高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列(2)学案苏教版必修5

第 8 课时：§2.3 等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n n a a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、研探新知1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab ,则Gb a G =，即b G a ,,成等比数列∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ） 探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．由等比数列通项公式得：11n 11 --==n m m q a a q a a ，111q 1 ,p q p a a qa a q --==⋅， 故221m n m n a a a q +-⋅=且221p q p q a a a q +-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．2．等比数列的性质：（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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3.2数列通项公式的常见求法一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列,当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比. 1、等差数列公式例1已知等差数列｛a n ｝满足a 2=0,a 6+a 8=—10 （I)求数列｛a n ｝的通项公式； 2、等比数列公式例2。

设{}n a 是公比为正数的等比数列,12a =，324a a =+。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式,求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。

一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

二。

当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法例4、数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-,1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11例5、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++,求数列{}n a 的通项公式.2、叠乘法例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, （n+1）·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式.3、构造法当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）.具体有以下几种常见方法. （1）、待定系数法 (2）、倒数法一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式. 例7.已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+,求{}n a 的通项公式.例8、在数列｛n a }中，311=a ,并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立,令)(1*∈=N n a b nn ．（Ⅰ）求数列｛n b ｝的通项公式 ；（3）构造新数列例9、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝。

高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（1）一、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(0)q ≠．解读：1．“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；2．公比q 等于从第二项起，每一项与它前一项的比，即1()n na q n a *+=∈N 或1(2)nn a q n n a *-=∈N ，且≥，分子分母的顺序不能颠倒； 3．由等比数列的定义可得，等比数列的每一项都不能为0，公比也不能为0，即等比数列排斥0；4．如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列；5．根据等比数列的定义，我们可以判定一个数列是否是等比数列，即只需看1n n a a +或1nn aa -是否为一个与n 无关的常数．在用1nn a a -判定时，条件是2n ≥，不要误认为无法判断21a a ，其实当2n =时，211n n a aa a -=，所以这种判定方法也是严谨的． 二、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a G b ，，成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．解读：1．a G b ，，满足，即2G ab =，解得G =等比中项；2．由等比中项的定义可知一个等比数列{}n a 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前后两项的等比中项，因此，利用等比中项的定义也能证明一个数列{}n a 是否为等比数列，即证明211(2)nn n a a a n n *-+=∈N ，且·≥． 三、等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=（其中，1a 与q 均不为０）． 解读：1．已知等比数列的首项和公比，可以求得数列中任意一项；2．通项公式反映了1n a q a n ，，，之间的关系；3．在已知等比数列中任意一项及公比的前提下，使用n m n m a a q -=也可求得等比数列中任意一项．四、等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=a 可以整理为1n n a a q q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0q >，且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，而1xa y q q =·是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数1xa y q q=·的图象上一群孤立的点．同样也可以把等比数列的通项公式视为定义域为*N 或它的真子集上的一个类指数函数．五、考查方式1．考查定义：利用等比数列或等比中项的定义证明一个数列是等比数列． 2．考查性质：利用等比数列的性质求解或简化计算过程． 3．计算问题：（1）求1n n a q a n S ，，，，中的量，可根据通项公式及前n 项和公式列方程（组）求解，求解原则为“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题；（3）递推数列求通项公式问题转化为等比数列求通项公式问题；（4）应用问题．例 在等比数列{}n a 中，0n a >，且413a =，7243a =，则3132310log log log a a a +++L 的值为_________．解析：设等比数列的公比为q ．途径一：依题意得316113243a q a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．解得1121879a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．∴313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L ···．途径二：∵413a =，7243a =，∴33749aq a ==，∴ 9q =，下同途径一．途径三：∵数列{}n a 是等比数列，∴110293856471243813a a a a a a a a a a =====⨯=·····，∴31323103110329356log log log log ()log ()log ()a a a a a a a a a +++=+++L L ·· 3333log 81log 81log 81log 815420=+++=⨯=．途径四：设3log n n b a =，则数列{}n b 是等差数列，其中431log 13b ==-，73log 2435b ==，1210475()5420b b b b b +++=+=⨯=L ∴． 故3132310log log log 20a a a +++=L ．评注：途径一是常规解法，利用了等比数列的通项公式；途径二直接利用了性质；途径三综合利用了性质；途径四利用了与等差数列有关的性质．由此可以看出，在解决等比数列问题时，抓住性质可以快速、巧妙的进行求解．高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（2）一、等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的前n 项和公式为111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，解读：1．当1q ≠时，求和公式有两种形式，要注意它们的适用情况；2．等比数列的前n 项和公式可视为分段函数，在解答相关含参数数列求和时，1q =的情形往往被忽略，这一点请同学们谨记；3．我们不但要记住前n 项和公式，还要弄清前n 项和公式的推导过程． 二、等比数列的前n 项和的性质设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和．1．当1q ≠时，111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----，可以看作n n S kq k =-（k 是不为0的常数），特点为n q 的系数和常数项互为相反数，根据这一点我们可以利用待定系数法求等比数列的前n 项和；2．k S ，2k k S S -，32k k S S -，…（0k S ≠）成等比数列，公比为kq ；3．当1q ≠时，11n n mm S q S q-=-（注：0mq -≠）． 三、等比数列前n 项和公式的推导课本中用两种方法推导了等比数列的前n 项和公式，我们要掌握如何巧妙地运用等比数列的定义或性质推出其前n 项和公式．下面我们用另外两种方法来推导等比数列的前n 项和公式．1．等比定理法若1q =，则1n S na =；若1q ≠，由等比数列的定义知3241231n n a a a a q a a a a -=====L (2)n ≥，所以2341231n n a a a a q a a a a -++++=++++L L ，即1n n n S a q S a -=-，解得11n n a a qS q-=-(2)n ≥．当1n =时，11S a =也适合此式．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，．2．恒等变形法121121()n n n S a a a a q a a a -=+++=++++L L 1()n n a q S a =+-．当1q ≠时，11n n a a qS q-=-；当1q =时，1n S na =．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，四、考查方式1．考查性质等比数列的前n 项和的三个性质都是考查的热点． 2．计算问题（1）等比数列有1a ，q ，n a ，n ，n S 五个基本量，根据通项公式与前n 项和公式可列两个方程，因此，这五个量可“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题．例 记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，则公比q =________．解法一：设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则有414818(1)11(1)17.1a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得2q =±．解法二：∵数列{}n a 是等比数列，∴可设nn S kq k =-，依题意，得4488117S kq k S kq k ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，，解得2Q =±．解法三：∵数列{}n a 是等比数列，∴数列4S ，84S S -，…是等比数列，公比为4171161q -==， ∴2q =±．解法四：∵数列{}n a 是等比数列，∴88441171S qS q-==-，解得2q=±．评注：解法一是基本解法，解法二是依据性质1来解答的，解法三是依据性质2来解答的，解法四是依据性质3来解答的，显然运用性质的解法都比基本解法计算简单．。

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等比数列教学过程 一、复习回顾师：前面我们已经学习了有关等差数列的有关知识，请一位同学来回答一下等差数列的定义的文字语言是什么？生：如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。

师：等差数列的定义的数学表达式是什么？ 生：*+∈=-N n d d a n )(a 1n 为常数 师：等差数列的通项公式是什么？ 生：d n a )1(a 1n -+= 二、新知探究（一）等比数列的定义 1.情境引入师:学完等差数列后，有学生问我:“老师，既然研究了差,我们是不是还要研究等和数列，等积数列，等商数列呢?我充满了好奇！”请问如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“和”都等于同一个常数，请同学们举例子. 生： 生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“积”都等于同一个常数,请同学们举例子。

生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“比”都等于同一个常数,请同学们举例子.生：生：问题5。

所谓的“等和数列”，“等积数列”,“等比数列”三者中,哪种更具有研究价值呢？生：生：我们的生活中“等比数列”的例子很多，如商品打折，银行存款等。

2.探究新知师：探究,类比等差数列定义同桌之间互相讨论，总结等比数列定义的文字语言。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案（学生版）苏教版必修5【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q （,q ≠0） ⑵ 隐含：任一项⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵ 3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且 5．证明数列为等比数列： ⑴定义：证明=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１； （２）０，１，２，４，８； （３）1，，，，. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5， ，，.听课随笔2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{}na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.【证明】【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n 等于___ __.3．已知等比数列{a n }的公比q =－,则=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .2019-2020年高中数学第二讲参数方程本讲小结新人教A版选修4-4一、基本内容简介1．参数方程．2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程： (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 普通方程：y －y 0＝tan α(x －x 0)或x ＝x 0.t 的几何意义：直线l 上任一点P (不同于M 点)为终点，M 为起点的有向线段MP 的长度．(2)以原点为圆心，半径为r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2＋y 2＝r 2.(3)中心在原点，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．(4)中心在原点，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点在x 轴上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(5)顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向右且焦点到准线的距离为p 的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0，t 为参数)． 普通方程：y 2＝2px (p ＞0)． (6)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)． (7)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)． 3．直线参数方程的一般形式及应用：过定点M (x 0，y 0)的直线l 的一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，其中t 为参数，a 、b 为常数且满足a 2＋b 2≠0.当a 2＋b 2＝1时，t 才具有几何意义．①求直线l 被二次曲线f (x ，y )＝0截得的弦长|PQ |. 将直线l 的参数方程代入曲线方程得到关于t 的二次方程：At 2＋Bt ＋C ＝0(A ≠0)， 则|PQ |＝a 2＋b 2·B 2－4AC|A |.②普通方程：当a ＝0时，x ＝x 0； 当a ≠0时，y －y 0＝b a(x －x 0)． 二、学习参数方程重点注意的几点1．关于参数方程的学习，首先要正确理解曲线的参数方程的概念，注意掌握课本中讲到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程．2．由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握，因此要善于消去参数，把参数方程化为普通方程，进而可以再研究曲线的几何性质．消去参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用消参的手段．3．参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x，y)中的x和y分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y，转化为t的方程或t的函数问题了．4．参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参．5．参数既是刻画变化状态的工具，又是揭示问题中内在联系的媒介，确立参数思想是提高数学能力的重要环节，一些解析几何问题，适当地引进参数后，问题的难度明显降低．但参数方程只是曲线方程多种形式的一种，利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处，但也不是任何问题参数法就比其他解法优越，因此，复习中应要求恰当，既不能简单处理，也不宜要求过高．在求动点轨迹方程的综合问题中，常用参数法．其步骤为：(1)选参数并确定参数的取值范围；(2)建立参数与x、y的函数关系；(3)消参数并整理得普通方程．6．在选择参数时，要注意以下几点：(1)参数应与动点坐标x、y有直接关系，且x、y便于用参数表示．(2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化．(3)对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x、y取值范围的制约．(4)若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程．7．提高利用转化解题的意识．建立曲线方程时，可先引入参数，建立起参数方程，再化为普通方程；同样地，在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时，又往往化为普通方程来求解．这一转化过程能降低解题难度，是一个有效的过程，在解题时应善于应用．。

数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，也是研究离散现象常见的数学模型．在我们的日常生活和科学研究中，会遇到如存款利息、购房贷款、资产折旧、人口增长、放射性物质的衰变等问题，它们都可以运用数列模型抽象为数学问题并予以解决．在数学及其发展过程中，数列占有重要的地位．学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义．一、本章设计意图本章以现实问题为背景，体现了“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”的教学过程．通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数（实际上，数列可以看作由列表法给出的函数）．等差数列和等比数列是数列的两个基本模型． 从等差数列与等比数列的定义入手，通过探索它们的性质和有关的一些基本数量关系（如等差数列中，n a n d a ,,,1与n S 之间的数量关系；等比数列中，n a n q a ,,,1与n S 之间的数量关系）以及这两种数列模型的应用，让学生进一步体会数列的特征和研究数列的基本方法．因此等差数列和等比数列是本章的重点教学内容．本章教材突出了数列和函数的内在联系．数列是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数（“离散型”函数），数列的通项公式则是相应函数的解析式．实际上，等差数列是一次型函数，等比数列是指数型函数．数列具有函数的一般性质，也可以研究它的单调性、最值等，但它没有奇偶性．由于数列（作为函数）的定义域的特殊性，使得数列可以通过“递推”的方式确定，这是数列不同于一般函数的基本特点．教材中虽然没有给出“递推”的概念，但在等差数列和等比数列的定义及求通项公式的过程中渗透了“递推”的思想．在本章的教学中，不宜将数列有关递推的内容进行拓展． 本章内容的设计，注意突出数学思想方法．除了对数列概念的介绍充分体现了函数的思想，在探索数列的性质以及公式的推导和应用中，突出了特殊到一般的归纳思想、一般到特殊的演绎思想；在等差数列、等比数列的研究中运用类比思想；在有关等差数列、等比数列的计算中突出方程思想等．例如在等差数列前n 项和公式的推导及应用中，先从特殊的计算钢管总数的方法过渡到一般等差数列求和的方法，再应用获得的公式解决一些实际问题；运用类比于函数的概念、性质、表达式，可以得到对等差数列和等比数列相应问题的研究；运用类比于等差数列的通项、性质，可以得到对等比数列相应问题的研究．教材中对等差数列、等比数列前n 项和公式的推导，实际上提供了一种数列求和的算法．前者通过对钢管总数的计算获得“逆序求和”的算法，并给出这一算法的几何解释．后者运用消元思想，获得“错位相减”的算法．教材重视信息技术与相关知识的整合，如利用Excel中丰富的财务函数，进行有关投资或贷款等方面的计算、作出数列的图象等，让学生感受现代技术手段在数学中的作用，促进数学学习，帮助学生认识数学的本质．在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．二、本章教学要求本章中，我们将通过对日常生活中大量的实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；3．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．在探索和推导公式的过程中，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会特殊到一般，一般到特殊的思想方法．在应用公式的过程中，要求学生能熟练的运用方程思想进行计算并解决有关问题；4．体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；5．能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能用有关知识解决相应的问题；6．通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础．三、本章教学建议在教学中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索过程．根据学生的具体情况，可以引导学生对教材中有关等差数列、等比数列的基本数量关系的问题，作相应的拓展．通过有关习题的解决，可以探索等差数列与等比数列的一些简单性质．这种已有资源的挖掘和拓广，对学生自主性学习能力的培养是十分重要的．在本章教学中，要重视对学生从实际问题中抽象出数列模型能力的培养，通过必要的练习，掌握等差数列、等比数列中的基本数量关系，但训练要控制难度和运算的复杂程度．本章所配备的例题和习题中，有许多来源于古代数学和现代数学中的素材，如“正方形筛子”、“三角形数”、“雪花曲线”等，也有来自于现实生活情景的题目，有些问题体现了数学文化价值，如第七届国际数学教育大会会徽，斐波那契数列等．教学中要注意加强与实际生活的联系，同时也可以利用这些内容提高学生对学习本章内容的兴趣，调动学习积极性．本章的教学大约安排12课时，具体如下： 2.1 数列的概念与简单表示约2课时 2.2 等差数列约4课时 2.3 等比数列约4课时 本章复习与小结约2课时四、 拓展资料1. 数列的通项公式．通项公式是数列中一种重要的表示法． 数列与函数的解析式一样，不是每个数列都可以写出它的通项公式，如素数数列就写不出它的通项公式． 对于有限项的数列，一定可以写出它的通项公式．例如，已知数列的前5项为 0,0,0,0,7．写出这个数列的一个通项公式．若选取多项式函数表达这个数列的通项公式，常用如下的方法求解：方法一 设这个数列的通项公式为 54233241k n k n k n k n k a n ++++=，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ．将n = 1, 2, 3, 4, 5分别代入上式，可得关于54321,,,,k k k k k 的一次方程组． 解这个方程组，得这个数列的通项公式为.)24503510(247234+-+-=n n n n a n 方法二 由,7,054321=====a a a a a 于是，这个数列的通项公式可以表示为)45)(35)(25)(15()4)(3)(2)(1(7--------⋅=n n n n a n ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ．化简后，得这个数列的通项公式为)4)(3)(2)(1(247----=n n n n a n ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ． 上述两种方法中，方法一采用待定系数法，对于所选取的不是多项式类型的函数也同样适用；将方法二的结论推广为一般形式，可以得到，若已知数列的前k 项为,,,,21k a a a Λ则这个数列的通项公式可以表示为)]1([)2)(1()]1([)2)(1()2()32)(12()()3)(1()1()31)(21()()3)(2(21--------⋅++------⋅+------⋅=k k k k k n n n a k k n n n a k k n n n a a k n ΛΛΛΛΛΛΛ，其中n = 1, 2,…, k ．实际上，这个结论就是著名的拉格朗日（Lagrage 1736 — 1813）内插公式．由此，我们证明了结论“有限项的数列，一定可以写出它的通项公式”的正确性．在实际工作中，当我们考察某两个变量之间的关系时，若能测得它们变化的一组数据．运用拉格朗日（Lagrage 1736 — 1813）内插公式，可以得到关于这两个变量之间变化关系的一个经验公式（多项式型函数）．更精细的研究，将涉及如何选择函数的类型以及回归直线理论等．2. 斐波那栔数列的通项公式．斐波那栔数列是由一对兔子繁殖而引发出来的一个有趣的数学问题． 它与我们熟知的黄金分割、优选法等都有着密切的联系． 这对兔子的繁殖问题是：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生出小兔，此后每个月生一对小兔． 如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？由此得到斐波那栔数列：1,1,2,3,5,8……，一般的有)(*12N n F F F n n n ∈+=++． 下面运用化归思想给出求它的通项公式的一个方法，即由原数列构造等比数列}{1n n pF F -+，其中R p ∈．斐波那栔数列的递推公式可以改写为R q p pF F q pF F n n n n ∈-=-+++,)(112，则⎩⎨⎧-==+,1,1pq q p 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.251,251q p （取一组解） }{1n n pF F -+Θ是等比数列，.)1()(11121n n n n n q q p q pF F pF F =-=-=-∴--+ ,,)(,)(,)(11221232332122---------=-=-=-=-n n n n n n n n n n q pF F pq pF F p q p pF F p q p pF F p ΛΛΘ.1])(1[11122111p q q p q qp q p q q p pq q F p F n n n n n n n n n --=--=+++=-∴-------Λ 化简得 .11qp q p p q q p q p F nn n n n n --=--+=-- 于是得到斐波那栔数列的通项公式为 ].)251()251[(51n n n F --+=。