y a a a -=->≠且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】0011,,2121,2a x y a =∴==-=-=- 则定点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数()2xy f x ==的图象，作出下列各函数的图象：(1)()1f x -；(2)()f x ；(3)()1f x -；(4)()f x -；(5)()1f x -．【答案】作图见解析【解析】（1）将()f x 图象向右平移一个单位即得，如下图，（2）将()f x 右侧图象以y 轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，（3）将()f x 图象向下平移一个单位即得，如下图，（4）以x 轴为对称轴，画出与()f x 对称的图象即得，如下图，（5）将（3）所得图象在x 轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，所以函数()f x =[]1,3，因为243t x x =-+-开口向下，对称轴为()4221x =-=⨯-，可知243t x x =-+-在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，且u =所以u =[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，又因为2u y =在定义域内单调递增，所以()f x =在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，即函数()f x 的单调递增区间为[]1,2.故选：B.【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】A【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-上单调递增，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()1,0-上单调递增，因此12a ≤-，解得2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-.故选：A【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知0.143a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.134b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，c ）.A ．b c a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a >>（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（）A ．0.20.20.50.50.20.2>>B ．0.50.20.20.20.50.2>>C ．0.50.20.20.20.20.5>>D ．0.20.20.50.20.50.2>>【答案】（1）B （2）A 【解析】（1）0.10440133-⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<；0.133144-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >；0=<，即0c <.所以有01c a b <<<<.故选：B.（2）由幂函数0.2y x =在R 上单调递增，则0.20.20.50.2>，又指数函数0.2x y =在R 上单调递减，则0.20.50.20.2>.则0.20.20.50.50.20.2>>故选：A.【例5-4】（2023·广东）已知函数()21,233,2x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则不等式()()342f x f x -<+的解集为．【答案】(),3-∞【解析】构建函数()21xg x =-，2x ≥，可得函数()g x 单调递增，()33h x x =-，2x ≤，则函数()h x 单调递增，且()()223g h ==，因此函数()f x 在R 上是增函数．()()342f x f x -<+ ，342x x ∴-<+，解得3x <，于是不等式()()342f x f x -<+的解集为(),3-∞．故答案为：(),3-∞.【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()2313xx f x -+=定义域为R ，令231,3u u x x y =-+=，又3u y =在R 上单调递增，231u x x =-+的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．[]2,1--C ．[]1,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】令22u x mx =-，则二次函数22u x mx =-的图象开口向上，对称轴为直线x m =，因为外层函数12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上为增函数，所以，内层函数22u x mx =-在()1,2上为减函数，故2m ≥.故选：D.3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知0.533,0.5,a b c ===）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c b a<<【答案】A【解析】1,01,1,a b c b ><<>∴ 最小，又0.50.53,5a c ===，0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，所以0.50.535<，即a c <，综上，b a c <<，故选：A ．4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知2π,2a b c ===，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a<<【答案】B【解析】2382,2a b =====3π<<，所以3π222<<，因此b a c <<.故选：B.5（2023·河北）已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()()e e x xx f x f --==--，所以()f x 在R 上是奇函数.因为e x y =在R 上是增函数，又e x y -=在R 上是减函数，所以()f x 在R 上是增函数.所以()()()()()110111f x f f x f f -+>⇒->-=-，所以11,2x x ->-<，所以不等式()()110f x f -+>的解集是(),2-∞.故选：考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数()131x mf x =++为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求不等式()21102f x x --+<的解集．【答案】(1)2-(2){}01x x <<【解析】（1）（1）因为()f x 为奇函数，定义域为R ，因为()00f =，即102m+=，所以2m =-，经检验，符合题意．（2）因为()12111312f -=+=+，所以()()2110f x x f --+<，所以()()211f x x f --<-，因为()f x 为奇函数，()()11f f -=-，所以()()211f x x f --<-，由（1）知：因为3x y =在R 上递增，所以()2131x f x =-+在R 上是增函数，所以211x x --<-，解得01x <<，所以不等式的解集是{}1|0x x <<.【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数()22x xf x a -=+奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性并用定义证明；(3)设()()22222x xF x mf x -=+-，求()F x 在[]0,1上的最小值．【答案】(1)1-(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）解：()f x 是定义域为R 的奇函数，()010,f a ∴=+=1a ∴=-；经检验符合题意；（2）()f x 在R 上单调递增．证明如下：1212,R,x x x x ∀∈<，则()()()1212121212111222212222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为12x x <，所以12022x x <<，所以12220x x -<，1211022x x +>，可得12())0(f x f x -<．即当12x x <时，有12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增．（3）()()22222x xF x mf x -=+-，()2222222x x x x m --=+--，()()2222222x xx x m --=---+，令22x x t -=-，又[]01x ∈，，则302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，所以22222()2y t mt t m m =-+=-+-，302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，对称轴为t m =，则当0m ≤时，min 2y =；当302m <<，2min 2y m =-；当32m ≥时，min 1734y m =-．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函数()32,32x xx xa f x a ⋅-=∈+R ．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求()f x 的值域．【答案】(1)1a =(2)()1,1-【解析】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，x ∈R即()()1323232322303232323232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa a a a a -----⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-+=+==+++++，所以1a =.（2）()3232132321xx xxxx f x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝+⎭--==,令32xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()11221111t t f x t t t -+-=+==-++，因为3(0,)2x t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=，所以()211,11t -∈-+，所以()f x 的值域()1,1-．2．（2023秋·河北衡水）已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．【答案】(1)2a =，1k =；(2)52m ≥-【解析】（1）因为函数是奇函数，所以()()f x f x -=-，即x x x x a k a a k a ---⋅=-+⋅，得1k =，所以()x x f x a a -=-，()1312f a a -=-=，得2a =或12a =-（舍），综上，2a =，1k =；（2）由（1）知，()22x xf x -=-，则()[]2222220,1,2x x x xm x ---+-≥∈恒成立，()()()2222220xx x x x x m ---+-+-≥，[]220,1,2x x x -->∈，所以220x x m -++≥，对[]1,2x ∀∈恒成立，即()min 220x xm -++≥恒成立，设12222x x xx y -=+=+，函数由外层函数1y t t=+和内层函数2x t =复合而成，当[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，2x t =单调递增，当[]2,4t ∈，1y t t=+单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数[]22,1,2x x y x -=+∈单调递增，最小值为115222-+=，即502m +≥，则52m ≥-.3．（2023秋·江苏南通）已知二次函数()2f x x bx c =++，且不等式()2f x x <的解集为(1,3).(1)求()f x 解析式；(2)若不等式()2210x xkf -+≤在[1,2]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)()223x x x f =-+(2)-4⎛∞ ⎝⎦,【解析】（1）由题意知22x bx c x ++<的解集为()1,3，故方程()220x b x c --+=的两个根是1和3，故243b c -=⎧⎨=⎩，即23b c =-⎧⎨=⎩，故()223x x x f =-+.（2）由题意()2210x x kf -+≤在[1,2]x ∈上有解，即()2222321x x xk -⋅+≤-在[1,2]x ∈上有解，∵()2222232120xxx-⋅+=-+>，∴2212223x x x k -≤-⋅+在[1,2]x ∈上的最大值，设[211,2,]x x t ∈=-，则[]1,3t ∈，则max 2()2tk t ≤+又2122t t t t=≤++2t t =即[]1,3t =时，等号成立，∴4k ≤，即实数k 的取值范围为,4⎛-∞ ⎝⎦.。

高考数学考点归纳之 指数函数 一、基础知识 1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．考点一 指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )(2)若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求． (2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k 的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清]1.[变条件]本例(1)中的函数f (x )变为：f (x )＝2|x －1|，则f (x )的大致图象为( )解析：选B f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B 正确．2.[变条件]本例(2)变为：若函数f (x )＝|3x －1|－k 有一个零点，则k 的取值范围为________． 解析：函数f (x )有一个零点，即y ＝|3x －1|与y ＝k 有一个交点，由典例(2)得y ＝|3x －1|的图象如图所示，故当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以函数f (x )有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)3．若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围． 解：y ＝21－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示， 则要使其图象不经过第一象限， 则m ≤－2.故m 的取值范围为(－∞，－2]．考点二 指数函数的性质及应用考法(一) 比较指数式的大小[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A. [答案] A考法(二) 解简单的指数方程或不等式[典例] (2019·西安质检)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．[解析] ∵f (x )为偶函数，当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． [答案] {x |x >4或x <0} [解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略(1)a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x )．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(三) 指数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g ⎝⎛⎭⎫2a ＝3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.[解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝a f (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；(2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”．[题组训练]1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12221＋－x x 的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4]D ．[4，＋∞)解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t . 因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数． 因为t ＝()x ＋12－2≥－2， 所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．2．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：选D 因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1，所以M >N .4．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．解析：当a <1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a >1时，代入可知不成立．所以a 的值为12.答案：12[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1,6)．3．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .4．(2019·南宁调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12-2x x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D.5.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：选D 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向左平移得到的，所以b <0.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·深圳摸底)已知a ＝⎝⎛⎭⎫13 3.3，b ＝⎝⎛⎭⎫13 3.9，则a ________b ．(填“<”或“>”) 解析：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，所以⎝⎛⎭⎫13 3.3>⎝⎛⎭⎫13 3.9，即a >b . 答案：>8．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3,2]上的值域是________． 解析：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，由x ∈[－3,2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤34，57. 答案：⎣⎡⎦⎤34，57 9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－3210．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． 解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x －2＝0，令⎝⎛⎭⎫12x＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值是94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 在R 上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2.B 级1．(2019·郴州质检)已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)解析：选B 函数f (x )＝e x －1ex 的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)．2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12(a x －1)＞0，则a x ＞1.又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.。

重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。

考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。

2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg5+，再应用公式lg 2lg51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。

高考数学专题复习：指数函数一、单选题1．设函数13,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若5[()]46f f =，则a =（ ）A ．2B ．12 C ．34D ．782．设函数3,1()2,1x x a x f x x +≤⎧=⎨>⎩，若183f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ） A ．74-B ．54C ．2D ．54或23．若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),a +∞，则a 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．24．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．3±B ．3C．D5．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞6．函数y = ）A ．(,3)-∞B ．(,3]-∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知133a =，159b =，295c =，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．指数函数2x y =的图象一定经过点（ ）A ．()0,1B ．()1,1C ．()1,1-D ．()1,1-9．已知函数()()231xg x a a R =-∈+是奇函数，则函数()g x 的值域为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(]1,1-D ．(),1-∞10．函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．0,1B ．()1,1C ．()2,1D ．1,211．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（ ）A ．4-B ．52-C ．4D ．5212．已知函数221,02,()()1,20,x x f x g x ax x x ⎧-≤≤==+⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,2]-D ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数2,1()2,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则((3))f f 的值为________.14．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠），()12f =，则函数()f x 的解析式是________.15．若函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数2()89f x x x =++，2()422x x g x +=-+-．若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为________． 三、解答题17．若函数31()31x x a af x --=-为奇函数．（1）求a 的值； （2）求函数的值域．18．已知函数()131x mf x =++为奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）求不等式()21102f x x --+<的解集．19．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对在意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立，求k 的取值范围．20．已知函数1()(0xx b f x a a a-=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．21．已知函数()323,()3x x f x g x =-⋅=.（1）当[1,2]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,2]x ∈不等式[]2()()3f x m g x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.22．设a 是实数，函数()()2xx f x ee a x R =+-∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数； （2）若a y x =在0,单调递减，求满足不等式()2f x a >的x 的取值范围；（3）求函数()f x 的值域(用a 表示).参考答案1．A 【分析】根据给定的分段函数求出5()6f 的值，列出关于a 的方程即可得解. 【详解】依题意，551()32662f =⋅-=，则25[()](2)6f f f a ==，于是得24a =，解得2a =或2a =-(不符合题意，舍去)， 所以2a =. 故选：A 2．C 【分析】求出113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据1a +的范围分类计算求解．【详解】由已知113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0a ≤时，1(1)3(1)83f f f a a a ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，54a =，不合题意，0a >时，11(1)283a f f f a +⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2a =． 综上，2a =． 故选：C ． 3．B 【分析】分别求出1x <和1≥x 时的()f x 的范围，然后结题意可得12a ≤且1142a +≥，从而可求出a 的范围，进而可得答案 【详解】解：当1x <时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111222x ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭当1≥x 时，1()4xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1111444x a a a a ⎛⎫⎛⎫<+≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),4f x a a ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦，因为()f x 的值域为(),a +∞， 所以12a ≤且1142a +≥，解得1142a ≤≤， 所以a 的最大值为12， 故选：B 4．D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可 【详解】解：将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，则()3x g x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为2233x xy a a a -==， 因为所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，所以231a=，23a =，解得a a =， 故选：D 5．C 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >,101yy+∴>-， ∴11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C6．D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得280x -≥，所以322x ≥，解得3x ≥． 故选：D. 7．C 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可 【详解】∵111365399a b ==<=，21119993525273c a ==<==， ∴c a b <<． 故选：C ． 8．A 【分析】结合选项中的点，带入函数解析式检验即可得出结果. 【详解】当0x =时，0221x y ===，所以指数函数2x y =的图象一定经过点()0,1，故A 正确； 当1x =时，12221x y ===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1，故B 错误；当1x =-时，112212x y -===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故C 错误； 当1x =时，12221x y ===≠-，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故D 错误； 故选：A. 9．A 【分析】由()00g =可构造方程求得1a =，验证可知满足题意；根据30x >，由不等式的性质可求得()g x 的范围，从而得到所求值域.【详解】由题意知：()g x 定义域为R ，()g x 为定义在R 上的奇函数，()0201031g a a ∴=-=-=+，解得：1a =， 此时()23113131xx x g x -=-=++，()()1113311313x x x xg x g x ---===-++，满足题意； 30x >，311x ∴+>，20231x ∴<<+，22031x ∴-<-<+，()11g x ∴-<<， 即()g x 的值域为()1,1-. 故选：A. 10．D 【分析】根据指数函数过定点求解即可. 【详解】解：因为指数函数x y a =（0a >且1a ≠）过定点0,1， 所以令10x -=得1,2x y ==所以函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,2P故选：D 11．B 【分析】由奇函数的性质有(1)(1)=--f f ，结合0x <的函数解析式即可求值. 【详解】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-.故选：B 12．A 【分析】作出函数()f x 的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出函数221,02(),20x x f x x x ⎧-=⎨--<⎩的图象如图：则当[2x ∈-，2]，()f x 的最大值为()23f =，最小值(2)4f -=-，若0a =，()1g x =，此时满足1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 若0a ≠，则直线()g x 过定点(0,1)B ，若0a >，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ， 即213a +且214a -+-， 即1a 且52a， 此时满足01a <，若0a <，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立， 则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ， 即213a -+且214a +-， 即1a -且52a -， 此时满足11a -<， 综上11a -，故选：A 13．12 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由2,1()2,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩， 则11((3))(1)22f f f -=-==.故答案为：1214．()()2xf x x R =∈【分析】由()12f =可求得a 的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由已知可得()12f a ==，因此，()2xf x =.故答案为：()()2xf x x R =∈.15．34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由分段函数的两段都递减，两个端点的函数值满足左大右小可得． 【详解】解：函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数， 所以()()5400211547321a a a a a ⎧-<⎪<-<⎨⎪-+-≥-⎩，解得4511235a a a ⎧<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，即3455a ≤<，所以实数a 的取值范围是34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．16．1- 【分析】由已知可得，函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集，分别求出函数()f x 的值域和()g x 的值域，利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立， 即函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集.当(0,)x ∈+∞时，21x >，所以222()422(2)422(22)22x x x x x g x +=-+-=-+⨯-=--+≤， 所以()(,2]g x ∈-∞，又22()89(4)7f x x x x =++=+-的图象开口向上，其对称轴为4x =-， 当54a -<<-时，函数()f x 的值域为2[+89,6]a a +-，符合题意； 当43a --≤≤时，函数()f x 的值域为[7,6]--，符合题意； 当3a >-时，函数()f x 的值域为2[7,+89]a a -+，要满足题意，则2892a a ++≤，解得71a -≤≤-，又3a >-，所以31a -<≤-， 综上51a -<≤-所以实数a 的最大值为1-. 故答案为：1- 【点睛】方法点睛：等式任意性和存在性的混合问题，可以转化为两个函数在各自定义域下的值域包含问题.17．（1）12a =-；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）由于()f x 为奇函数，所以可得()()f x f x -=-，从而可求出a 的值； （2）由（1）可得11()231xf x =---，然后由30x >结合不等式的性可求出函数的值域 【详解】解：（1）函数31()31x x a af x --=-为奇函数．∴31313131x x x x a a a a------=---，即3313x x x a a a a --=--+，2(31)13x x a ∴-=-可得：12a =-．（2）由（1）可知1113(31)111222()3131231x x x x xf x -----===-----． 由310x -≠，得0x ≠， 所以30x >且31x ≠所以1310x -<-<或310x ->， 所以1131x <--或1031x >-， 所以1112312x-->-或1112312x --<--， 所以函数()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．（1）2m =-；（2）()f x 在R 上单增，证明见解析；（3）{}01x x <<. 【分析】（1）由奇函数的性质可知()00f =，求得m 后，再验证函数是奇函数；（2）利用单调性的定义，判断函数的单调性；（3）()112f =，不等式变形为()()211f x x f --<-，利用函数的单调性求x 的取值范围. 【详解】 解：（1）()f x 为奇函数，定义域为R ，∴()0f x =，即102m+=， ∴2m =-，经检验，符合题意．（2）()f x 为R 上的增函数，设12x x <，则()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x ----=-=++++，12x x <，∴1233x x <，1310x +>，2310x +>，∴()()120f x f x -<， ∴()f x 在R 上单增．（3）()2111312f =-=+ ∴()()2110f x x f --+<， ∴()()211f x x f --<-，()f x 为奇函数，()()11f f -=-，∴()()211f x x f --<-，()f x 为R 上增函数，∴211x x --<-， ∴01x <<，所以不等式的解集是{}01x x <<. 19．（1）2,1a b ==；（2）[)16,+∞ 【分析】（1）根据()00=f ，可得1b =，再由11f f即可求解，最后检验即可；（2）先判断()f x 的单调性，利用单调性解不等式 . 【详解】解：（1）∵因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+. 又由11f f，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当2a =，1b =时，121()22x x f x +-+=+，此时111211221222()(22)2x x x x x x f x f x --+++-+-+-+==+-=--+=+，满足题意.所以2a =，1b =（2）由（1）知：121()22x x f x +-+=+. 任取12,x x R ∈且12x x <，则1212121212111111122121(21)(22)(22)(21)2222(22)(22)()()x x x x x x x x x x f x f x ++++++-+-+-++-+-+-=+-=+++1212121111222222(22)(22)x x x x x x ++++-+-+=++2112221122(22)(22)x x x x ++++-=++因为12x x <，所以1222x x <，所以212222x x ++>，所以12()()f x f x > 所以121()22x x f x +-+=+为减函数.所以对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立等价于对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()()222222f t t f t k f k t +>--=-恒成立，所以2222t t k t +<-对任意的[1,2)t ∈-恒成立， 所以232t t k +<对任意的 [1,2)t ∈-恒成立，因为二次函数性质得函数232y t t =+在区间[1,2)t ∈-上的函数值满足1163y -≤<，所以16k ≥，即k 的取值范围为[)16,+∞ 20．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案. (2)由题意1()1xg x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】(1)函数1()(0)xxb f x a a a -=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数 所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b =(2) 11()()111x xxx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111x a-<--即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<- 21．（1）[]126,6--；（2）(,24]-∞. 【分析】（1）由题设令3[3,9]x t =∈，则()()242k t h x t t ==-，根据二次函数的性质即可求值域；（2）由题设结合（1）2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立，当3t =时易知不等式恒成立，当(3,9]t ∈时，令2(32)()(3)t t t ϕ-=-则只需min ()m t ϕ≤，结合基本不等式即可求参数范围.【详解】（1）由题设，若3[3,9]x t =∈，∴()()()()224242212k t h x t t t t t ==-=-=--+，则对称轴为1t =且开口向下， ∴[3,9]t ∈上()k t 单调递减，即()()[]126,6k t h x =∈--， ∴()h x 的值域为[]126,6--.（2）由（1）知：2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立， ∴当3t =时，2(323)(33)m -⨯≥-，即90≥对任意m 都成立，当(3,9]t ∈，即3(0,6]t -∈时，2(32)9944(3)12(3)33t m t t t t t -≤=+=-++---恒成立，∴9()4(3)1212243t t t ϕ=-++≥=-当且仅当9[3,9]2t =∈等号成立，∴仅需min ()m t ϕ≤，即24m ≤即可. ∴实数m 的取值范围(,24]-∞.22．（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）根据奇函数的性质(0)0f =是否成立，即可证明；（2）由题设易知0a <，令0x t e =>，则()()[(1)]0h t t a t a =-++>，讨论102a >>-、112a -≤<-、1a <-，求解集即可.（3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-，讨论0a ≤、102a ≥>、12a >，结合分段函数的性质求值域范围. 【详解】（1）由题意，(0)1|1|0f a =+-≠，而()f x 定义域为x ∈R ，与奇函数的性质矛盾， ∴函数()f x 不是奇函数，得证. （2）a y x =在0,单调递减，则0a <，即2()x x f x e e a =+-，∴2()f x a >，令0x t e =>，则22()()()[(1)]0h t t t a a t a t a =+-+=-++>， 当102a >≥-，有(1)t a <-+或t a >，故解集为0t >，此时x ∈R ；当112a -≤<-有t a <或(1)t a >-+，故解集为0t >，此时x ∈R ；当1a <-，有(1)t a >-+，此时ln[(1)]x a >-+；综上，10a -≤<时，x ∈R ；1a <-时，(ln[(1)],)x a ∈-++∞. （3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-， 当0a ≤时，2()(0)g t t t a g a =+->=-； 当102a ≥>时， 1、若t a ≥，22()()g t t t a g a a =+-≥=；2、若0a t >>，)22211()(),24g t t t a t a a a ⎡=-+=-+-∈⎣； 此时2()g t a ≥； 当12a >时， 1、若t a ≥，22211()()()24g t t t a t a g a a =+-=+--≥=；2、若0a t >>，221111()()()2424g t t t a t a g a =-+=-+-≥=-，此时1()4g t a ≥-.综上，0a ≤时，()f x ∈(,)a -+∞；102a ≥>时，()f x ∈2[,)a +∞； 12a >时，()f x ∈1[,)4a -+∞；。

考向10指数与指数函数1．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．（2015·山东高考真题（理））已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.【答案】32- 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。