中考数学总复习第二篇专题聚焦跟踪突破5简单的全等、相似及特殊四边形

中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ； 图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)， 整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。

题型五 几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB ＝3； 迁移应用：如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF.①证明△CEF 是等边三角形；②若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长.2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在线段BC 上(不含点B)，∠BPE ＝12∠ACB，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF⊥PE，垂足为F ，交AC 于点G.(1)当点P 与点C 重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；(2)通过观察、测量、猜想：BF PE＝__________，并结合图②证明你的猜想；(3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB＝α，求BF PE的值．(用含α的式子表示)3．(2014·河南)(1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为__________．(2) 拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离.4．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE∥BC，且DE ＝12BC.(不需要证明) 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)(2)如图③，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ，BD 相交于点O.若AO ＝OC ，四边形ABCD 面积为5，求阴影部分图形的面积.5．(2016·新乡模拟)问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，同时，点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点，求AC HF的值． (1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且D ，E 的运动速度相等，小王同学发现可以过点D 做DG∥BC，交AC 于点G ，先证GH ＝AH.再证GF ＝CF ，从而求得AC HF的值为__________； (2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠BAC＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求AC HF的值； (3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠BAC＝36°，记BC AC＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF的值(直接写出结果，不必写解答过程) .类型二 几何图形动态探究1．(2015·河南)如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝__________；②当α＝180°时，AE BD＝__________；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．2．已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC.(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC ＝120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC.①∠DAO 的度数是__________；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.3．(2013· 河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DCE绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是__________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__________；(2) 猜想论证当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3) 拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)，若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BF的长.BDC，请直接写出相应的4．(2017·郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB ＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系．小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．【问题解决】(1)如图①，当α＝60°时，判断BD与AE之间的数量关系；解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.【类比探究】(2)如图②，当α＝45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)5．(2017·烟台)【操作发现】(1)如图①，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．题型五 第22题几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1．迁移应用：①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝120°，∴∠DAB ＝∠CAE ，在△DAB 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝EA ∠DAB ＝∠EAC AB ＝AC，∴△DAB ≌△EAC;,图②)②解：结论：CD ＝3AD ＋BD.理由：如解图①，作AH ⊥CD 于H.∵△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ， 在Rt △ADH 中，DH ＝AD·cos 30°＝32AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∵CD ＝DE ＋EC ＝2DH ＋BD ＝3AD ＋BD ；拓展延伸：①证明：如解图②，作BH ⊥AE 于H ，连接BE.∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA ＝BD ＝BC ，∵E 、C 关于BM 对称，∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ，FE ＝FC ，∴A 、D 、E 、C 四点共圆， ∴∠ADC ＝∠AEC ＝120°，∴∠FEC ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，②解：∵AE ＝5，EC ＝EF ＝2，∴AH ＝HE ＝2.5，FH ＝4.5，在Rt △BHF 中，∵∠BFH ＝30°，∴HF BF ＝cos 30°，∴BF ＝4.532＝3 3. 2．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°，∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°－∠BGO ，∠EPO ＝90°－∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，在△BOG 和△POE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GBO ＝∠EPO OB ＝OP ∠BOG ＝∠POE，∴△BOG ≌△POE(ASA )；(2)解：猜想BF PE ＝12. 证明：如解图①，过P 作PM ∥AC 交BG 于M ，交BO 于N ， ∴∠PNE ＝∠BOC ＝90°，∠BPN ＝∠OCB.∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB ，∴NB ＝NP.∵∠MBN ＝90°－∠BMN ，∠NPE ＝90°－∠BMN ，∴∠MBN ＝∠NPE ，在△BMN 和△PEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBN ＝∠NPE NB ＝NP ∠MNB ＝∠PNE，∴△BMN ≌△PEN(ASA )，∴BM ＝PE.∵∠BPE ＝12∠ACB ，∠BPN ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠MPF. ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP ＝∠MFP ＝90°.在△BPF 和△MPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BPF ＝∠MPE PF ＝PF∠PFB ＝∠PFM，∴△BPF ≌△MPF(ASA ). ∴BF ＝MF. 即BF ＝12BM.∴BF ＝12PE.即BF PE ＝12；(3)解：如解图②，过P 作PM ∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ， ∴∠BPN ＝∠ACB ＝α，∠PNE ＝∠BOC ＝90°. 由(2)同理可得BF ＝12BM ，∠MBN ＝∠EPN ，∴△BMN ∽△PEN ，∴BM PE ＝BN PN. 在Rt △BNP 中，tan α＝BNPN ，∴BM PE ＝tan α，即2BF PE ＝tan α，∴BF PE ＝tan α2. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴∠ADC ＝∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°；②∴AD ＝BE ；(2)∠AEB ＝90°，AE ＝BE ＋2CM.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.∴∠ACD ＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC. ∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°.∵CD ＝CE ，CM ⊥DE ，∴DM ＝ME. ∵∠DCE ＝90°，∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM ；(3)点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.理由如下：∵PD ＝1，∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上． ∵∠BPD ＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上．∴点P 是这两圆的交点．①当点P 在如解图①所示位置时， 连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ， 过点A 作AE ⊥AP ，交BP 于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝45°.AB＝AD ＝DC ＝BC ＝2，∠BAD ＝90°.∴BD ＝2. ∵DP ＝1，∴BP ＝ 3.∵∠BPD ＝∠BAD ＝90°，∴A 、P 、D 、B 在以BD 为直径的圆上， ∴∠APB ＝∠ADB ＝45°.∴△PAE 是等腰直角三角形． 又∵△BAD 是等腰直角三角形，点B 、E 、P 共线，AH ⊥BP ， ∴由(2)中的结论可得：BP ＝2AH ＋PD. ∴3＝2AH ＋1.∴AH ＝3－12；②当点P 在如解图②所示位置时， 连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ， 过点A 作AE ⊥AP ，交PB 的延长线于点E ，同理可得：BP ＝2AH －PD.∴3＝2AH －1.∴AH ＝3＋12.综上所述：点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.4．解：【探究】平行四边形． 理由：如解图①，连接AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC ，同理HG ∥AC ，HG ＝12AC ，综上可得：EF ∥HG ，EF ＝HG ，故四边形EFGH 是平行四边形． 【应用】(1)添加AC ＝BD ，理由：连接AC ，BD ，同(1)知，EF ＝12AC ，同【探究】的方法得，FG ＝12BD ，∵AC ＝BD ，∴EF ＝FG ，∵四边形EFGH 是平行四边形，∴▱EFGH 是菱形；(2)如解图②，由【探究】得，四边形EFGH 是平行四边形， ∵F ，G 是BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴△CFG ∽△CBD ，∴S △CFG S △BCD ＝14，∴S △BCD ＝4S△CFG，同理：S △ABD ＝4S △AEH ，∵四边形ABCD 面积为5，∴S △BCD ＋S △ABD ＝5，∴S △CFG ＋S △AEH ＝54，同理：S △DHG ＋S △BEF ＝54，∴S 四边形EFGH ＝S 四边形ABCD －(S △CFG ＋S △AEH ＋S △DHG ＋S △BEF )＝5－52＝52，设AC 与FG ，EH 相交于M ，N ，EF 与BD 相交于P ，∵FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴CM ＝OM ＝12OC ，同理：AN ＝ON ＝12OA ，∵OA ＝OC ，∴OM ＝ON ，易知，四边形ENOP ，FMOP 是平行四边形，S ▱EPON ＝S ▱FMOP ， ∴S 阴影＝12S 四边形EFGH ＝54.5．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD ＝GD ，由题意知：CE ＝AD ，∴CE ＝GD ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，在△GDF 与△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF ∠GFD ＝∠EFC ，GD ＝CE∴△GDF ≌△CEF(AAS )，∴CF ＝GF ， ∵DH ⊥AG ，∴AH ＝GH ，∴AC ＝AG ＋CG ＝2GH ＋2GF ＝2(GH ＋GF)＝2HF ， ∴ACHF＝2； (2)如解图①，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ， 则∠ADG ＝∠ABC ＝90°.∵∠BAC ＝∠ADH ＝30°，∴AH ＝DH ，∠GHD ＝∠BAC ＋∠ADH ＝60°，∠HDG ＝∠ADG －∠ADH ＝60°，∴△DGH 为等边三角形． ∴GD ＝GH ＝DH ＝AH ，AD ＝GD·tan 60°＝3GD. 由题意可知，AD ＝3CE.∴GD ＝CE. ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF.在△GDF 与△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF ∠GFD ＝∠EFC CE ＝GD ，∴△GDF ≌△CEF(AAS )，∴GF ＝CF.GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝AH ＋CF ，∴HF ＝12AC ，即ACHF ＝2；(3)AC HF ＝m ＋1m.理由如下： 如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ， 易得AD ＝AG ，AD ＝EC ，∠AGD ＝∠ACB. 在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠ADH ＝36°，AB ＝AC ，∴AH ＝DH ，∠ACB ＝∠B ＝72°，∠GHD ＝∠HAD ＋∠ADH ＝72°. ∴∠AGD ＝∠GHD ＝72°，∵∠GHD ＝∠B ＝∠HGD ＝∠ACB ，∴△ABC ∽△DGH.∴GH DH ＝BCAC ＝m ，∴GH ＝mDH ＝mAH.由△ADG ∽△ABC 可得DG AD ＝BC AB ＝BCAC ＝m.∵DG ∥BC ，∴FG FC ＝GDEC＝m.∴FG ＝mFC.∴GH ＋FG ＝m(AH ＋FC)＝m(AC －HF)，即HF ＝m(AC －HF)．∴ACHF ＝m ＋1m.类型二 几何图形动态探究 1．解：(1)①当α＝0°时， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝（8÷2）2＋82＝45，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴AE ＝45÷2＝25，BD ＝8÷2＝4，∴AE BD ＝254＝52.②如解图①，当α＝180°时，可得AB ∥DE ， ∵AC AE ＝BC BD ，∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52；(2)当0°≤α＜360°时，AEBD 的大小没有变化，∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ， 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA ∽△DCB ，∴AE BD ＝EC DC ＝52；(3)①当D 在AE 上时，如解图②，∵AC ＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ， ∴AD ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8， ∵AD ＝BC ，AB ＝DC ，∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝45；②当D 在AE 延长线上时，如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，∵AC ＝45，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8，∵原图中点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6，由(2)可得AE BD ＝52，∴BD ＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255.2．解：(1)①∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， 由旋转的性质可知，∠OCD ＝60°，∠ADC ＝∠BOC ＝120°， ∴∠DAO ＝360°－60°－90°－120°＝90°； ②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2＋OB 2＝OC 2.如解图①，连接OD.∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD ＝60°. ∴CD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴OC ＝OD ＝CD ，∠COD ＝∠CDO ＝60°，∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝90°， ∴∠AOD ＝30°，∠ADO ＝60°.∴∠DAO ＝90°. 在Rt △ADO 中，∠DAO ＝90°，∴OA 2＋AD 2＝OD 2， ∴OA 2＋OB 2＝OC 2；(2)①当α＝β＝120°时，OA ＋OB ＋OC 有最小值．作图如解图②，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′. ∴△A ′O ′C ≌△AOC ，∠OCO ′＝∠ACA′＝60°.∴O′C＝OC ，O ′A ′＝OA ，A ′C ＝AC ，∠A ′O ′C ＝∠AOC.∴△OCO′是等边三角形．∴OC ＝O′C＝OO′，∠COO ′＝∠CO′O＝60°. ∵∠AOB ＝∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝∠A′O′C＝120°. ∴∠BOO ′＝∠OO′A′＝180°.∴B ，O ，O ′，A ′四点共线． ∴OA ＋OB ＋OC ＝O′A′＋OB ＋OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC 的边长为1时，OA ＋OB ＋OC 的最小值为A′B＝3.3．解：(1)①∵△DEC 绕点C 旋转使点D 恰好落在AB 边上，∴AC ＝CD ，∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°， 又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ， ∴DE ∥AC ；②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝12AB ，∴BD ＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC 、AD 上的高相等， ∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ， ∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°， ∴∠ACN ＝∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN ＝∠DCM ∠CMD ＝∠N ＝90°AC ＝DC ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形， ∴BE ＝DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF 1＝S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D ＝∠ABC ＝60°， ∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－∠BCD ＝180°－30°＝150°， ∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，⎩⎪⎨⎪⎧DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD ，∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS )，∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝12×60°＝30°， 又∵BD ＝4，∴BE ＝ED ＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433， ∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833， 故BF 的长为433或833. 4．解：(1)当α＝60°时，△ABC 、△DCE 是等边三角形， ∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BDC 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠BCD ＝∠ACE AC ＝BC，∴△BDC ≌△AEC(SAS )，∴BD ＝AE ；(2)BD ＝2AE ；理由如下：如解图①，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F. ∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB.∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α＝45°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°.∴△DFB 是等腰直角三角形∴BD ＝DF ＝22BF. ∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°.∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°，∴∠BAE ＝∠DFC.∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α，∴∠ADE ＝∠BCD.∴△ADE ∽△FCD.∴AE FD ＝AD FC. ∵DF ∥AC ，∴BD BF ＝AD CF .∴AE BD ＝BD BF ＝22.∴BD ＝2AE. (3)补全图形如解图②，∵AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α，∴A 、D 、C 、E 四点共圆，∴∠ADE ＝∠ACE ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝∠ADC ＝∠ABC ＋∠BCD ，∠ABC ＝∠EDC ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∵∠ABC ＝∠EAC ＝α，∴△BDC ∽△AEC ，∴BD AE ＝BC AC， 又∵BC AC＝2cos α，∴BD ＝2cosα·AE.5．解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵∠DCF ＝60°，∴∠ACF ＝∠BCD ，在△ACF 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACF ＝∠BCD CF ＝CD，∴△ACF ≌△BCD(SAS )，∴∠CAF ＝∠B ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝120°； ②相等；理由如下：∵∠DCF ＝60°，∠DCE ＝30°，∴∠FCE ＝60°－30°＝30°，∴∠DCE ＝∠FCE ，在△DCE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF ∠DCE ＝∠FCE CE ＝CE，∴△DCE ≌△FCE(SAS )，∴DE ＝EF ；(2)①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠B ＝45°，∵∠DCF ＝90°，∴∠ACF ＝∠BCD ，在△ACF 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC∠ACF ＝∠BCD CF ＝CD，∴△ACF ≌△BCD(SAS )，∴∠CAF ＝∠B ＝45°，AF ＝BD ， ∴∠EAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝90°；②AE 2＋DB 2＝DE 2；理由如下：∵∠DCF ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠FCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠FCE ，在△DCE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF∠DCE ＝∠FCE CE ＝CE，∴△DCE ≌△FCE(SAS )，∴DE ＝EF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，又∵AF ＝DB ，∴AE 2＋DB 2＝DE 2.。

中考考点总动员之三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升专题05 四边形讲练测模块一：平行四边形【例1】如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称____________．【难度】★【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形．【解析】考查常见的四边形的性质．【例2】下列判断错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查．【例3】下列命题中，真命题是( )A．菱形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直平分C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】★【答案】D【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质．【例4】 如图，在ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，请添加一个条件________________，可得ABCD 是矩形．【难度】★【答案】BD AC =或90DAB ∠=︒．【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形． 【总结】考查矩形的判定．【例5】 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是( )A ．当AB = BC 时，四边形ABCD 是矩形 B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形 C ．当OA = OB 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形 【难度】★★ 【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形．【例6】 已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC = BD ，AB // CD ，AB = CD B ．AD // BC ，A C ∠=∠ C ．AO = BO = CO = DO ，AC BD ⊥D ．AO = CO ，BO = DO ，AB = BC【难度】★★ 【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形．【例7】 如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是( )A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【难度】★★ 【答案】D【解析】连接AC 、BD ，点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，所以得四边形KLMN 为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正 好是四边形ABCD 的对角线的中位线，所以AC=BD ．ABC DO【总结】考查三角形中位线定理的运用．【例8】 从①AB // CD ，②AD // B C ，③AB = CD ，④AD = BC 四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD 是平行四边形的概率是______．【难度】★★ 【答案】23． 【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是42=63．【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用．【例9】 在平行四边形ABCD 中，BC = 24，AB = 18，ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 于点E 、F ，则EF =______．【难度】★★ 【答案】12．【解析】由平行线和角平分线可知△ABE 和△CDF 都是等腰三角形， 所以18AE AB ==，18DF DC ==， 所以18182412EF AE DF AD =+-=+-=．【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用．【例10】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO = CO ，AOD ADO ∠=∠，E是DC 边的中点．下列结论中，错误的是( ) A ．12OE AD = B ．12OE OB =C ．12OE OC =D ．12OE BC =【难度】★★ 【答案】DF EDCBAAB C D EO【解析】由AOD ADO ∠=∠得到AO OD =，又AO = CO ，得AO =AD =OC ， 因为O 、E 都是中点，所以OE 是中位线，即12OE AD =， 又90ABC ∠=︒且O 为中点，则AO =OC =OB ，所以A 、B 、C 正确，D 错误． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用．【例11】 设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③34a <<；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【难度】★★ 【答案】C【解析】勾股定理可得：a = 一对应，所以②是对的，故选C ．【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识．【例12】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果AE = 2，ADE ∆的面积是4，四边形BCDE 的面积是5，那么AB 的长是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】因为ADE C A A ∠=∠=∠，，所以ADEACB ∆∆．因为4ADE S ∆=，459ABC S ∆=+=，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：249ADE ABC S DE AB S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，得：23DE AB =，因为AE = 2，所以AB=3． 【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用．【例13】 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB // CD ，点E 是对角线AC 上一点，DEC ABC ∠=∠，且2CD CE CA =．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若FCE DCE ∠=∠， 求证：四边形EFCD 是菱形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵AB // CD ，∴BAC ECD ∠=∠， ∵DEC ABC ∠=∠，∴CDE ACB ∆~∆，∴CD CEAC AB=． ∴CD AB CE CA ⋅=⋅，又∵2CD CE CA =，∴AB =CD ， 又因为AB // CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵//AE BF ，//AB EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AB EF 且AB EF =，又∵ABCD 为平行四边形，∴//AB CD 且AB CD = ∴//EF CD 且EF CD =，∴四边形EFCD 为平行四边形，∵//EF CD ，∴FEC ECD ∠=∠，∵FCE DCE ∠=∠，∴FEC FCE ∠=∠， ∴EF =CF ，∴四边形EFCD 为菱形．【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 在边AC 上，AD = BD =DE ，联结BE ，72ABC DBE ∠=∠=︒．（1）联结CE ，求证：CE = BE ；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．【难度】★★ 【答案】见解析．A B C DEO A BCD EF【解析】证明：（1）设DE 与BC 的交点为O ， ∵72ABC DBE ∠=∠=︒，AB = AC ，AD = BD =DE ，∴36ABD DBA DBC ∠=∠=∠=，72ABC ACB BDC DBE DEB ∠=∠=∠=∠=∠=， ∴BCD DBE ∆≅∆，∴DE =BC ，CD =DO =BO ，∴OC =OE ， ∴36CEO OCE CBE ∠=∠=∠=︒，∴BE =CE ．（2）∵36BDE CED ∠=∠=︒，∴//BD CF ，∵36ABD EDB ∠=∠=︒，∴//DE AB ， ∴四边形DBFE 为平行四边形，又∵BD =DE ，∴四边形DBFE 为菱形． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用．【例15】 已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = BC ，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CE = CD ，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG // BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使HCE DCG ∠=∠． （1）求证：BCE ∆≌ACD ∆； （2）求证：四边形FHCG 是正方形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵90ACB ACD ∠=∠=︒，CE =CD ，AC =BC ， ∴BCE ∆≌ACD ∆；（2）∵BCE ∆≌ACD ∆，∴CEB CDA ∠=∠，又∵HCE DCG ∠=∠，CE =CD ，∴CEH CDG ∆≅∆，∴CH =CG ， ∵HCE DCG ∠=∠且90ACB ∠=︒，∴90HCG CHF CGF ∠=︒=∠=∠，∴四边形FHCG 为矩形，又∵CH =CG ，∴四边形FHCG 为正方形． 【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用．【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AB // DC ，E 、F 为对角线BD 上两点，且BE = DF ，AF // EC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD DC BH DG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）∵BE =DF ，∴BF =DF ， ∵//AB DC ，∴ABF EDC ∠=∠，BAF AGD ∠=∠，∵AF // EC ，∴AGD ECD BAF ∠=∠=∠，∴AFB CED ∆≅∆， ∴AB =CD ，且AB // DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴HAB AGD ∆∆，∴AD DGBH AB=， 又∵CD =AB ，∴AD DC BH DG =．【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用．【例17】 如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =．A BCDEF H【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AO =OC ，//AE DF ， ∴EOA FOC ∆≅∆，∴OE =OF ，又∵EF AC ⊥，且AO =OC ，∴四边形AFCE 为菱形；（2）∵四边形AFCE 为菱形，∴90EOC EDC ∠=∠=︒， ∵EGD CGO ∠=∠，∴EGDCGO ∆∆，∴DG GOEG CG=， ∵OF = 2GO =OE ，∴OG =EG ，∴2GO DG GC =． 【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用．【例18】 已知：如图，Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ． （1）求证：MB = MD ；（2）当AB = BC ，DC = DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点M 作MN BD ⊥于N ，∵90ABC CDE ∠=∠=︒，且BC 与CD 共线，∴////AB MN DE ，又∵M 为AE 中点，∴N 也为BD 中点， ∴BM D ∆为等腰三角形，∴BM =MD ； （2）延长BM 交DE 延长线于点P ，∵//AB PE ，M 为AE 中点，∴AB =PE ，∵AB =BC ，DC =DE ，∴Rt ABC ∆和Rt CDE ∆都是等腰直角三角形，∴45CED ACB ∠=∠=︒， ∴CED P ∠=∠，ACB BDM ∠=∠，∴//CE BP ，//AC DM ，A BCDE M HN P∴四边形MGCH 为平行四边形，又∵90GMH ∠=︒，∴四边形MGCH 为矩形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用．【例19】 如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，联结BE 、DF ，DF 交对角线AC于点G ，且DE = DG ． （1）求证：AE = CG ； （2）求证：BE // DF ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）取AC 中点O ，连接DO∵AD =CD ，∴DO AC ⊥．又∵DE =DG ，∴EO =OG ，∴AE =CG ；（2）∵正方形ABCD ，∴45BAC ACD ∠=∠=︒，∵AE =CG ，AB =CD ，∴EAB CGD ∆≅∆，∴ABE GDC ∠=∠，又∵90DFC FDC EBC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴DFC EBF ∠=∠，∴BE // DF ． 【总结】本题主要考查正方形性质的运用．【例20】 已知：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE = AF ，AEC AFC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如图2，若AD = AF ，延长AE 、DC 交于点G ，求证：2AF AG DF =．（3）在第（2）小题的条件下，连接BD ，交AG 于点H ，若HE = 4，EG = 12，求AH 的长．A BCD E FOA BCD EF【难度】★★★ 【答案】略【解析】（1）∵AEC AFC ∠=∠， ∴AEB AFD ∠=∠，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴B D ∠=∠，又∵AE = AF ，∴ABE ADF ∆≅∆，∴AB =AD ，∴四边形ABCD 为菱形； （2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BAG AGD FAD ∠=∠=∠，又∵D D ∠=∠， ∴AFDGDA ∆∆，∴AD FDGA AD=，又∵AD =AF ，∴2AF AG DF =； （3）∵//AB DC ，//AD BC ，∴AH BH HG HD =，BH EH HD AH =，∴AH EHHG AH=， 又∵HE =4，EG =12，∴416AH AH=，∴AH =8． 【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用．【巩固1】（2019春•浦东新区校级月考）已知四边形ABCD ，在①//AB CD ；②AD BC =；③AB CD =；④A C ∠=∠四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是( ) A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③【分析】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组对边相互平行的四边形是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③； 所以不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是①②； 故选：A ．【巩固2】（2019春•浦东新区校级月考）在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若10BD =，14AC =，那么BC 的取值范围为 ．【分析】根据平行四边形的性质可得BO 、CO 的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC 的取值范围． 【解答】解：如图：四边形ABCD 是平行四边形，12BO BD ∴=，12CO AC =，10BD =，14AC =， 5BO ∴=，7CO =， 212BC ∴<<，故答案为：212BC <<．【巩固3】（2018春•浦东新区期中）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且//EG BC ，//DE AC ，延长GE 至点F ，使得BE BF =． （1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当45C ∠=︒，4BD =时，联结DF ，求线段DF 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，证出AEG ABC C ∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形，得出DEG C ∠=∠，证出F DEG ∠=∠，得出//BF DE ，即可得出结论；（2）证出BDE ∆、BEF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF BE ===作FM BD ⊥于M ，连接DF ，则BFM ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出2FM BM ===，得出6DM =，在Rt DFM ∆中，由勾股定理求出DF 即可．【解答】（1）证明：ABC ∆是等腰三角形， ABC C ∴∠=∠，//EG BC ，//DE AC ，AEG ABC C ∴∠=∠=∠，四边形CDEG 是平行四边形， DEG C ∴∠=∠，BE BF =，BFE BEF AEG ABC ∴∠=∠=∠=∠，F DEG ∴∠=∠， //BF DE ∴，∴四边形BDEF 为平行四边形；（2）解：45C ∠=︒，45ABC BFE BEF ∴∠=∠=∠=︒，BDE ∴∆、BEF ∆是等腰直角三角形，BF BE ∴=== 作FM BD ⊥于M ，连接DF ，如图所示： 则BFM ∆是等腰直角三角形，2FM BM ∴===， 6DM ∴=，在Rt DFM ∆中，由勾股定理得：DF即D ，F 两点间的距离为【巩固4】（2018•上海）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A ．A B ∠=∠B ．AC ∠=∠C ．AC BD =D ．AB BC ⊥【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、A B ∠=∠，180A B ∠+∠=︒，所以90A B ∠=∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B 、AC ∠=∠不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C 、AC BD =，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；D 、AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B ．【巩固5】（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的23，那么矩形的宽的值是 ．【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF x =，则23CF x =，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ， 设AF x =，则23CF x =， 在Rt CBF ∆中，1CB =，1BF x =-， 由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)， 即它的宽的值是1813， 故答案为：1813．【巩固6】（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形．【分析】（1）首先证得ADE CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质可得ADE CDE ∠=∠，由//AD BC 可得ADE CBD ∠=∠，易得CDB CBD ∠=∠，可得BC CD =，易得AD BC =，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD CD =可得四边形ABCD 是菱形；（2）由BE BC =可得BEC ∆为等腰三角形，可得BCE BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理可得1180454CBE ∠=⨯=︒，易得45ABE ∠=︒，可得90ABC ∠=︒，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在ADE ∆与CDE ∆中， AD CD DE DE EA EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ADE CDE ∴∆≅∆，ADE CDE ∴∠=∠， //AD BC ， ADE CBD ∴∠=∠， CDE CBD ∴∠=∠，BC CD ∴=， AD CD =， BC AD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，AD CD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）BE BC =BCE BEC ∴∠=∠，:2:3CBE BCE ∠∠=，218045233CBE ∴∠=⨯=︒++，四边形ABCD 是菱形， 45ABE ∴∠=︒， 90ABC ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形．【巩固7】（2019•杨浦区二模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG ，//GH BF ，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；（2）连结BH ，交AC 于点O ，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH =，OF OG =，又AF CG =，所以OA OC =．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH 是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点F 、G 是边AC 的三等分点， AF FG GC ∴==．又点D 是边AB 的中点， //DH BG ∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=，=，AB BC∴⊥，BH FG∴四边形FBGH是菱形；（2）四边形FBGH是平行四边形，=．∴=，FO GOBO HO==，又AF FG GC=．AF FO GC GO∴+=+，即：AO CO∴四边形ABCH是平行四边形．=，AC BH⊥，AB BC∴四边形ABCH是正方形．模块二：梯形【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________形．【难度】★【答案】菱形．【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线，得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形．【总结】本题主要考查三角形中位线的运用．【例22】如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______．【难度】★【答案】3．【解析】梯形中位线等于上底加下底和的一半．【总结】本题主要考查梯形中位线的运用．【例23】梯形ABCD中，AD // BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是______．【难度】★★【答案】4．【解析】设梯形的高为h，则1(26)42ABCDS h h=⨯+⨯=梯形，因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以114222ABES BE h h h =⨯⨯=⨯=，所以4BE=．【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用．【例24】如果梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1，BC = 3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是______．【难度】★★【答案】35．【解析】因为EF为梯形ABCD的中位线，所以EF=2，又因为四边形AEFD与EBCF为梯形，且他们的高相等，所以面积之比等于123 235 +=+．【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用．【例25】如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，已知AD = 2，4cot3ACB∠=，梯形ABCD的面积是9．（1）求AB的长；（2）求tan ACD∠的值．【难度】★★【答案】（1）3；（2）617．E D CBAA B CDH【解析】（1）设AB x =，则43BC x =，梯形面积等于42392x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，解得：3x =， 即AB 的长为3；（2）过D 作DH AC ⊥于H ，∵AD // BC ，∴ACB CAD ∠=∠，∴4cot cot 3CAD ACB ∠=∠=， ∴65DH =，85AH =，∵AC=5，∴175CH =， ∴6tan 17DH ACD CH ∠==． 【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用．【例26】 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 是边CD 的中点，点F 在边BC 上，EF // AB ． 求证：()12BF AD BC =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】取AB 的中点G ，连接EG ，∵点E 是边CD 的中点，∴EG 为梯形ABCD 的中位线，∴()12EG AD BC =+， 又∵//EF AB ，且//EG BC ，∴四边形BFEG 为平行四边形， ∴BF =EG ，∴()12BF AD BC =+．【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用．【例27】 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC // AB ，AB >CD >AD ，90A ∠=︒，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片；AB C D EF GAB C D EF GA BC DH（1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG = CD 时，求证：四边形GBCE 为等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵//CD AB ，∴90ADE A ∠=∠=︒， 由翻折性质，知ADF EDF ∆≅∆，∴90A DEF ∠=∠=︒， ∴四边形ADEF 为矩形，∵45ADF FDE ∠=∠=︒，∴DA =AF ， ∴四边形ADEF 为正方形；（2）连接DG ，EG ，∵BG =CD ，//AB CD ，∴四边形DGBC 为平行四边形，∴BC =DG ， 又∵AG =GF ，AD =EF ，90A EFA ∠=∠=︒，∴AGD FGE ≅，∴EG =DG ， ∴BC =EG ，∵//BG CE 且不相等，∴四边形GBCE 为等腰梯形．【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质 的运用．【例28】 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，AE 与BD 交于点O ，且CD = CE ，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED 是等腰梯形；（2）若EC = 2，BE = 1，21AOD ∠=∠，求AB 的长．【难度】★★★ 【答案】（1）略；（2）32． 【解析】（1）∵C C ∠=∠，CD = CE ，12∠=∠， ∴ACE BCD ∆≅∆，∴BC =AC ，∴AD =BE ，CAB ABC ∠=∠，∴ABC DEC ∠=∠，∴//DE AB ，又∵DE AB ≠，∴四边形ABED 为等腰梯形；A BC DE 1 2 O AB CD E FGA B CD E FG（2）∵四边形ADEB 为等腰梯形，∴ADE BED ∠=∠．∵12∠=∠，∴EDO OED ∠=∠，又∵21AOD ∠=∠，∴1ODE ∠=∠， ∴DE =BE =1，∵//DE AB ，∴DE EC AB BC =，∴32AB =． 【总结】本题一方面考查等腰梯形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用．【例29】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ． （1）求证：60ACE ∠=︒；（2）在边AB 上取一点F ，使BF = BD ，联结DF 、EF ．求证：四边形CDEF 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形， ∴60BAC DAE ∠=∠=︒，AB =AC ，AD =AE ， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ∆≅∆， ∴60ACE ABC ∠=∠=︒；（2）∵CE =BD ，BF =BD ，60B ∠=︒，∴BDF ∆为等边三角形， ∴DF =BD =CE ，∵ACE ACB B ∠=∠=∠，∴120BCE ∠=︒， ∴180B BCE ∠+∠=︒，∴//BF CE ，∵BF =CE ，∴四边形BFEC 为平行四边形，∴//CD EF 且DF =CE ， ∴四边形CDFE 为等腰梯形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用．【例30】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于F ，过点F 作FG // AB ，AB C D EF交AE 于点G ． （1）求证：AG = BF ；（2）当2AD CA CF =时，求证：AB AD AG AC =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AD BC =，D BCE ∠=∠．又∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，∴ADE BCE ∆≅∆，∴AE =BE ． ∵//GF AB ，∴EGF ∆和AEB ∆均为等腰三角形，∴AG =BF ； （2）∵AD =BC ，且2AD CA CF =，∴2BC CA CF =， 又∵BCF FCB ∠=∠，∴BCFACB ∆∆，∴AB ACBF BC=．又∵AD =BC ，AG =BF ，∴AB AD AG AC =． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用．【巩固1】（2018•青浦区一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A ．ABC DCB ∠=∠ B ．DBC ACB ∠=∠C ．DAC DBC ∠=∠D ．ACD DAC ∠=∠【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠， BD BC ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B 、DAC DBC ∠=∠，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠， OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠OB OC ∴=，OD OA =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C 、ADB DAC ∠=∠，//AD BC ， ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠，OA OD ∴=，OB OC =， AC BD ∴=， //AD BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确．故选：D ．【巩固2】（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米）故答案为：7．【巩固3】（2019春•浦东新区期末）已知，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 ．【分析】首先过A 作//AE DC 交BC 与E ，可以证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得到4CE AD ==，再证明ABE ∆是等边三角形，进而得到6BE AB ==，从而得到答案． 【解答】解：如图，过A 作//AE DC 交BC 与E ， //AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，5AD EC ∴==，AE CD =， 6AB CD ==，6AE AB ∴==，60B ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，6BE AB ∴==， 6511BC ∴=+=．故答案为：11．1．（2019春•嘉定区期末）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为8AC m =，12BD cm =，那么BC 边的长度可能是( ) A ．2BC cm =B ．6BC cm =C ．10BC cm =D ．20BC cm =【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD 的对角线交于O 点， 4OA OC ∴==，6OB OD ==，6464BC ∴-<<+ 210BC ∴<<， 6cm ∴符合，故选：B ．2．（2019春•浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有( ) A ．一组对角相等，一组邻角互补B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边相等D ．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．【解答】解：A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B ．3．（2019春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，10AC =，24BD =，则AD = ．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO 的长． 【解答】解：ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1122BO DO BD ∴===，152AO CO AC ===，AB AC ⊥，13AD ∴，故答案为：13．4．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果4AB =，5BC =，32OE =，那么四边形EFCD 的周长为 ．【分析】根据平行四边形的性质知，4AB CD ==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE ∠和COF ∠是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到 1.5OF OE ==，CF AE =，所于是得到结论．【解答】解：四边形ABCD 平行四边形，4AB CD ∴==，5AD BC ==，AO OC =，OAD OCF ∠=∠，AOE COF ∠=∠，()OAE OCF AAS ∴∆≅∆， 1.5OF OE ∴==，CF AE =，∴四边形EFCD 的周长ED CD CF OF OE =++++ED AE CD OE OF =++++ AD CD OE OF =+++45 1.5 1.5=+++12=．故答案为：12．5．（2019春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，28BC AB ==，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ，则BEG S ∆= ．【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．构建BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆=+-计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM CD ⊥交CD 的延长线于M ．2BC AB =，BH CH =，60ABC ∠=︒，BA BH CH ∴==，ABH ∴∆是等边三角形，HA HB HC ∴==， 90BAC ∴∠=︒，30ACB ∴∠=︒，EC BC ⊥，180120BCD ABC ∠=︒-∠=︒， 60ACE ∴∠=︒，30ECM ∠=︒， 28BC AB ==，4CD ∴=，CN EN ==，EC ∴=EM =， BEG BCE ECG BCG S S S S ∆∆∆∴=+-11182224ABCD S =⨯⨯⨯⨯平行四边形==故答案为．6．（2019春•杨浦区期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 ． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB AE =；分两种情况：①当2AE =，4DE =时；②当4AE =，2DE =时；即可求出平行四边形ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示：①当2AE =，4DE =时， 四边形ABCD 是平行四边形， 6BC AD ∴==，AB CD =，//AD BC ， AEB CBE ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，2AB AE ∴==，∴平行四边形ABCD 的周长2()16AB AD =+=；②当4AE =，2DE =时， 同理得：4AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()20AB AD =+=；故答案为：16或20．7．（2019春•金山区期末）已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆． AE CF ∴=．8．（2019春•杨浦区期中）在平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，BD AD ⊥，2BD =． （1）求平行四边形ABCD 的周长和面积； （2）求A 、C 两点间的距离．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出2AD BD ==，由勾股定理求出AB =行四边形的性质得出DC AB ==，2BC AD ==，即可得出平行四边形的周长和面积； （2）连接AC ，与BD 相交于点O ，由平行四边形的性质得出112OD BD ==，2AC AO =，由勾股定理求出OA ，得出AC =【解答】（1）解：90BD AD ADB ⊥∴∠=︒ 又45452A ABD AD BD ∠=︒∴∠=︒∴==，AB ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴==2BC AD ==，∴()22224ABCD C AB AD =+==平行四边形，224ABCD S AD BD ∴=⨯=⨯=平行四边形；（2）解：连接AC ，与BD 相交于点O ，如图所示：四边形ABCD 是平行四边形， ∴112OD BD ==，2AC AO =， 在Rt AOD ∆中，90ADO ∠=︒，∴OA∴AC =所以A 、C 两点间的距离为．9．（2018秋•黄浦区校级月考）已知：如图，在ABCD 中，4AC =，6BD =，CA AB ⊥，求ABCD 的周长和面积．【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【解答】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥，Rt AOB ∴∆中，AB ==Rt ABC ∴∆中，BC ，ABCD ∴的周长==，ABCD 的面积4AB AC =⨯=．10．（2018春•金山区期中）已知，如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 边上一点，F 为AB 边上一点，且CD BF =，以AD 为边作等边ADE ∆，联结EF 、FC ．求证： （1）ADC CFB ∆≅∆；（2）四边形EFCD 是平行四边形．【分析】（1）ACD ∆和CBF ∆中，已知的条件有：AC BC =，CD BF =，60ACD CBF ∠=∠=︒；根据SAS 即可判定两个三角形全等．（2）由（1）的全等三角形知：AD CF =，即DE CF AD ==；因此只需判断DE 与CF 是否平行即可，由（1）的全等三角形，可得DAC BCF ∠=∠，而60BCF ACG ∠+∠=︒，即60CAD ACG ∠+∠=︒；根据三角形外角的性质，可得60AGF CGD ∠=︒=∠，由此可判定//DE FC ，即可得出四边形CDEF 的形状． 【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， AC BC ∴=， 60ACD B ∠=∠=︒，CD BF =，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆；（2）四边形CDEF 为平行四边形； ACD CBF ∆≅∆；DAC BCF ∴∠=∠，CF AD =；AED ∆是等边三角形； AD DE ∴=；CF DE ∴=①；60ACG BCF ∠+∠=︒； 60ACG DAC ∴∠+∠=︒；180()120AGC ACG DAC ∴∠=︒-∠+∠=︒； 120DGF AGC ∴∠=∠=︒；AED ∆是等边三角形；60ADE ∴∠=︒；180DGF ADE ∴∠+∠=︒；//CF DE ∴②；综合①②可得四边形CDEF 是平行四边形．11．（2018春•浦东新区期中）如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =． 求证：（1）BE DF =； （2）//BE DF【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解答】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=，//AD BC ， DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠， AE CF =， AF EC ∴=，在FAD ∆和ECB ∆中， AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FAD ECB SAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）FAD ECB ∆≅∆，F E ∴∠=∠，//BE DF ∴．12．（2018春•浦东新区期中）在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE ∆和等边BCF ∆，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．【分析】由题意先证60DAE BCF ∠=∠=︒，再由SAS 证DCF BAE ∆≅∆，继而题目得证． 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， CD AB ∴=，AD CB =，DAB BCD ∠=∠．又ADE ∆和CBF ∆都是等边三角形，DE BF ∴=，AE CF =．60DAE BCF ∠=∠=︒． DCF BCD BCF ∠=∠-∠，BAE DAB DAE ∠=∠-∠，DCF BAE ∴∠=∠．()DCF BAE SAS ∴∆≅∆．DF BE ∴=．∴四边形BEDF 是平行四边形．13.（2017•上海）已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A ．BAC DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．BAC ABD ∠=∠ D ．BAC ADB ∠=∠【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A 、BAC DCA ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；B 、BAC DAC ∠=∠，能判定四边形ABCD 是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C 、BAC ABD ∠=∠，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD 是矩形；D 、BAC ADB ∠=∠，不能判断四边形ABCD 是矩形；故选：C ．14．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，90BAD ∠=︒，BO DO =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．90BCD ∠=︒C ．AB CD =D ．//AB CD【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分。

中考数学图形相似与位似专题复习（基础知识归纳+常考题型
剖析）
图形的相似与位似
【基础知识归纳】
归纳 1：比例的基本性质、黄金分割
(1)成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么这四条线段叫做成比例线段．
(2)比例的基本性质
归纳2：三角形相似的性质及判定
(1)相似三角形的判定
①两角对应相等，两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似；
④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所截得的三角形与原三角形相似；
(2)相似三角形性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例，
对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，
②周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
归纳3：相似多边形与位似图形
1.相似多边形的性质
①相似多边形对应角相等，对应边成比例．
②相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
2.位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，
这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．。

2024年中考数学一轮复习题型突破与专题训练—特殊四边形的性质与判定题型一菱形的性质判定及其应用1．（如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在,BC DC 边上，添加以下条件不能判定ABE ADF ≌的是（）A ．BE DF=B ．BAE DAF ∠=∠C ．AE AD =D ．AEB AFD∠=∠【答案】C【分析】根据三角形全等判定定理SAS 可判定A ，三角形全等判定定理AAS 可判定B ，三角形全等判定定理可判定C ，三角形全等判定定理AAS 可判定D 即可．【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加BE DF =可以，在△ABE 和△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ADF ≌(SAS)，故选项A 可以；B.添加BAE DAF ∠=∠可以，在△ABE 和△ADF 中BAE DAF B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ADF ≌(AAS)；故选项B 可以；C.添加AE AD =不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C 不可以；D.添加AEB AFD ∠=∠可以，在△ABE 和△ADF 中BEA DFA B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ADF ≌(SAS)．故选项D 可以；故选择C ．【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．2．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（）A ．3+B ．2+C ．2D ．1+【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH ，利用勾股定理得出EF 和OE 的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ⊥BC,EG ⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF ⊥AD,EG ⊥CD ，因为O 点是菱形ABCD 的对称中心，∴O 点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH ，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH 是矩形；设OE=OF=OG=OH=x ，∴EG=HF=2x ，EF HG ===，如图，连接AC ，则AC 经过点O ，可得三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=12，∴32=∴四边形EFGH 的周长为EF+FG+GH+HE=3322322x +=+⨯=+,故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．3．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒，2AB =，则PE PF -的值为（）A．32B．3C．2D．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=23AP=23+PC，PE=123+12PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=12PC，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30︒，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=2222-1=23∴AP=23，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=23+PC，∴PE=12312PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=12PC，∴PE PF -+12PC-12，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接AC 、BD ，则AC BD 的值为（）A ．12B ．22C ．2D ．33【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=，,,AC BD BO DO AO CO ⊥==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC ∠=∠=∠=，,,AC BD BO DO AO CO ⊥==，∵60ABC ∠=︒，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC ∠=︒=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴33AC BD ==；故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，60ABC ∠=︒，15BCE ∠=︒，2ED =+，则AD =（）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】A【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得ABC 是等边三角形，可得2OB BC =，进而根据15BCE ∠=︒，可得45ECO ∠=︒，进而可得OC OE =,根据DE OE OD =+，2ED =+，AD BC =，即可求得AD ．【解析】四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥,,,AO OC BO OD AB BC ===，60ABC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴160,,sin 22ACB BAC OC BC OB BC ACB BC ∠=∠=︒==⋅∠=， 15BCE ∠=︒，601545ECO ACB ∴∠=∠=︒-︒=︒，AC BD ⊥，45CEO ∴∠=︒，OC OE ∴=，2DE OE OD OE OB =+=+=+即1222BC BC +=+4BC ∴=，4AD BC ∴==．故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．OE12AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 【答案】C【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=12CD=12AB，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，∵点E是CD的中点，∴OE=DE=CE=12CD=12AB，故选项B不合题意；∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（）A．19B．16C．13D．29【答案】A【分析】由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．【解析】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴12AEBC=，12CFDF=∵G、H分别是AC的三等分点，∴12AGGC=，12CHAH=，∴AE AG BE GC=，∴EG∥BC∴13 EG AEBC AB==，同理可得HF∥AD，13 HFAD=，∴111339EHFGABCDSS=⨯=四边形菱形，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AD ⊥，垂足为E ，8AC =，6BD =，则OE 的长为______．【答案】125【分析】直接利用菱形的性质得出AO ，DO 的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在Rt ADO 中，由等面积法得：1122AO DO AD OE =g g ,∴341255AO DO OE AD ´===g 故答案为：125．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键．10．菱形ABCD 中，对角线10, 24AC BD ==，则菱形的高等于___________．【答案】120 13【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB=12BD=12，OA=12AC=5，在Rt△ABO中，=13，∵S菱形ABCD =12AC BD BC AE⨯⨯=⨯，∴11024132AE ⨯⨯=⨯，解得：AE=120 13，故答案为：120 13．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．11．如图，在菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π）【答案】96-25π【分析】先根据菱形的性质得出AB 的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，∴AC ⊥BD ，AO=6，BO=8；∴10AB ==；∴菱形ABCD 的面积=1112169622AC BD ⨯=⨯⨯=∵四个扇形的半径相等，都为152AB =，且四边形的内角和为360°，∴四个扇形的面积=23605=25360ππ⨯，∴阴影部分的面积=96-25π；故答案为：96-25π．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．12．如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为__________厘米．【答案】()33+【分析】四边形ABCD 是菱形，由图象可得AC 和BD 的长，从而求出OC 、OB 和ACB ∠．当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，此时PQ 连线过O 点且垂直于BC ．根据三角函数和已知线段长度，求出P 、Q 两点的运动路程之和．【详解】由图可知，23,2AC BD ==（厘米），∵四边形ABCD 为菱形∴11122OC AC OB BD ====（厘米）∴30ACB ∠=︒P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时，P 、Q 两点运动路程之和2()S OC CQ =+∵3cos 22CQ OC ACB =⋅∠=⨯=（厘米）∴3232S ⎫=+=+⎪⎭（厘米）故答案为3)+．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．13．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，G 为AD 中点，点E 在BC 延长线上，F 、H 分别为CE 、GE 中点，EHF DGE ∠=∠，CF =AB =_____．【答案】4【分析】连接CG ，过点C 作CM ⊥AD ，交AD 的延长线于M ，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG=2HF=AB //CD ，得∠CDM=∠A=60°，设DM=x ，则CD=2x ，x ，在Rt △CMG 中，借助勾股定理得CG ===x 的值，从而解决问题．【解析】如图，连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，F、H分别为CE、GE中点，∴FH是△CEG的中位线，∴HF=12CG，四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，AB//CD，∴∠DGE=∠E，∠EHF=∠DGE，∴∠E=∠EHF，∴HF=EF=CF，∴CG=2HF=∴AB//CD，∴∠CDM=∠A=60°，设DM=x，则CD=2x，，点G为AD的中点，∴DG=x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：CG===∴x=2，∴AB=CD=2x=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．=．连14．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE DF接CE、CF．求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC和△DFC中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．15．如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE 是正方形，根据对角线AD 求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE 是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．题型二矩形的性质判定及其应用17．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（）A ．485B ．325C ．245D ．125【答案】C【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明AOE ADC 得到OE 的长，再证明DEF DBA 可得到EF 的长，从而可得到结论．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒6AB = ，8BC =8AD BC ∴==，6DC AB ==10AC ∴==，10BD =，152OA AC ∴==，OE AC ⊥ ，90AOE ∴∠=︒AOE ADC ∴∠=∠，又CAD DAC ∠=∠，AOE ADC ∴ ，AO AE EO AD AC CD∴==，58106AE EO ∴==，254AE ∴=，154OE =，74DE ∴=，同理可证，DEF DBA ，DE EF BD BA ∴=，74106FF ∴=，2120EF ∴=，1521244205OE EF ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（）A ．1B ．43C ．32D ．53【答案】D【分析】设CE=x ，则BE=3-x 由折叠性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt △BEF 中，由勾股定理得(3-x)2+12=x 2，解得x 的值即可．【详解】解：设CE=x ，则BE=3-x ，由折叠性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=5在Rt △DAF 中，AD=3，DF=5，∴4=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(3-x)2+12=x 2，解得x=53，故选：D ．【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若6AB cm =，8BC cm =，则EF 的长是（）A ．2.2cmB ．2.3cmC ．2.4cmD ．2.5cm【答案】D 【分析】由勾股定理求出BD 的长，根据矩形的性质求出OD 的长，最后根据三角形中位线定理得出EF 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD ，OA=OC=OD=OB ，∵6AB cm =，8BC cm =，∴10cm ==∴BD=10cm ，∴152OD BD cm ==，∵点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，∴115 2.522EF OD cm ==⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．20．如图1，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，在边AB ，BC 上沿A→B→C 的方向，以1cm/s 的速度匀速运动到点C ，APC △的面积S （cm 2）随运动时间t （s ）变化的函数图象如图2所示，则AB 的长是（）A ．3cm 2B ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B【分析】由图象2可知，点P 从B 到C 的运动时间为4s ，则由动点P 的运动速度可求出BC 的长，再根据图象可知ABC 的面积为6cm 2，即可利用面积公式求解此题．【解析】解：∵动点P 从A 点出发到B 的过程中，S 随t 的增大而增大，动点P 从B 点出发到C 的过程中，S 随t 的增大而减小．∴观察图象2可知，点P 从B 到C 的运动时间为4s ，∵点P 的运动速度为1cm/s ，∴BC=1×4=4（cm ），∵当点P 在直线AB 上运动至点B 时，APC △的面积最大，∴由图象2得：APC △的面积6cm 2，∴162ABC S AB BC =⋅= ，∴3AB =cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．21．如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B′，D′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B D ''的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．1【答案】D【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解,AC 再利用轴对称的性质求解,AB CD ''，从而可得答案.解： 矩形纸片ABCD ，3,4,90,AD BC AB DC B D ∴====∠=∠=︒5,AC ∴==由折叠可得：90,3,CB F B CB CB ''∠=∠=︒==2,AB AC CB ''∴=-=同理：2,CD '=5221,B D AC AB CD ''''∴=--=--=故选：.D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.22．如图，在矩形纸片ABCD 中，7AB =，9BC =，M 是BC 上的点，且2CM =．将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C '处，折痕为MN ，则线段PA 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．【答案】B连接PM ，证明PBM PC M '≅ 即可得到2CM C M PB '===，PA=5．【解析】连接PM∵矩形纸片ABCD 中，7AB =，9BC =，∴7CD =∵2CM =∴7BM =∵折叠∴7CD PC '==,90=C B'∠=︒∠∴7BM PC '==∵PM=PM∴()Rt PBM Rt PC M HL '≅ ∴2CM C M PB '===∴5PA AB PB =-=故选B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件7BM PC '==，学会利用翻折不变性解决问题．23．如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】1【分析】连接AF ，NE ，NF ，证明出△AOE △ADC ，利用对应边成比例求出OE=355，再根据勾股定理求出BF 的长，利用勾股定理求出EF =，再根据折叠的性质，得到NF=NE ，最后得出结果．【详解】解：如图所示，连接AF ，NE ，NF ，∵点F 与点E 重合，∴MN ⊥EF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到OA=OA’=3，令BF=x ，则FC=8-x,由勾股定理的：22222OF AF OA FC CO =-=-，∵∠AOE=∠ADC ，∠OAE=∠DAC∴△AOE △ADC ，∴OE AF DC AC=，由勾股定理得到：224845+=，∴445OE ∴OE=355，∴OA=655，∴OC=651454555=，∵22222OF AF OA FC CO =-=-，∴222224()(8)()55x x +-=--，解得：1x =,∴BF 的长为1．设B’N=m ，B’F=1，则22222213(4)NF m NE m =+==+-，解得：m=1，则，∵EF==，∴MF=∴MN=故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理的应用，关键在于画出图形，利用三角形相似和勾股定理求出各边的长度，特别注意点F 与点E 重合用到垂直平分线的性质．24.如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为__．【答案】152【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF 即可．【解析】解：如图：四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，又6AB =，8AD BC ==，10BD ∴==，EF 是BD 的垂直平分线，5OB OD ∴==，90BOF ∠=︒，又90C ∠=︒，BOF BCD ∴∆∆∽，∴OF BO CD BC =，∴568=OF ，解得，154OF =， 四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90A ∠=︒，EDO FBO ∴∠=∠，EF 是BD 的垂直平分线，BO DO ∴=，EF BD ⊥，在DEO ∆和BFO ∆中，EDO FBO BO DO EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1522EF OF ∴==．故答案为：152．【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．25.如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接CE ，过点E 作CE 的垂线交AB 于点F ，交CD 的延长线于点G ，连接CF ．已知12AF =，5CF =，则EF =_________．【分析】由题意，先证明△AEF ≌△DEG ，则EF=EG ，12DG AF ==，利用等腰三角形的性质，求出5CG CF ==，然后得到AB=CD=92，则4BF =，利用勾股定理求出BC ，然后得到AE 的长度，即可求出FE 的长度．【解析】解：根据题意，在矩形ABCD 中，则AB=CD ，BC=AD ，∠A=∠EDG=90°，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，∵∠AEF=∠DEG ，∴△AEF ≌△DEG ，∴EF=EG ，12DG AF ==；∵CE ⊥FG ，∴5CG CF ==，∴AB=CD=19522-=，∴91422BF =-=，在直角△BCF 中，由勾股定理则3BC ==，∴AD=3，∴32AE =，在直角△AEF 中，由勾股定理则EF故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，26.如图，将矩形纸片ABCD 折叠（AD AB >），使AB 落在AD 上，AE 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将BE 边折起，使点B 落在AE 上的点G 处，连接DE ，若DE EF =，2CE =，则AD 的长为________．【答案】42+【分析】根据矩形的性质和正方形的性质，证明BEF GEF ≅△△，从而2BF FG ==，又因为)21AG FG AE EG AB ==-=-，代入求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形,AB AB '=，∴AB CD =,AD BC =,90B C ∠=∠= ,且四边形ABEB '是正方形，∴AB BE =，∴BE CD =，又∵DE EF =，∴BEF CDE ≅△△，∴2BF CE ==又∵BEF GEF ≅△△（折叠，∴2BF FG ==，BE GE =,90FGE B ∠=∠= ，设AB x =,则2AE =，∴)21AG AE GE AE BE AE AB x =-=-=-=-，又∵AE 是正方形ABEB '对角线，∴45GAF ∠= ，∴45AFG ∠= ，∴FG AG =，∴)12x -=，解得：2x =+，即2AB BE ==+，∴224AD BC BE EC ==+=++=+．故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质和判定，三角形全等等相关知识点，根据题意找到等量关系转换是解题的关键．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到5CG CF ==．27.如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，点F ，G ，H 分别是BE ，BC ，CE 的中点，3AF =，则GH 的长为________．【答案】3【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．【详解】∵在矩形ABCD 中，∠BAE=90°，又∵点F 是BE 的中点，3AF =，∴BE=2AF=6，∵G ，H 分别是BC ，CE 的中点，∴GH 是BCE 的中位线，∴GH=12BE=12×6=3，故答案是：3．【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．28.如图，在矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．【答案】2或83【分析】可分两种情况：①ABP PCQ ∆≅∆得到BP CQ =，AB PC =，②ABP QCP ∆≅∆得到BA CQ =，PB PC =，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解析】解：①当BP CQ =，AB PC =时，ABP PCQ ∆≅∆，8AB cm = ，8PC cm ∴=，1284()BP cm ∴=-=，24t \=，解得：2t =，4CQ BP cm ∴==，24v ∴⨯=，解得：2v =；②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆，PB PC = ，6BP PC cm ∴==，26t ∴=，解得：3t =，8CQ AB cm == ，38v ∴⨯=，解得：83v =，综上所述，当2v =或83时，ABP ∆与PQC ∆全等，故答案为：2或83．【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．29.已知：如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，120,2BOC AB ∠=︒=．（1）求矩形对角线的长．（2）过O 作OE AD ⊥于点E ，连结BE ．记ABE α∠=，求tan α的值．【答案】（1）4；（2）2【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO 是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO 为等边三角形，即可求得对角线的长；（2）首先根据勾股定理求出AD ，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE ⊥AD ，则AE=12AD ，在Rt △ABE 中即可求得tan α．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形11,,22AC BD OA OC AC OB OD BD ∴=====，OA OC OB OD ∴===120,60BOC AOB ∠=︒∴∠=︒AOB ∴ 是等边三角形，2OB AB ∴==，所以24AC BD OB ===．故答案为：4．（2）在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒．AD ∴=由（1）得，OA OD =．又OE AD⊥ 12AE AD ∴==在Rt ABE △中，3tan 2AE a AB ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．30.如图，点C 是BE 的中点，四边形ABCD 是平行四边形．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）如果AB AE =，求证：四边形ACED 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C 是BE 的中点，得到AD ∥CE ，AD=CE ，从而证明四边形ACED 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE ，从而证明平行四边形ACED 是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ．∵点C 是BE 的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．31.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．32.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．33.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE=12AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF=AE2−EF2=3，于是得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OE=12AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG 是矩形，∴FG ＝OE ＝5，∵AE ＝5，EF ＝4，∴AF =AE 2−EF 2=3，∴BG ＝AB ﹣AF ﹣FG ＝10﹣3﹣5＝2．题型三正方形的性质判定及其应用34.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（）A ．1B C ．2D ．【答案】C【分析】先证明()MAO NDO ASA ，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，90AOD ∴∠=︒ON OM⊥ 90MON ∴∠=︒AOM DON∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO∠=∠=︒= ()MAO NDO ASA ∴≅ MAO NDOS S ∴= 四边形MOND 的面积是1，1DAO S ∴= ∴正方形ABCD 的面积是4，24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35.如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案．【解析】解： 四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，∵在Rt DCE V 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=，设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=，即2223(2)x x +=，解得：x =CE \=，DE CF ⊥ ，90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠，DCE CBF ∠=∠ ，CD BC =，()DCE CBF ASA ∴△≌△，BF CE ∴==故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．36.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH 的值为（）A ．32B C ．7D ．5【答案】C【分析】如图，设BH 交CF 于P ，CG 交DF 于Q ，根据题意可知BE=PC=DF ，AE=BP=CF ，根据2AE BE =可得BE=PE=PC=PF=DF ，根据正方形的性质可证明△FDG 是等腰直角三角形，可得DG=FD ，根据三角形中位线的性质可得PH=12FQ ，CH=QH=CQ ，利用ASA 可证明△CPH ≌△GDQ ，可得PH=QD ，即可得出PH=13BE ，可得BH=73BE ，利用勾股定理可用BE 表示长CH 的长，即可表示出CG 的长，进而可得答案．【详解】如图，设BH 交CF 于P ，CG 交DF 于Q ，∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD ，∴BE=PC=DF ，AE=BP=CF ，∵2AE BE =，∴BE=PE=PC=PF=DF ，∵∠CFD=∠BPC ，∴DF//EH ，∴PH 为△CFQ 的中位线，∴PH=12QF ，CH=HQ ，∵四边形EPFN 是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD ⊥DF ，∴△FDG 是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC ，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF ，∴∠DGQ=∠PCH ，在△DGQ 和△PCH 中，GDQ CPH DG PC DGQ PCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DGQ ≌△PCH ，∴PH=DQ ，CH=GQ ，∴PH=13DF=13BE ，CG=3CH ，∴BH=BE+PE+PH=73BE ，在Rt △PCH 中，CH==103BE ，∴BE ，∴773CG BH BE ==．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．37.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AC 上，BF EF ⊥，1CE =，则AF 的长是（）A．BCD．54【答案】B【分析】过F 作AB 的垂线分别交,AB CD 于,N M ,由BF EF ⊥，证明MFE NBF △≌△，设ME FN x ==，根据4MN =，求得x ，在Rt AFN 中，利用勾股定理即可求得AF ．【解析】如图，过F 作AB 的垂线分别交,AB CD 于,N M ，四边形ABCD 是正方形，90ABC BCD BNM ∴∠=∠=∠=︒，4AB BC CD ===，∴四边形CMNB 是矩形，4MN BC ∴==，CM BN =，BF EF ⊥ ，90EFB FNB ∴∠=∠=︒，FBN NFB NFB EFM ∴∠+∠=∠+∠，FBN EFM ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，45ACD ∴∠=︒，45MFC MCF ∴∠=∠=︒，MF MC NB ∴==，在MEF 和NFB 中，。

专题跟踪突破5 简单的全等、相似及特殊四边形(针对广西中考全等、相似及特殊四边形问题)1．(2016·怀化)如图，已知AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB ≌△BCA ；(2)OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．(1)证明：∵在△ADB 和△BCA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA (SSS )(2)解：OA ＝OB ，理由是：∵△ADB ≌△BCA ，∴∠ABD ＝∠BAC ，∴OA ＝OB2．如图，点C 是线段AB 上一点，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接AE ，BD ，设AE 交CD 于点F.(1)求证：△ACE ≌△DCB ； (2)求证：△ADF ∽△BAD.解：(1)∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ＝120°，∴△ACE ≌△DCB (SAS ) (2)∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAE ＝∠CDB.∵∠ADC ＝∠CAD ＝∠ACD ＝∠CBE ＝60°，∴DC∥BE ，∴∠CDB ＝∠DBE ，∴∠CAE ＝∠DBE ，∴∠DAF ＝∠DBA.∴△ADF ∽△BAD3．(2016·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，BE 与CD 交于点G.(1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD ∥EF(2)解：∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG ，∴DG CG＝DF CE ，∴CE ＝DF ·CG DG ＝4×32＝64．如图，△ABC 为等边三角形，D ，F 分别为BC ，AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE.(1)求证：△ACD ≌△CBF ；(2)点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF ＝30°.证明：(1)由△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∠FBC ＝∠DCA ，在△ACD 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠DCA ＝∠FBC ，CD ＝BF ，∴△ACD ≌△CBF (SAS ) (2)当D 在线段BC 上的中点时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，连接BE ，在△AEB 和△ADC 中，AB ＝AC ，∠EAB ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠BAD ＝60°，即∠EAB ＝∠DAC ，AE ＝AD ，∴△AEB ≌△ADC (SAS )，又∵△ACD ≌△CBF ，∴△AEB ≌△ADC ≌△CFB ，∴EB ＝FB ，∠EBA ＝∠ABC ＝60°，∴△EFB 为正三角形，∴EF ＝FB ＝CD ，∠EFB ＝60°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠EFB ＝∠ABC ＝60°，∴EF ∥BC ，而CD 在BC 上，∴EF 平行且相等于CD ，∴四边形CDEF 为平行四边形，∵D 是线段BC 上的中点，∴F 是线段AB 上的中点，∴∠FCD ＝12×60°＝30°，则∠DEF ＝∠FCD ＝30°5．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 中点，∴BM ＝12AC ，∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM(2)解：∵∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°，由(1)可知，BM ＝12AC＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝26．(2016·大庆)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：AG ＝CG ；(2)求证：AG 2＝GE ·GF.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD ，在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG (SAS )，∴∠EAG ＝∠DCG ，∴AG ＝CG(2)∵∠F ＝∠FCD ，∠EAG ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F ，∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AEG ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE ·GF7．(2016·内江)如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝CD ，∴BD ＝CD ，∴D 是BC 中点(2)解：若AB ＝AC ，则四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴∠ADB ＝90°，∴平行四边形AFBD 是矩形8．(2016·威海)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，AF ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N.(1)求证：AD ＝AF ； (2)求证：BD ＝EF ；(3)试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ABF ＝∠ACD ，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS )，∴AD ＝AF (2)证明：由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，在△AEF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD (SAS )，∴BD ＝EF(3)解：四边形ABNE 是正方形；理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝90°，由(2)知，∠EAB ＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE ＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形。