高一下学期数学试卷

深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 设a不等于0，则关于x的一次方程ax+b=0（）。

A. 无解B. 有唯一解-x/bC. 有无数解D. 无法确定2. 如果root(5)x = root(20)，则x的值为（）A. 1/2B. 2C. 4D. 163. 下列关于集合的说法错误的是（）。

A. 空集也是集合B. 集合中元素的排列顺序可以更改C. 集合中不允许重复的元素D. 所有元素都是集合的子集4. 已知函数f(x)=log(1-x)，g(x)=x-1，则f[g(10)-g(3)]的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 在△ABC中，∠B=90度，∠C=30度，BC=2，则AC的长为（）。

A. 1B. 3C. 2sqrt(3)D. sqrt(3)6. 当a+b=2时，下列哪组值可以是（）。

A. a=1,b=1B. a=-1,b=3C. a=0,b=2D. a=-2,b=47. 在下列选项中，属于等比数列的是（）。

A. k-5，k-3，kB. k，2k，3kC. k，k+1，k+2D. k，k^2，k^38. 关于词组“及以下”，哪项说法是错误的（）。

A. 包括本身B. 不包括本身C. 只限于本身D. 这要视题意而定9. 甲，乙，丙三个数相乘为30，已知甲+乙+丙=13，丙=1，则甲的值为（）。

A. -1B. 2C. 3D. 510. 式子x/sqrt(x^2+1)+1/sqrt(x^2+1)的值为（）。

A. 1+sqrt(x^2+1)B. 1+x^2C. 1+1/sqrt(x^2+1)D. 1/x11. 把4800元按月存入，每月存入的金额相等，月利率为1.5%，存8个月后，本息和为（）。

A. 元B. 元C. 元D. 元12. 如果正五边形的周长为20，求它的面积（）。

A. 20sqrt(5)-25B. 5sqrt(5)C. 25sqrt(5)D. 2513. 设函数f(x)=3x+2，g(x)=x^2-9，四个实数a,b,c,d满足a<b，c<d，且f(a)=f(b)，g(c)=g(d)，则（）。

华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（ ） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

1、一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为：A. 1:3B. 1:2C. 1:4D. 2:3解析：正方体的内切球半径等于正方体棱长的一半，而外接球半径等于正方体对角线的一半。

通过计算两者的表面积比，可以得出答案为A。

内切球与外接球的半径之比为1:√3，因此表面积之比为1:3。

（答案：A）2、设集合A={x|x是小于9的正整数}，B={1,2,3}，则A∩B等于：A. {1,2,3,4,5,6,7,8}B. {4,5,6,7,8,9}C. {1,2,3}D. ∅解析：集合A包含小于9的所有正整数，即{1,2,3,4,5,6,7,8}。

集合B为{1,2,3}。

两集合的交集即为它们共有的元素，所以A∩B={1,2,3}。

（答案：C）3、若a,b,c为三角形的三边，且a+b>2c，则此三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边。

题目给出a+b>2c，并不能直接判定三角形的具体类型（锐角、直角或钝角），因为这仅说明了边长关系，不足以确定角度。

（答案：D）4、已知等差数列的前n项和为Sn，若S3=6，S6=15，则S9等于：A. 24B. 27C. 30D. 36解析：等差数列的前n项和Sn满足性质：S3, S6-S3, S9-S6也成等差数列。

已知S3=6，S6=15，则S6-S3=9。

因此，S9-S6也应为9，所以S9=15+9=24。

（答案：A）5、下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 4D. 5解析：质数是只有1和它本身两个正因数的自然数，且必须大于1。

2, 3, 5都符合质数的定义，而4除了1和4本身外，还能被2整除，因此不是质数。

（答案：C）6、若一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其体积为：A. 12cm³B. 30cm³C. 60cm³D. 120cm³解析：长方体的体积计算公式为长×宽×高。

2023-2024学年河南省部分学校高一下学期联合教学质量检测数学试卷1.已知向量，，若与垂直，则实数（）A．B．C．D．2.设△的内角A，B，C所对边分别为，b，c，若，，，则（）A．B．C．或D．或3.已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（）A．B．C．D．5.抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（）A．B．C．D．6.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A．16B．17C．23D．247.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（）A ．与所成角为B ．点P 为线段的中点C ．三棱锥的体积为D ．平面截正方体所得截面的面积为9.已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（）A ．B ．C ．点是函数图象的对称中心D ．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称10.在中，内角所对的边分别为，则下列结论不正确的是（）A ．若，则B ．若，则是锐角三角形C ．若，则一定为等腰三角形D ．若，则三角形只有1解11.如图，在正方体中，，，，分别是棱，，的中点，是线段上一动点，则下列结论正确的是（）A ．平面平面B ．平面将正方体分成的两个部分的体积比为C ．是异面直线与所成的角D．三棱锥的体积为定值12.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数_________．13.已知单位向量满足，则__________.14.已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______.15.已知角，满足，，且，.(1)求的值；(2)求的大小.16.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.(1)当时，求四边形的周长；(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；(3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.17.据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为.(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；(3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围.18.为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；(3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.19.如图，平面平面是等腰直角三角形，，四边形ABDE是直角梯形，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线BO和平面所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一点，使得平面ABDE?若能，请指出点的位置，并加以证明;若不能，请说明理由．。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试高一数学试卷考试时间：2024年4月28日试卷满分：150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果a⃗ ,b⃗是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是A.a⃗=b⃗B.a⃗⋅b⃗=0C.a⃗2=b⃗2D.|a⃗|≠|b⃗|2.复数m(3+i)−(1+i)在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是A.13<m<1B.23<m<1C.23<m<56D.m>13.已知a⃗=(0,1),|b⃗|=1,|a⃗+b⃗|=√3,则a⃗与b⃗的夹角为A.π3B.2π3c.π6D.5π64.已知角α(0∘<α<360∘)终边上A 点坐标为(sin320∘,cos320∘),则α=A.230∘B.220∘C.140∘D.130∘5.若在三角形ABC 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A.−43AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.43AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ c.−43AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.43AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列结论错误的是A.函数的解析式可以为f(x)=2sin(2x+π3)B.函数y=f(x)的图像关于直线x=7π12对称C.函数f(x)在[−2π3,−π6]上单调递减D.函数y=f(x)的图像关于点(−π6,0)对称7.已知P为棱长为√6的正四面体A−BCD各面所围成的区域内部(不在表面上)一动点,记P到面ABC,面ACD,面BCD,面ABD的距离分别为h1,h2,h3,h4,若h3+h4=1,则12h1+4h2的最小值为A.2B.252c.9+4√22D.12+4√28.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,a=4,且2S= a2−(b−c)2,则△ABC的周长的取值范围是A.(8,4√5+4]B.(12,2√5+2]C.(8,2√5+2]D.(12,4√5+4]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列等式成立的是A.sin 26∘−cos 26∘=cos12∘B.sin600∘=−√32C.sin6∘−cos6∘=−√2sin39∘D.√3−tan15∘1+√3tan15∘=√3310.在平面直角坐标系中,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ 且a ⃗ 为单位向量,满足a ⃗ ⋅b⃗ =2,a ⃗ ⋅c ⃗ =12,则下列结论正确的有 A.|a⃗ |=1 B.c ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为12a ⃗ C.向量b ⃗ −a ⃗ 与a ⃗ 的夹角正切值最大为√24D.若向量b ⃗ −a ⃗ 与c ⃗ −a ⃗ 垂直,则|b ⃗ −2a ⃗ +c ⃗ |≥32 11.如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 中点,如图,点P 是以AB 为直径的半圆上任意点;AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列结论正确的有A.λ最大值为1B.μ最大值为1C.AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最大值是2 D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大值是√5+2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为1公里,母线长为4公里,B 是母线SA 一点,且AB =1公里,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路,则这段铁路的长度为 公里.13.若sin (θ−π6)=35,则cos (2θ+8π3)= .14.英国数学家泰勒发现了如下公式:sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯cosx =1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯其中n!=1×2×3×4×⋯×n(1)cos1= (1分)（2）已知在△ABC 中,A =2,边BC =2,则△ABC 面积的最大值为 (4分) (以上两空均用小数作答,且精确到0.001)四、解答题:本题共5小题,共77分。

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又 当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。