含有双时滞的脉冲泛函微分方程正周期解的存在性

有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性吕娜【摘要】Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach space E-u″(t)+a(t)u(t) =f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, where a∈C( R) was a positive ω-periodic function,f:R × Kn→K was a continuous function, and f( t,v) wasω-periodic in t, v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn, K was the positive cone,τi≥0,i=1,2,…n were constants. Un-der more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of posi-tive ω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.%研究了有序Banach空间E中二阶多时滞微分方程-u″( t)+a( t) u( t)=f( t,u( t-τ1),…,u( t-τn )),t∈R,正ω-周期解的存在性,其中：a∈C( R)是正的ω-周期函数；f：R × Kn→K 连续且 f( t,v)关于 t 为ω-周期函数；v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn；K 为正元锥；τi≥0,i=1,2,…n为常数。

在较一般的非紧性测度条件与有序条件下,应用凝聚映射的不动点指数理论,获得了该问题正ω-周期解的存在性结果。

时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。

本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。

1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。

对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。

研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。

2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。

3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。

研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。

4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。

综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。

研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。

一阶非线性时滞微分方程正周期解的存在性
徐嫚
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(038)002
【摘要】研究了非线性一阶时滞微分方程u’(t)=a(t)g(u(t))u(t)-λb(t)f(u(t-
τ(t))),t∈(-∞,+∞)正周期解的存在性,其中,λ＞0为参数,a,τ∈C(R,R)为ω-周期函数,b∈C(R,[0,+∞))为ω-周期函数,fω0b(t)dt＞0,f∈
C([0,+∞),[0,+∞)),g∈C([0,+∞),R).在函数a、g变号的情形下,运用不动点指数理论获得了正周期解的存在性结果.主要结果推广和改进了文献(H.Wang.J Diff Eqns,2004,202(2):354-366)的主要结果.
【总页数】5页(P201-205)
【作者】徐嫚
【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一阶时滞微分方程正周期解的存在性问题 [J], 翁爱治
2.一阶时滞微分方程正周期解的存在性 [J], 张露;刘瑞宽
3.一阶非线性时滞微分方程周期解的存在性 [J], 杜秋霞
4.一类非线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 [J], 姚晓洁
5.一阶奇异非线性微分方程正周期解的存在性 [J], 陈瑞鹏;李小亚
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一类具有分布时滞的高阶脉冲泛函微分方程周期解的存在性唐祯蔚;冯春华
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2011(18)3
【摘要】By using the continuation theory of coincidence degree theorem, we study a kind of high-order impulsive functional differential equations with distributed delay. Several conditions are obtained for the existence of periodic solutions of such system.%利用迭合度理论中的延拓定理讨论一类具有分布时滞的高阶脉冲微分方程周期解的存在性,得到该方程存在周期解的条件.【总页数】5页(P192-196)
【作者】唐祯蔚;冯春华
【作者单位】广西师范大学,广西桂林 541004;广西师范大学,广西桂林 541004【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类具有分布时滞的中立型泛函微分方程周期解的存在性 [J], 汪凯;鲁世平
2.一类具分布时滞的高阶泛函微分方程的周期解存在性问题 [J], 李晓静;刘敏
3.一类具有偏差变元的高阶泛函微分方程周期解的存在性 [J], 刘佳玉;覃荣存;冯春华
4.一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性 [J], 黄祖达;熊万民;贾仁伟
5.一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性 [J], 张洪彦;王奇;丁敏敏;王志杰
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理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。

对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名： 日期： 年 月 日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。

具无穷时滞的分数阶泛函微分方程可积解的存在性勾明志;张海【摘要】本文讨论了一类具有无穷时滞的非线性分数阶泛函微分方程的初值问题,利用Banach不动点定理与Schauder不动点定理分别获得解的存在性条件,并推广了有关文献中的结果。

【期刊名称】《安庆师范大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2018(024)001【总页数】5页(P12-16)【关键词】泛函微分方程;分数阶微积分;Banach不动点;Schauder不动点【作者】勾明志;张海【作者单位】安庆师范大学数学与计算科学学院,安徽安庆246133;安庆师范大学数学与计算科学学院,安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O175.1作为经典微积分的一种推广，分数阶微积分即是函数的任意阶导数与积分。

由于分数阶导数算子具有记忆和遗传的特殊性质，利用分数微积分比整数阶微积分更能精准地描述动态系统的过程，目前与分数阶有关的常微分方程的研究已成为国内外学者关注的热点问题[1-5]。

时滞是普遍存在的现象，时滞问题往往会影响系统的稳定程度和性能。

近年来，关于时滞的分数阶微分方程的研究也取得了进展[6-7]。

文献[6]利用不动点定理的方法推导出非线性分数阶泛函微分方程解的存在性条件，对整数阶常微分方程和泛函微分方程的初值问题进行了相应推广。

在文献[7]中，Benchohra等讨论了下列隐式分数阶泛函微分方程可积解的存在性，其中 0＜α＜1,f:J×B×B→R ，CDαy(t)表示 y的Caputo型α阶导数，B为拓扑空间，受文献[6-7]的启发，本文主要讨论一类更广泛的具有无穷时滞的隐式分数阶泛函微分方程可积解的存在性问题：其中0＜β≤α＜1，f:J×B×B→R，CDαy(t)表示y的Caputo型α阶导数，B为拓扑空间，yt(θ)=y(t+θ),θ∈(-∞,0]。

方程(2)中同时具有两个不同的分数导数，运用分析技巧，分别利用Banach不动点定理和Schauder不动点定理获得可积解的存在性条件，推广了文献[7]中的相应结果。

具有时滞和扩散的周期脉冲微分方程的阈值动力学具有时滞和扩散的周期脉冲微分方程的阈值动力学引言：现实生活中许多系统都含有时滞和扩散，而且这两个因素对系统的动力学行为产生着重要影响。

周期脉冲微分方程是一类重要的非线性动力学方程，研究具有时滞和扩散的周期脉冲微分方程的阈值动力学对于理解自然界的复杂现象具有重要意义。

一、具有时滞的周期脉冲微分方程周期脉冲微分方程是一类具有周期性脉冲激励的微分方程。

这类方程在描述不同领域的问题时有广泛应用，例如生物学中的神经元自激振荡和混沌现象等。

其中，时滞是指系统的响应需要一定时间才能达到激励的效应，常常在实际问题中扮演着重要角色。

这类微分方程一般可以表示为：$$\dot{x}(t)=f(x(t))+\sum_{i=1}^{m}g_{i}(x(t-\tau_{i}))-h(x(t))+I_{p}(t)$$在上式中，$f(x(t))$表示自身动力学，$\sum_{i=1}^{m}g_{i}(x(t-\tau_{i}))$表示时滞激励，$h(x(t))$表示耗散项，$I_{p}(t)$表示周期性脉冲激励。

二、扩散在周期脉冲微分方程中的作用扩散是指物质在空间中由高浓度到低浓度的传递过程。

在一些物理、生物学和化学问题中，扩散现象是普遍存在的。

在含有时滞和扩散的周期脉冲微分方程中，扩散项可以表示为：$$D\Deltax(t)=D\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}x(t)}{\partial x^{2}(h_{k})}\right)$$其中，$D$表示扩散系数，$\Delta x(t)$表示$x(t)$的二阶导数，$h_{k}$表示系统中的空间坐标。

扩散项的引入使得系统不再是简单的局部响应，而是涉及到整个空间范围内的相互作用。

这种空间上的相互作用可以产生出一系列丰富多样的动力学行为，例如波动、分化和空间模式的形成等。

三、阈值动力学阈值动力学是一种描述系统能从一种状态过渡到另一种状态的方法。