2020高中数学必备二导学案：第三章第三节两条直线的交点坐标

第三章第三节两条直线的交点坐标三维目标1．会求订交直线的交点坐标；2．能依据二元一次方程组解的状况判断两条直线的地点关系；3．理解，概括出过定点直线系方程。

目标三导学做思 1问题 1. 先填写以下表格，而后概括：几何元素及关系代数表示点 A A （a， b）直线 l l ：Ax+By+C=0点 A 在直线l上* 概括：用代数直线 l 1与 l 2的交点A线的交点坐________________________________ _ ________________________ _方法求两条直标，只需问题 2.依据上述方法，请试试求出订交直线x + y=3 与 x - y=1 的交点坐标 .问题 3.若直线l1：A 1 x+B 1y +C 1 =0,A1x B1 y C10 l 2：A2x+B2y+C2=0，怎样依据方程组B2 y C20A2 x的解的状况判断这两条直线的地点关系？问题 4.试依据上述方法判断以下各对直线的地点关系(1)l 1：2x-3y-7=0;l2：4x+2y-1=0;(2)l 1：2x-6y+4=0;l2x2： y;33(3)l1： ( 2 1 )x+y=3;l2：x+ ( 2 1 )y =2;问题 5.当变化时，方程3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示什么图形，图形有何特色？【思虑】不论 m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，恳求出定点的坐标 .【学做思2】1.求经过两直线l1：x－3y＋4＝0和 l 2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程.【变式】求过两直线3x＋ y－ 5＝ 0 与 2x－ 3y＋ 4＝ 0 的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．2. 若直线l1：ax y 1 0和 l2： x y a 0 的交点落在第二象限，求 a 的取值范围 .【变式】若直线l1：x＋my＋6＝0和 l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0订交，求m的取值范围.达标检测1．在直线 3x－ 4y－ 27＝ 0 上到点 P(2,1)距离近来的点的坐标是()A ． (5，－ 3)B． (9,0)C． (－ 3,5)D ． (－ 5,3)2.过直线 2x－ y＋ 4＝ 0 与 x－ y＋ 5＝ 0的交点，且平行于直线x－ 2y＝ 0 的直线的方程是 ()A ．x－ 2y＋11＝0B ．2x－ y－ 1＝ 0C． x－ 2y＋ 8＝ 0 D ．2x－ y＋ 8＝ 03.直线 ax＋ 3y－12＝ 0 与直线4x－ y＋ b＝ 0 垂直，且订交于点P(4，m)，则 b＝ ________.4.已知直线 l ：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R),则直线 l 过定点____________.5.已知直线 l1：x＋my＋6＝0和 l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，（1）若l1//l2，求 m 之值；（2）若l1与l2重合，求 m 之值 .。

章节3.3.1 课题两条直线的交点坐标教学目标1.会根据方程组解的情况判断两条直线的位置关系；2.会由两条直线的位置关系求直线方程中的参数值；3.会求两条直线的交点坐标，并理解交点直线系的意义；教学重点根据方程组解的情况判断两条直线的位置关系教学难点理解交点直线系的意义及定点问题【复习回顾】如何用代数方法求二元一次方程组237421x yx y-=⎧⎨+=⎩的解?课前预习案【新知探究】探究一、两条直线交点的坐标问题1：几何元素及其关系怎样用代数形式表示？几何元素及其关系代数表示点A A（a，b）直线l点A在直线l上直线1l与2l的交点是A问题2：已知两条直线1111:A B C0l x y++=，2222:A B C0l x y++=相交，如何求交点的坐标？探究二、判断两条直线的位置关系问题3：已知直线1111:A B C0l x y++=，直线2222:A B C0l x y++=，如何判断这两条直线的关系？新知1：若二元一次方程组有解，则1l与2l相交；若二元一次方程组，则1l与2l平行；若二元一次方程组有解，则1l与2l重合。

◆◆说明：在平面几何与立体几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．例题2.求证：不论m 取何值，直线 (m -1)x +(2m -3)y =m -5都经过一个定点，并求这个定点的坐标. 例题3.两条直线和的交点在第四象限,则实数k 的取值范围是课后达标案【达标检测】A 组1.过原点和直线与的交点的直线的方程为( ) A.B.C.D.2.已知直线1:30l Ax y C ++=，2:2340l x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） （A ）4 （B ）-4 （C ）4或-4 （D ）与A 的取值有关3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 （ ）（A ）(1, －21) （B ）(－2, 0) （C ）(2, 3) （D ）(－2, 3)4.已知点P(－1, 0), Q(1, 0), 直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 A.[－2, 2] B.[－1, 1] C.[－21, 21] D.[0, 2] 5.若直线1:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则k 的取值范围是 。

必修2 第三章§3-3 两直线交点坐标的求法【课前预习】阅读教材P 102-104完成下面填空1.点A （a ,b ）在直线L ：A x +B y +C=0上,则满足条件:2.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.3.方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.4.对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔.5.已知两直线12,l l 的方程为1l :1A x +1B y +1C =0,2l :2A x +2B y +2C =0,则两直线的位置关系如下⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔ .【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1.直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是( )A. (2,1)-B. (3,2)-C. (2,1)-D. (3,2)-2.两直线1:1)2l x y +=,2:1)3l x y +=的位置关系是( )A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为 ( ）.A. 1B. －1C. 2D. －24. 若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则m = ．强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.6. 求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.7.已知直线1l :3mx+8y+3m-10=0 和 2l :x+6my-4=0 问 m 为何值时: （1）.1l 与2l 相交;（2）.1l 与2l 平行;（3）.1l 与2l 垂直;8. 过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线1l 2x+y-8=0和2l x-3y+10=0所截得的线段被点P 平分的直线的方程.9. 试求直线1:l x -y -2=0关于直线2l :3x -y +3=0对称的直线l 的方程.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．两条垂直的直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0的交点坐标是 . 2.与直线3450-+=关于x轴对称的直线的方程是( )x yA. 3450x y++=x y+-= B. 3450C. 3450--=x yx y-+= D. 34503. 若直线l：y＝kx2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是.该直线的倾斜角的取值范围是.4. 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程.5. 已知直线(2)(31)1-=--. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.a y a x。

3．3.1 两条直线的交点坐标1．了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解． 2．会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．两条直线的交点坐标(1)求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两条直线的__________判断两条直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当方程组________解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组____解时，l 1与l 2平行；当方程组________解时，l 1与l 2重合．若两个直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能重合． 【做一做1】 直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,1) D ．(2,2)【做一做2】 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当l 1与l 2平行时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案：(2)交点个数 有惟一 无 有无数组 【做一做1】 A 【做一做2】 A1．利用直线方程的一般式，判断两条直线的位置关系 剖析：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.利用直线平行或垂直时，斜率之间的关系，可以得到如下结论：(1)l 1∥l 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2；l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1(或B 1C 2≠B 2C 1).(2)l 1与l 2相交A 1A 2≠B 1B 2；l 1与l 2相交A 1B 2≠A 2B 1.(3)l 1与l 2重合A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2；l 1与l 2重合⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，B 1C 2＝B 2C 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．直线系方程剖析：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．直线系方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定系数(也称参变量)．(1)共点直线系方程：经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线A x ＋B y ＋C ＝0平行的直线系方程是A x ＋B y ＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与A x ＋B y ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是B x －A y ＋λ＝0.(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系方程：当斜率k 一定而m 变动时，y ＝kx ＋m 表示斜率为k 的平行直线系，y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x ＝x 0)．在求直线方程时，可利用上述直线系方程设出方程，再利用已知条件求出待定系数 ，从而求出方程．3．直线恒过定点问题剖析：当直线的方程中含有未知参数时，随着参数的变化，直线也发生变化，这些直线组合在一起，构成直线系，它们通常具有相同的某一特征．如果直线系恒过定点，可用分离参数法和赋值法进行求解．如直线(2＋m)x －(1＋2m)y ＋(1＋5m)＝0，其中m ∈R ，我们可以将所给方程的左边分成两部分，一部分含m ，另一部分不含m ，即(2x －y ＋1)＋m(x －2y ＋5)＝0，然后由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x －2y ＋5＝0，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，这样就能得到不管m 如何变化，直线一定经过的定点(1,3)，这种方法称为分离参数法．也可根据m 的任意性，给m 取两个特殊值，如令m ＝0，得2x －y ＋1＝0，令m ＝1，得3x －3y ＋6＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，3x －3y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，得到直线恒过的定点(1,3)，这种方法称为赋值法．这两种方法的依据都是恒过的定点一定是其中两条直线的交点，解方程组即得交点坐标．题型一：判断两条直线的位置关系【例1】 判断直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：2x －2y ＋3＝0的位置关系，如果相交，求出交点坐标．反思：可以利用两个直线方程组成的方程组解的个数来判断两条直线的位置关系．当方程组无解时，两条直线平行；当方程组仅有一解时，两条直线相交；当方程组有无数组解时，两条直线重合．题型二：已知两条直线的位置关系求参数的值【例2】 已知直线l 1：x ＋m y ＋6＝0和直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，试分别求实数m 的值：(1)l 1⊥l 2 (2)l 1∥l 2 (3)l 1与l 2重合 (4)相交．反思：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1＝0，A 1C 2＝A 2C 1时，l 1与l 2重合； 当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1≠0时，l 1∥l 2； 当A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2； 当A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交．题型三：易错辨析易错点 对两条直线平行的条件把握不准确【例3】 直线l 1：3x ＋2＝0，直线l 2：4x －5＝0，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．异面 错解：直线l 1的方程中，A 1＝3，B 1＝0，C 1＝2，直线l 2的方程中，A 2＝4，B 2＝0，C 2＝－5，则A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，于是l 1与l 2重合，故选C.错因分析：错解中忽视了验证A 1C 2－A 2C 1的值是否等于0.反思：当A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，A 1C 2－A 2C 1＝0时，l 1与l 2重合．当然本题借助于图形来解最简单．答案：【例1】 解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x －2y ＋3＝0，得x ＝－2，y ＝－12，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－12. 【例2】 解：(1)由题意得1×(m －2)＋m ×3＝0，解得m ＝12.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6≠0，解得m ＝－1.(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6＝0，解得m ＝3.(4)由题意得1×3－m (m －2)≠0，解得m ≠－1且m ≠3. 【例3】 A1．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)2．已知两条直线l 1：a x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0.若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是__________．3．直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__________.4．判断直线l 1：3x ＋2y －2＝0与直线l 2：x －2y －3＝0的位置关系．如果相交，求出交点坐标．5．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．答案：1．B 2.a ≠2 3.－2或－234．解：解方程组3220,230,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得x ＝54，y ＝－78.所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为57,48⎛⎫-⎪⎝⎭. 5．解：由方程组2330,20,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得3,57.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得 y －75⎛⎫-⎪⎝⎭＝－335x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.。

课堂导学三点剖析一、求两直线的交点坐标【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路分析：可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程. 解法一：由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++=--.57,5302,0332y x y x y x 得∵直线l 和直线3x+y-1=0平行，∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］, 即所求直线方程为15x+5y+16=0.解法二：∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴可设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ, 解之，得λ=211.从而所求直线方程为15x+5y+16=0. 温馨提示1.求两直线的交点坐标就是两直线方程组成的方程组的解.2.求过两直线交点的其他直线方程：方法一：求出两直线的交点坐标，再根据其他条件求之.方法二：利用过两直线交点的直线系方程：过两直线a 1x+b 1y+c 1=0和a 2x+b 2y+c 2=0的交点的直线方程为（a 1x+b 1y+c 1）+λ(a 2x+b 2y+c 2)=0,λ∈R 但此直线不包括a 2x+b 2y+c 2=0.各个击破类题演练1已知两点A （-2，1）、B （4，3），求经过两直线2x-3y+1=0和3x+2y-1=0的交点和线段AB 中点的直线l 的方程. 解法一：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=+-.135,1310123,0132y x y x y x 得 ∴交点坐标为（135,131）.又线段AB 中点坐标为（1，2）， ∴由两点式1131121352--=--x y ,得l 的方程为7x-4y+1=0.解法二：设l 方程为2x-3y+1+λ(3x+2y -1)=0，又线段AB 的中点为（1，2），l 过（1，2）,∴2×1-3×2+1+λ(3×1+2×2-1)=0.解得λ=21，故l 方程为7x-4y+1=0. 变式提升1若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程.解析：由于已知两直线在y 轴上的截距不是互为相反数，所求直线不是y 轴，设所求直线的方程为y=kx ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎩⎨⎧=++=,536,5360653,,46,46064,k k y k x y x kx y k k y k x y x kx y 得又由得 由题知k k 53646-++-=0， ∴k=61-. ∴所求直线方程为x+6y=0.二、利用直线的位置关系以及交点求法解决对称问题【例2】 求点A(-2,3)关于直线l:3x-y-1=0对称的点A′的坐标.思路分析：两点关于一条直线对称的几何特征是垂直且平分.解法一：写出AA′的方程，求出AA′与l 的交点，转化为点的对称问题.由题意，设A′(x 0,y 0),直线AA′的方程为y-3=31-(x+2)，与3x-y-1=0联立方程组得⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-.2,1,013),2(313y x y x x y 解得 ∴直线AA′与l 的交点坐标为P(1,2).∵A,A′关于l 对称，也关于P 对称, ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.1,4,223,1220000y x y x 解得∴点A 关于l 的对称点为A′(4,1).解法二：写出AA′的垂直平分线的方程，利用它与l 重合，求出A′的坐标.设所求点A′(x 0,y 0)，这样线段的垂直平分线的方程是 y-)22(32230000---+-=+x x y x y . 经整理得2(x 0+2)x+2(y 0-3)y-(x 02+y 02-13)=0,此方程即为直线l 的方程.于是1131)3(23)2(2202000-+=--=+y x y x 2， 解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,21,40000y x y x 或 ∴点A 关于l 的对称点为A′(4,1).解法三：利用AA′⊥l ，且AA′的中点在l 上得到两个方程，解出A′的坐标.设A′(x 0,y 0),由题意，得 ⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--⨯-=⨯+-.1,4,0123223,1323000000y x y x x y 解得 ∴点A 关于l 的对称点为A′(4,1).类题演练2试求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0对称的直线l 的方程.解析：在l 1上任取点P （x 1,y 1）(Pl 2),设点P 关于l 2的对称点为Q （x′,y′）,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'+'-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙-'-'=+'+-'+∙.5343,5934.13,03223111111x y y x x x x y y y y x x 解得 又点P 在l 1上运动，∴x 1-y 1-2=0. ∴53435934+'+'--'+'-y x y x -2=0, 即7x′+y′+22=0，也就是7x+y+22=0.变式提升2光线通过A （-2，4），经直线2x-y-7=0反射，若反射线通过点B （5，8）.求入射线和反射线所在直线的方程.解：设直线l ：2x-y-7=0,光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1=∠2.设A 关于l 的对称点为A′(a,b),则∠1=∠3.∴∠2=∠3.则B 、C 、A′三点共线.∵A′A ⊥l,且AA′中点在l 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙+-=-+--∙.1224,0724222a b b a解得a=10,b=-2,即A′(10,-2).∴直线A′B 的方程为y+2=10528-+(x-10), 即2x+y-18=0. ∴直线A′B 与l 的交点为C （211,425）. ∴入射线AC 的方程为y-4=42522114---(x+2), 即2x-11y+48=0.∴入射线方程为2x-11y+48=0,反射线方程为2x+y-18=0.三、两直线相交问题的综合应用【例3】 试求三条直线ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0构成三角形的条件.思路分析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点.解法一：任两条直线都相交，则111,11≠≠a a a ,故a≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎨⎧=++=++0,01a y x ay x 的交点（-1-a,1）不在ax+y+1=0上即a(-1-a)+1+1≠0,a 2+a-2≠0,(a+2)(a -1)≠0,∴a≠-2,且a≠1.综上所述，此三条直线构成三条形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.若l 1,l 2,l 3交于一点，则l 1:x+y+a=0与l 2:x+ay+1=0的交点P(-a-1,1)在l 3:ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l 1∥l 2,则有a1-=-1,a=1. 若l 1∥l 3，则有-a=-1，a=1. 若l 2∥l 3，则有a 1-=-a,a=±1. ∴l 1,l 2,l 3构成三角形时a≠±1,a≠-2.温馨提示1.本题是一道研究三直线位置关系的问题，一般容易只考虑直线互不平行这一条件，而忽视三条直线不共点.2.对于问题求解时，一般容易想到直接法（如上题解法一），今后要注意当问题直接求解较困难时，可用间接法（如上题解法二）即“正难则反”.类题演练3已知三条直线l 1：y=2x,l 2:x+y-3=0,l 3:x+ay-5=0能构成直角三角形，求a 的值.解：∵l 1的斜率k 2=2,l 2的斜率k 1=-1，∴k 1·k 2≠-1.∴l 1与l 2不垂直.由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=.2,1,03,2y x x x x y 解得∴l 1与l 2的交点为A （1，2），若直线l 1、l 2、l 3能构成直角三角形，则必有l 1⊥l 3或l 2⊥l 3,且l 3不过点A ，即⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=∙-⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-=-∙-.021,1210521,1)1(1a a a a 或 解得a=-1.变式提升3已知直线l 1：3x-y+12=0和l 2:3x+2y-6=0,求l 1和l 2及y 轴所围成的三角形面积.思路分析：分别求出两直线交点A （-2，6），以及与y 轴的交点B （0，12），C （0，3），结合图形可得|BC|=9，A 到直线BC 距离为2，则可求出△ABC 的面积.解：如图，设l 1，l 2的交点为A （x a ,y a ），解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,0623,0123y x y x 得x=-2,y=6.∴x a =-2.设直线l 1,l 2与y 轴的交点分别为B （0,y b ）,C(0,y c )，求得y b =12,y c =3.∴|BC|=|y b -y c |=9.又A 点到y 轴距离为|x a |=2，∴S △ABC =21|BC|·|x a |=9. ∴l 1和l 2及y 轴所围成的三角形面积为9.。

2019-2020学年高中数学 3.6 两条直线的交点坐标导学案 新人教A版必修2学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标。

2．体会判断两直线相交中的数形结合思想.自主学习一、课前准备：（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）1．经过点(1,A -，且与直线210x y +-+垂直的直线方程是 .2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、合作探究：问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？（填好p102页的表格）问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？探究1 求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.探究2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.探究3 已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.目标检测：A 级：必做题1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.2. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24-- D ．13(,)24- 3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++=4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .B 级：选做题1.已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值2. 已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.3. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.三、学习小结：1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行。

3.3.1 两条直线的交点坐标1.学习目标:知识与技能：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。

过程与方法：通过两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

掌握数形结合的方法。

情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系。

能够用辩证的观点看问题。

2、学习重点、难点：学习重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。

学习难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。

一、课前预习单已知二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 问题1：二元一次方程组的解法有哪些？问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解说明什么？问题3：若给出两直线方程，如何求其交点坐标？二、课中探究单1. 两直线的交点坐标2. 两直线的位置关系三、考点突破 例1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：⑴ 12:5420,:220;l x y l x y +-=++=⑵1211:2630,:;32l x y l y x -+==+ ⑶1211:260,:;32l x y l y x -==+例2 求证:不论m 为何实数，直线(1)(21)5m x m y m -+-=-都过某一定点。

变式训练例3 若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=能够成三角形，则a应满足的条件是什么？三、达标检测单1.直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点的坐标为（ ）A. (4,3)--B. (4,3)C. (4,3)-D. (3,4)2.若,p q 满足21p q -=，直线30px y q ++=必过一个定点，则该定点坐标为 。

3.已知集合{}(,)2M x y x y =+=，{}(,)4N x y x y =-=，那么集合M N ⋂为( ) A. {}3,1- B. 3,1- C. (3,1)- D. {}(3,1)- 4.两直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，那么k 的值为（ ）A. -24B. 6C. 6±D.245.过两直线310x y +-=与270x y +-=的交点且与第一条直线垂直的直线方程是（ ）A. 370x y -+=B. 3130x y -+=C. 370x y -+=D. 320x y ++=6.方程(1)210()a x y a a --++=∈所表示的直线（ ）A.恒过定点(2,3)-B. 恒过定点(2,3)点和点(2,3) D.都是平行直线C. 恒过(2,3)。

数学（高二上）导学案再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0， 把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以直线：83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.要点二 两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状．解 法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB=－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形．跟踪演练2 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.(2)证明根据题意可得，|AB|＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC|＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，△ABC为等腰直角三角形．要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a ＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.跟踪演练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC 和BD. 求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.三、讨论交流点拨提升1．直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代。