二轮复习 离心率问题 学案(全国通用)

专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ．题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________.2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．7 C ．5 D ．24．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>A C P A 33412PF F △21120PF F ∠=重点题型·归类精讲利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．146．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A ．3514− B ．3314 C ．1712D ．17129．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3B 2C 21D 210．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 1511．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C ．6237D ．3237利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 52024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 615．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．53C ．64D ．10516．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C 5D ．1317．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为() A ．32B ．2C 15D ．4与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ） A 3B 5C 13 D 1519．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.3 B.3 C.5 D.521．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.2024届长郡中学月考（二）22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 .24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为ππ,126⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．6,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．61,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,3)D ．6,22⎛⎫⎪⎝⎭30．已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2B ．()1,4C ．()2,2D ．()2,431．（多选）双曲线2221y x a−=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（ ）．A ．324B ．2C ．32D ．232．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b−=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x =有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为 .33．设椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221y x a b−=，若双曲线的一条渐近线的斜率大于52，则椭圆的离心率e 的范围是 .34．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 ． 35．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1||3F A b =，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．2)B ．3)C ．(2,2)D ．(3,2)36．已知12F F ，分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭37．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭38．已知点P 为椭圆C ：()222101y x b b+=<<的上顶点，点A ，B 在椭圆上，满足PA PB ⊥且PA PB =，若满足条件的△PAB 有且只有一个，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．6⎛ ⎝⎦C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．6⎫⎪⎪⎝⎭题型三 椭圆和双曲线公共焦点问题39．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦40．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m−=>，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭41．设12,F F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b −=>>的公共焦点，曲线12,C C 在第一象限内交于点12,90M F MF ∠=，若椭圆的离心率16,13e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．(1,3⎤⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．)2,⎡+∞⎣42．设12,F F 为双曲线22122:1x y C a b−=与椭圆2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点12,P PF F 是以线段1PF 为底边的等腰三角形，若椭圆2C 的离心率范围为25,512⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则双曲线1C 的离心率取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,5]43．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．4D ．5344．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．445．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是其一个公共点，1260F PF ∠=︒，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．246．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ＞，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．247．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ） A ．43B ．433C ．4 D ．46348．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．32B ．643C 510D 55专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．35【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==−，224t c =，将点A 代入双曲线C得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +−=，故a m =或3a m =−（舍去）， 所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =， 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===， 所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +−∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故35c e a ==方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c −，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =−，所以()()002,,3x c y c t −=−−，则00235,3x c y t ==−，又11F A F B ⊥，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=−⋅ ⎪⎝⎭2282033c t =−=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b−=，整理得2222254199c t a b −=，则22222516199c c a b −=， 所以22222225169c b c a a b −=，即()()2222222225169c c a a c a c a −−=−，整理得4224255090c a c a −+=，则()()22225950c a c a −−=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以35e =5e =（舍去），故35e =2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32bb c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 20e <≤； 当32b b c −>−，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立．2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ． 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________. 【解答】解：设22||||F A F B m ==，由双曲线定义得：1||2F A m a =−，1||2F B m a =+， 所以11||||||(2)(2)4AB F B F A m a m a a =−=+−−=，作21F H F B ⊥，Rt △21F HF 中，213tan 4F H F H α==，可得234F H m =， Rt △2F HA 中，勾股定理得：222222222234||||||()(2)......4167m F H AH AF m a m a +=⇒+=⇒=①，Rt △21F HF 中，勾股定理得：22222221123||||||()(2)4F H F H F F m m c +=⇒+=，可得22254 (16)m c =②， 由①②可得2242547a c ⨯=，整理可得22257c a =，即577e =2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )重点题型·归类精讲A 2B 3C 5D 7【解答】解：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22||||||AB BF AF m ===，B 为双曲线上一点，1211||||||||||2F B F B F B BA F A a −=−==， A 为双曲线上一点，则21||||2AF AF a −=，2||4AF a =，12||2F F c =，由260ABF ∠=︒，则12120F AF ∠=︒，在△12F AF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+−⋅⋅⋅︒， 得227c a =，则27e =，解得7e =D ． 【法二】作垂直，勾股定理3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B 7C 5D ．2【答案】B 【解析】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴−==，又212AF AF a −=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+−⋅=，解得：1227F F =227c =，7c ∴=∴双曲线C 的离心率7ce a=4．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】作出辅助线，得到，求出. 【详解】由题知，过作轴于，则，，，利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考 5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP 3得，222312tan sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>A C P A 3312PF F △21120PF F ∠=323,2PM c AM c a ==−333PM c AM==1222F F PF c ==P PM x ⊥M 260PF M ∠=2223,,2PM c F M c AM AF F M c a c c a ∴==+=−+=−333PM c AM ==23c a =32e ∴=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以222113134,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+−∠⋅−⋅6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________. 3【解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ， 则2,,P F Q 三点共线， 设1PF m =，则PQ m =，又127cos 9F PF ∠=，所以在1PF Q 中，由余弦定理有： 22222174299FQ m m m m =+−⨯=，即123m FQ = 由椭圆定义可知11243m PF PQ QF m m a ++=++=，可得32m a = 所以1231,22PF a PF a ==在12PF F △中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，即22222913744244493c a a a a =+−⨯⨯=，所以2213c a =， 所以3c e a ==构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．2【解答】解：因为点P 在双曲线上，且2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得2(,)b P c a ±，则22||b PF a=，12||2F F c =，所以2221212||3tan ||224b PF b a PF F F F c ac ∠====，所以223b ac =， 所以222()3c a ac −=，所以2232(1)c ca a −=，所以22320e e −−=，所以12e =−（舍去），或2e =8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A 351−B ．331+ C 171− D 171+【答案】B法一：利用对称性和互余关系导角【简证】设2QP l ⊥于H ，作PH ⊥x 轴于H ，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ ，则∠1=∠2 而5s 0.10.5in a a c c ∠==，sin 2OH OHOP c∠==，则OH a =，PH b =故 221tan 1122OG PH a b a ac b QG QH b a c ∠==⇒=⇒+=+，即22212a ac c a +=−同除a ²可得21112e e +=− 解得3314e =法二：设点由题可设,),(,0)2(cP a b Q −，2,2PQ bk PQ l G a =⊥+，则 223311()()124045Q bb k k e ec a a e +⋅=−⇒−=−⇒−−==⇒+9．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3B ．22C 21D 2【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c −，离心率为e ，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =, 又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，yxl 2l 1:y=b aGHQF 1O F 2P 12ba c0.5c0.5bG O所以22b c a=即2220c a ac −+=，所以2210e e +−=，解得21e =（负值舍去）.10．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 15【答案】C【详解】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =. 在△ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在△AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+−,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以10e =11．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C 623−D 323−【答案】C【详解】解：依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=， 整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，222x a a b =−，由2222NF =，得23MN MF =，即(22322a a b c −=，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得6237e =.利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 5【答案】D【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点， 又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ， 又122PF PF a −=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+， 故225c a =，离心率5ca=2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =−，22NF a n =−，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +−=−， 22222948444n a an n a an n ∴+−+=−+，2124n an ∴=，3a n =， 123a MF ∴=，243a MF =， 在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+， 223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈，5e ∴=利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 6【答案】C解析：设1F B t =，则12AF t =，23F B t =， 由椭圆定义：1242F B F B t a +==，2at ∴=，1222F A F A a F A a +=+=，2F A a ∴=，1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，22222294444122222a a c a c a a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简223c a =,3e ∴=，故选C15．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 5C 6D 10【答案】B解析：设1A F t =，则22t F B =，152BF t =， 由椭圆定义：125222t tF B F B a +=+=， 23a t ∴=，1222F A F A t F A a +=+=，243a F A ∴=， 12A 2F F B =，12F A F B ∴，1212cos cos AF F F F B ∴∠=−∠，2222224162544999921222233a a a a c c a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简2295c a =，5e ∴=，故选B16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 22C ．53D ．13【答案】D【解析】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =−，又112AF F B =，所以1||BF a c =−，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =−−=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +−+−=−⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c −+−−+−+=−−⋅−⋅，化简可得22340a c ac +−=，即23410e e −+=， 解得13e =或1e =（舍去）17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为( )A ．32B ．2C 15D ．4【解答】解：设2||BF x =，因为22||3||AF BF =，则2||3AF x =， 由双曲线的定义可得1||23AF a x =+，1||2BF a x =+， 因为1||||4232AB AF x a x x a =⇒=+⇒=，所以2||2BF a =，2||6AF a =，1||8AF a =，1||4BF a =， 因为1212F F B F F A π∠+∠=，所以1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||F F F B BF F F F A AF F F F B F F F A +−+−+=⋅⋅， 即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a +−+−+=⋅⋅⋅⋅，解得2c e a ==． 故选：B ．与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．132 D．152【答案】C【分析】取线段AT 中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有2222||||||FT OF OT c a b =−=−=， 因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=−=−， 而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==， 在Rt AF M '中，222(2)(32)a b b a +=−，整理得32b a =， 所以双曲线E 的离心率22131c b e a a ==+=19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．【答案】12【分析】由向量线性运算化简已知等式得到21222F F AF c ⋅=，由向量数量积定义可求得22AF c =，121cos 2F F M ∠=，可知12AF F △为等边三角形；利用椭圆定义可得42c a =，进而可得椭圆离心率. 【详解】设2AF 与直线l 交点为M ，则M 为2AF 中点，21AF F M ⊥；()()()1122112122112222F A F F AF F A F F F F AF F M F F AF +⋅=++⋅=+⋅21212212222F M AF F F AF F F AF c =⋅+⋅=⋅=，2221221212222212cos 22F M F F AF F F A F F AF AF F M F M c F F ∴⋅∠=⋅⋅=⋅==，2F M c ∴=，22AF c =，121cos 22c F F M c ∴∠==，则123F F M π∠=，又2122AF F F c ==， 12AF F ∴为等边三角形，则12AF c =，由椭圆定义知：1242AF AF c a +==，∴椭圆离心率12c e a ==.20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.33B.32C.53D.54【答案】C【分析】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，由已知条件可得出2113=a a ，利用椭圆和双曲线的定义可求得1PF 、2PF ，分析出12F PF ∠为直角，利用勾股定理可求得椭圆1C 的离心率.【详解】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设()2120F F c c =>，因为双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，则21223a a =， 设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点， 设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得112121214323PF a a a PF a a a⎧=+=⎪⎪⎨⎪=−=⎪⎩，由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O ，所以，四边形12PF QF 为平行四边形， 因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有12121212πF PF FQF F PF FQF∠+∠=⎧⎨∠=∠⎩，故12π2F PF ∠=，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()2221142233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212049a c =， 即12523a c =，故椭圆1C 的离心率为112515323c e a ===.21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______. 6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||3QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==−，∴离心率为6c a=2024届长郡中学月考（二） 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【答案】【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率.【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，， 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C 31212PQF F 1223,2PF c PF c ==22221(0,0)x y a b a b−=>>2c P 12PQ F F ∥12PQ F F =1PF 2QF 12PQF F 2c 1QF O112,QF c FO c ==故，则， 则， 故， 即离心率故答案为:23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为矩形，设，结合椭圆定义可得，结合可得的关系，由此可求离心率.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，，1130,60F QO QF O ∠=∴∠=1120F QP ∠=1232223,2PF c c PF c ===122322PF PF c c a −=−=3131e +==−31+O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E 53E F 'PFQF 'FR m =3am =222PF PF FF ''+=,a c E F 'PF 'QF 'RF 'P Q O O FF 'PFQF 'QF FR ⊥PFQF '4QF FR =FR m =4QF PF m '==224PF a PF a m '=−=−22F R a FR a m '=−=−所以，，在中，，即， 解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31【答案】C【分析】先求解F 1到渐近线的距离，结合OA ∥F 2M ，可得∠F 1MF 2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)， 设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 122b a b=+. 设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b , A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点, ∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2.题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B【分析】据162MF NF NF a NF +=+==，得到3a =，根据点A 到直线l 距离d ，求出2b ≥，从而求出c2423PR PF FR a m m a m =+=−+=−Rt F PR '222PF PR F R ''+=()()22216232m a m a m +−=−3a m =443a PF m '==4224233a aPF a m a =−=−=Rt PFF '222PF PF FF ''+=22242433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2259a c =5c e a ==得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F ，A 是C 的上顶点，连接11,MF NF ，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,M N 关于原点对称，则OM ON = 又1OF OF = ，∴四边形1MFNF 为平行四边形1MF NF ∴= ，又162MF NF NF a NF +=+==，解得：3a = A 到l 的距离为：4855b d −=≥， 解得：2b ≥22292a c c −−05c ∴<≤5c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦.26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】2101⎛ ⎝⎭，【分析】表示出222AB a b =−a b c 、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F ，2F 是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以()20F c ，圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0ax by =－交于A ，B 两点，则焦点到渐近线的距离：22bc d b a b==+，所以222AB a b =−， 122F F AB >， 22222c a b ∴−>， 可得2222244a b c a b >=+－，即：22223555a b c a >=－，可得2258c a <，所以2285c a <，所以210e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是：2101⎛ ⎝⎭，27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m 表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中,00m λ><）， 得()2211y x m mλλ−=−+−， 则双曲线C 离心率()()()121121121111m m m m e m m m m λλλ−+−+−+====−−++++ 因为0m >，所以11m +>，则1011m <<+， 所以11221m <−<+， 所以12e <<C 离心率的取值范围为(2.28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得c b >，据此可求出椭圆的离心率. 【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b c <，即22b c <，222a c c −<，222a c <，所以212e >，即22e >， 又因为01e <<，所以椭圆离心率的取值范围为2⎫⎪⎪⎝⎭．29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的。

微专题：圆锥曲线离心率的求值及其范围【学习目标】（1）熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。

（2）掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略。

（3）灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想）解决问题。

【学习重、难点】重点：利用圆锥曲线自身性质、平面几何知识、常见结论等建立关于,,a b c 的关系式（等式或不等式）。

难点：平面几何知识在圆锥曲线中的应用。

【课前热身】1.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为2.已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ， 1PF 与双曲线相交于点Q ，且12PQ QF =，则该双曲线的离心率为3.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，圆2222x y a b +=+与该双曲线相交于点P ，若21122PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为4. 已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，，以线段12F F 为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是5.已知,,P A B 是双曲线22221x y a b -=上不同的三点,且,A B 关于原点对称,若直线,PA PB 的斜率乘积34PA PB k k =,则该双曲线的离心率是 6.已知斜率为1的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B,D 两点，且BD 的中点为M （1,3），则双曲线的离心率为7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率的取值范围是 .8.如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2经验之谈：【类型专练】一、圆锥曲线离心率的值 1、代数法例1.（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于A,B 两点，直线l的倾斜角为60°，若2AF FB =，则椭圆的离心率为（2）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．（3）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABC BCF S S ∆∆=,则椭圆的离心率为__________．2.平面几何性质应用 例 2.（1）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，两渐近线上分别有A,B 两点，AB OB ⊥，//AF x BF OA ⊥轴，，则双曲线离心率为 （曹人仁提供）（2）已知F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为A ,交另一条渐近线于点B 。

专题08 隐零点问题有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.类型一 根据隐零点化简求范围典例1. 已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； 【答案】3【解析】解析：（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =； （2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x x k g x x x +<=--@，22ln '()(1)x xg x x --=-， 令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <； 即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，得到满足条件的k 的最大正整数为3.类型二 根据隐零点分区间讨论典例2 已知函数2()2ln (0)f x x t x t =->，t 为何值时，方程()2f x tx =有唯一解. 【答案】(,0){1}-∞U 【解析】222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=⇔+=，当ln 0x x +=时，有t R ∈； 设()ln u x x x =+，1'()10u x x =+>；又(1)10u =>，11()10u e e=-<，不妨设00ln 0x x +=， 则可知01(,1)x e∈.当ln 0x x +≠时，得到22()ln x t g x x x=+@； 2222ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+==++，令()12ln g x x x =-+，易知(1)0g =，且1x >时，()0g x >；1x <时，()0g x <；综上可知()g x 在区间00(0,),(,1)x x 上为减函数，在区间(1,)+∞上为增函数；画图函数图像：因此，可知所求t 的范围为(,0){1}-∞U .类型三 根据隐零点构造新函数典例3 已知函数()21x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】1(,]2-∞【解析】()'12x f x e ax =--，首先，当0a ≤时，在[0,)+∞上()'0f x ≥恒成立，则有()()00f x f ≥=． 其次，当0a >时，令()x g x e =，()21h x ax =+，由题1可知，当021a <≤，即102a <≤时，()()g x h x ≥．此时()'0f x ≥,同样有()0f x ≥．再者，当12a >时，函数()y g x =与()y h x =相交于点()0,1和()00,x y ．同时，当()00,x x ∈时，()'0f x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >. 即可知()()02000min1x f x f x e x ax ⎡⎤==---⎣⎦，将0012x e ax =+代入得到：()00000112x x e f x e x x -=---⋅ ()00x >，令()112x xe F x e x x -=---⋅()0x >，则()()11'2x e x F x --=．又由变式2可知()1xx e-+-≤，那么()1'02x x e e F x -⋅-≤≤，即()F x 在区间()0,+∞上递减，因此有()()000f x f <=，与()0f x ≥矛盾，故12a >不合题意． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围为1(,]2-∞．1．已知函数f(x)=x ⋅e x −a(lnx +x)，g(x)=(m +1)x .（a,m ∈R 且为常数，e 为自然对数的底） （1）讨论函数f(x)的极值点个数；（2）当a =1时，f(x)≥g(x)对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）当a ≤0时，无极值点；当a >0时，有且仅有1个极值点；（2）(−∞,0] 【解析】（1）f(x)的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=(x +1)e x −a (1x +1)=x+1x(xe x −a )，因为函数y =(xe x )′=e x +xe x >0在(0,+∞)上恒成立， 所以函数y =xe x 在区间(0,+∞)上单调递增，且值域为(0,+∞)， ①当a ≤0时，xe x −a >0在区间(0,+∞)上恒成立， 即f ′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以无极值点； ②当a >0时，方程xe x −a =0有唯一解，设为x 0(x 0>0)， 当0<x <x 0时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x >x 0时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以x 0是函数f(x)的极小值点， 即函数f(x)只有1个极值点.（2）当a =1时，不等式f(x)≥g(x)对任意的x ∈(0,+∞)恒成立， 即xe x −lnx −1≥(m +1)x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立， 即e x −lnx+1x≥m +1对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，记F(x)=e x −lnx+1x，F ′(x)=e x +lnx x 2=x 2e x +lnxx 2，记ℎ(x)=x 2e x +lnx ，因为ℎ(x)=2xe x +x 2e x +1x >0在x ∈(0,+∞)恒成立，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1e )=(1e )2e 1e −1=e 1e −2−1<0，ℎ(1)=e >0， 所以存在x 0∈(1e ,1)使得ℎ(x 0)=0，且x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，F ′(x)<0，函数F(x)单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，F ′(x)>0，函数F(x)单调递增；. 所以F(x)min =F (x 0)，即F(x)min =e x 0−lnx 0+1x 0，又因为ℎ(x 0)=0⇒x 02e x 0=−lnx 0，⇒ x 0e x 0=−lnx 0x 0，⇒x 0ex 0=ln 1x 0⋅eln1x 0，所以x 0=ln 1x 0，因此F(x)min =e x 0−lnx 0+1x 0=x 0e x 0−lnx 0−1x 0=1+x 0−1x 0=1，所以1≥m +1，解得m ≤0. 综上，实数m 的取值范围是(−∞,0].2．已知f(x)=x −12(lnx)2−klnx −1 (k ∈R).（1）若f(x)是(0,+∞)上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数f(x)有两个极值点，判断函数f(x)零点的个数. 【答案】(1) (−∞,1] (2) 三个零点 【解析】（1）由f(x)=x −12(lnx)2−klnx −1得f ′(x)=x−lnx−kx，由题意知f ′(x)≥0恒成立，即x −lnx −k ≥0，设F(x)=x −lnx −k ，F ′(x)=1−1x ，x ∈(0,1)时F ′(x)<0，F(x)递减，x ∈(1,+∞)时，F ′(x)>0，F(x)递增； 故F(x)min =F(1)=1−k ≥0，即k ≤1，故k 的取值范围是(−∞,1]. （2）当k ≤1时，f(x)单调，无极值； 当k >1时，F(1)=1−k <0，一方面，F (e −k )=e −k >0，且F(x)在(0,1)递减，所以F(x)在区间(e −k ,1)有一个零点. 另一方面，F (e k )=e k −2k ，设g(k)=e k −2k (k >1)，则g ′(k)=e k −2>0，从而g(k) 在(1,+∞)递增，则g(k)>g(1)=e −2>0，即F (e k )>0，又F(x)在(1,+∞)递增，所以 F(x)在区间(1,e k )有一个零点.因此，当k >1时f ′(x)在(e −k ,1)和(1,e k )各有一个零点，将这两个零点记为x 1， x 2 (x 1<1<x 2)，当x ∈(0,x 1)时F(x)>0，即f ′(x)>0；当x ∈(x 1,x 2)时F(x)<0，即 f ′(x)<0；当x ∈(x 2,+∞)时F(x)>0，即f ′(x)>0：从而f(x)在(0,x 1)递增，在(x 1,x 2) 递减，在(x 2,+∞)递增；于是x 1是函数的极大值点，x 2是函数的极小值点. 下面证明：f (x 1)>0，f (x 2)<0由f ′(x 1)=0得x 1−lnx 1−k =0，即k =x 1−lnx 1，由f (x 1)=x 1−12(lnx 1)2−klnx 1−1得f (x 1)=x 1−12(lnx 1)2−(x 1−lnx 1)lnx 1−1 =x 1+12(lnx 1)2−x 1lnx 1−1，令m(x)=x +12(lnx)2−xlnx −1，则m ′(x)=(1−x)lnxx，①当x ∈(0,1)时m ′(x)<0，m(x)递减，则m(x)>m(1)=0，而x 1<1，故f (x 1)>0； ②当x ∈(1,+∞)时m ′(x)<0，m(x)递减，则m(x)<m(1)=0，而x 2>1，故f (x 2)<0； 一方面，因为f (e −2k )=e −2k −1<0，又f (x 1)>0，且f(x)在(0,x 1)递增，所以f(x)在 (e −2k ,x 1)上有一个零点，即f(x)在(0,x 1)上有一个零点. 另一方面，根据e x >1+x(x >0)得e k >1+k ，则有： f (e4k )=e4k−12k 2−1>(1+k)4−12k 2−1 =k 4+4k (k −34)2+74k >0，又f (x 2)<0，且f(x)在(x 2,+∞)递增，故f(x)在(x 2,e 4k )上有一个零点，故f(x)在 (x 2,+∞)上有一个零点.又f(1)=0，故f(x)有三个零点.3．已知函数f(x)=xlnx −lnx ，g(x)=x −k . （Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−g(x)①当k =1时，求函数ℎ(x)在点(1,ℎ(1))处的切线方程；②若x ∈A =|x|x >1|时，ℎ(x)⩾0恒成立，求k 的所有取值集合与A 的关系；（Ⅱ）记w(x)=(f(x)−kx )(g(x)−k2x )，是否存在m ∈N +，使得对任意的实数k ∈(m,+∞)，函数w(x)在(1,+∞)上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①y =−x +1；②见解析；（2）2 【解析】（1）①由题意，可得ℎ(x)=f(x)−g(x)=xlnx −lnx −x +k ， 则ℎ′(x)=lnx −1x ，所以ℎ′(1)=−1，ℎ(1)=0所以ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程为y =−x +1 ②由ℎ(x)≥0，即k ≥x −xlnx +lnx =m(x) 则m ′(x)=1x −lnx ，x ∈(1,+∞)，因为m ′(x)=1x −lnx 在(1,+∞)上单调递减，所以m ′(x)<m ′(1)=1， 存在x 0∈(1,+∞)，使得m ′(x 0)=0，函数m(x)在x ∈(1,x 0)上单调递增，在x ∈(x 0,+∞)上单调递减，k ≥m (x 0)， 由m ′(x 0)=0得lnx 0=1x 0，m (x 0)=x 0+1x 0−1>1，∴k >m (x 0)>1，所以k 的所有取值集合包含于集合A .（Ⅱ）令f(x)−kx =xlnx −lnx −kx g(x)−k2x =x −k −k2x ，x ∈(1,+∞) （1）(f(x)−k x )′=lnx +1−1x +kx>0，x ∈(1,+∞)，由于k ∈(m,+∞)，⇒k >1，f(1)=−k <0，x →+∞，f(x)→+∞，由零点存在性定理可知，∀k ∈(1,+∞)，函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点. （2）(g(x)−k 2x)′=1+k2x >0，x ∈(1,+∞)，g(1)=1−3k 2<0，x →+∞，g(x)→+∞，同理可知∀k ∈(1,+∞)，函数g(x)在定义域内有且仅有一个零点. （3）假设存在x 0∈(1,+∞)，使得f (x 0)−k x 0=g (x 0)−k 2x 0=0，则{k =x 02lnx 0−x 0lnx 0,x 0−k =k 2x 0，消k ，得lnx 0−2x 02x 02−x 0−1=0. 令G(x)=lnx −2x 2x 2−x−1，G ′(x)=1x +4x 2+2(2x 2−x−1)2>0，所以G(x)单调递增. ∵G(2)=ln2−45=15ln 32e 4<0，G(√2+1)=0.8814−√23>0，∴x 0∈(2,√2+1)，此时k =x 02x 0+12=x 0+12+14(x 0+12)−1∈(85,2)，所以满足条件的最小正整数m =2.4．已知函数f (x )=e x ,g (x )=12x 2−52x −1（e 为自然对数的底数）． （1）记F (x )=lnx +g (x )，求函数F (x )在区间[1,3]上的最大值与最小值； （2）若k ∈Z ，且f (x )+g (x )−k ≥0对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）k max =−1 【解析】（1）∵F (x )=lnx +g (x )=lnx +12x 2−52x −1，∴F ′(x )=(2x−1)(x−2)2x，令F ′(x )=0，则x 1=12,x 2=2，所以函数F (x )在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,3)单调递增， ∴F (x )min =F (2)=−4+ln2，F (x )max =max {F (1),F (3)}=−4+ln3． （2）∵f (x )+g (x )−k >0对任意x ∈R 恒成立， ∴e x +12x 2−52x −1−k ≥0对任意x ∈R 恒成立，∴k ≤e x +12x 2−52x −1对任意x ∈R 恒成立．令ℎ(x )=e x +12x 2−52x −1，则ℎ′(x )=e x +x −52． 由于ℎ′(x )=e x +1>0，所以ℎ′(x )在R 上单调递增． 又ℎ′(0)=−32<0,ℎ′(1)=e −32>0,ℎ′(12)=e 12−2<0，ℎ′(34)=e 34−74=0，所以存在唯一的x 0∈(12,34)，使得ℎ′(x 0)=0，且当x ∈(−∞,x 0)时，ℎ′(x )<0，x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x )>0． 即ℎ(x )在(−∞,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增． ∴ℎ(x )min=ℎ(x 0)=e x 0+12x 02−52x 0−1．又ℎ′(x 0)=0，即e x 0+x 0−52=0，∴e x 0=52−x 0．∴ℎ(x 0)=52−x 0+12x 02−52x 0−1=12(x 02−7x 0+3)．∵x 0∈(12,34)，∴ℎ(x 0)∈(−2732,−18)．又∵k≤e x+12x2−52x−1对任意x∈R恒成立，∴k≤ℎ(x0)，又k∈Z，∴k max=−1．5．己知函数f(x)=lnx−kx2(k∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2>2√−2k.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）解：因为f(x)=lnx−kx，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=1x +2kx3=x2+2kx3,x>0．当k≥0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．当k<0时，由f′(x)=0，得x=√−2k（负根舍去），当x∈(0,√−2k)时，f′(x)<0，当x∈(√−2k,+∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,√−2k)上单调递减；在(√−2k,+∞)上单调递增．综上所述，当k≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当k<0时，函数f(x)在(0,√−2k)上单调递减，在(√−2k,+∞)上单调递增（2）先求k的取值范围：方法1:由（1）知，当k≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当k<0时，函数f(x)在(0,√−2k)上单调递减，在(√−2k,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(√−2k)=ln√−2k+12，要使函数f(x)有两个零点，首先f(x)min=ln√−2k+12<0，解得−12e<k<0．因为−2k<√−2k<1，且f(1)=−k>0，下面证明f(−2k)=ln(−2k)−14k>0．设g(k)=ln(−2k)−14k ，则g′(k)=1k+14k2=4k+14k2．因为k>−12e ，所以g′(k)=1k+14k2=4k+14k2>−2e+14k2>0．所以g(k)在(−12e,0)上单调递增，所以f(−2k)=g(k)>g(−12e )=ln1e+e2>0．所以k的取值范围是(−12e,0)．方法2:由f(x)=lnx−kx2=0，得到k=x2lnx．设g(x)=x2lnx，则g′(x)=x(2lnx+1)．当0<x<e−12时，g′(x)<0，当x>e−12时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(0,e−12)上单调递减，在(e−12,+∞)上单调递增．所以由[g(x)]min=g(e−12)=−12e．因为x→0+时，g(x)→0，且g(1)=0，要使函数f(x)有两个零点，必有−12e<k<0．所以k的取值范围是(−12e,0)．再证明x1+x2>2√−2k：方法1:因为x1，x2是函数f(x)的两个零点，不妨设x1<x2，令x2=tx1，则t>1．所以{lnx1−kx12=0,lnx2−kx22=0,即lnx2−lnx1=kx22−kx12．所以lnt=kt2x12−kx12，即x12=klnt(1t2−1)，−12e<k<0，t>1．要证x1+x2>2√−2k，即证(x1+x2)2>−8k．即证x12(1+t)2>−8k，即证klnt (1t2−1)(1+t)2>−8k．因为−12e <k<0，所以即证(1t2−1)(1+t)2<−8lnt，或证8lnt+(1t2−1)(1+t)2<0(t>1)．设ℎ(t)=8lnt+(1t2−1)(1+t)2，t>1．即ℎ(t)=8lnt−t2−2t+2t +1t2，t>1．所以ℎ′(t)=8t −2t−2−2t2−2t3=−2(t2−1)2−2t(t−1)2t3<0．所以ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)=8lnt+(1t−1)(1+t)2<ℎ(1)=0,t>1．所以x1+x2>2√−2k．方法2:因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1<x2，令x2=tx1，则t>1．所以{lnx1−kx12=0,lnx2−kx22=0,即lnx2−lnx1=kx22−kx12．所以lnt=kt2x12−kx12，即x12=klnt(1t2−1)，−12e<k<0，t>1．要证x1+x2>2√−2k，需证√x1x2>√−2k．即证tx12>−2k，即证t×klnt (1t2−1)>−2k．因为−12e <k<0，所以即证t−1t>2lnt(t>1)．设ℎ(t)=2lnt−t+1t，则ℎ′(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t2<0，t>1．所以ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)=2lnt−t+1t<ℎ(1)=0．所以x1+x2>2√−2k．方法3:因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1<x2，令x2=tx1，则t>1．所以{lnx1−kx1=0,lnx2−kx2=0.即lnx1+lnx2=kx12+kx22．要证x1+x2>2√−2k，需证√x1x2>√−2k．只需证lnx1+lnx2>ln(−2k)．即证kx12+kx22>ln(−2k)，即证kx12+ktx12>ln(−2k)．即证k(1+1t2)1x12>ln(−2k)．因为√−2k<x1<0，所以x12<−2k，即1x12>1−2k．所以k(1+1t2)1x12>k(1+1t2)×1−2k=−12(1+1t2)>−12(1+1)=−1．而ln(−2k)<ln1e=−1，所以k(1+1t2)1x12>ln(−2k)成立．所以x1+x2>2√−2k．方法4:因为x1，x2是函数f(x)有两个零点，不妨设x1<x2，令x2=tx1，则t>1．由已知得{lnx 1−kx 12=0,lnx 2−kx 22=0,即lnx 2−lnx 1=k x 22−k x 12． 先证明lnx 2−lnx 1x 2−x 1<√x 1x 2，即证明lnt <√t(t >1)．设ℎ(t )=√t−lnt ，则ℎ′(t )=√t−1)22t √t>0．所以ℎ(t )在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(t )>ℎ(1)=0，所证不等式成立． 所以有lnx 2−lnx 1x 2−x 1=−k (x 1+x 2)x 12x 22<√x x ．即−k (x 1+x 2)<(√x 1x 2)3． 因为√x 1x 2<x 1+x 22（x 1≠x 2），所以−k (x 1+x 2)<(x 1+x 22)3，即(x 1+x 2)2>−8k ．所以x 1+x 2>2√−2k ．方法5:要证x 1+x 2>2√−2k ，其中x 1∈ (0,√−2k)，x 2∈ (√−2k,+∞)， 即证x 2>2√−2k −x 1．利用函数f (x )的单调性，只需证明f (x 2)>f(2√−2k −x 1)．因为f (x 2)=f (x 1)，所以只要证明f (x 1)>f(2√−2k −x 1)，其中x 1∈ (0,√−2k)． 构造函数F (x )=f (x )−f(2√−2k −x)，x ∈(0,√−2k)， 则F (x )=lnx −kx 2−ln(2√−2k −x)+k (2√−2k−x)2．因为F ′(x )=1x +2kx 32√−2k−x(2√−2k−x)3=√−2kx(2√−2k−x)+4k √−2k[(2√−2k−x)2−x(2√−2k−x)+x 2]x 3(2√−2k−x)3（利用均值不等式） <√−2k x(2√−2k −x)4k √−2k x 2(2√−2k−x)2=√−2k(x−√−2k)2x 2(2√−2k−x)2<0，所以F (x )在(0,√−2k)上单调递减．所以F (x )>F(√−2k)=ln √−2k +12−ln √−2k −12=0． 所以f (x )>f(2√−2k −x)在(0,√−2k)上恒成立． 所以要证的不等式x 1+x 2>2√−2k 成立．6．已知函数f(x)=xe x−1−alnx ．（无理数e =2.718...）（1）若f(x)在(1,+∞)单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，设函数g(x)=ex ⋅f(x)−x2−x，证明：当x>0时，g(x)>1−ln22−(ln22)2．（参考数据ln2≈0.69）【答案】（1）a∈(−∞,2]；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）∵f(x)在(1,+∞)单调递增，∴f′(x)=(1+x)e x−1−ax =(x+x2)e x−1−ax≥0在（1，＋∞）恒成立，设h（x）＝（x＋x2）e x－1－a，由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，∵h'（x）＝e x－1（x2＋3x＋1），∴当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，故h'（x）＞0，∴h（x）在（1，＋∞）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝2－a，故2－a≥0，∴a≤2，综上a∈（－∞，2]．（2）当a＝0时，f（x）＝xe x－1，g（x）＝e x－x2－x，g'（x）＝e x－2x－1，设m（x）＝e x－2x－1，则m'（x）＝e x－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．因此m（x）≥m（ln2）＝e ln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，又g'（0）＝0，g′(1+12ln2)=e1+12ln2−2(1+12ln2)−1=√2e−3−ln2>0，故存在x0∈（ln2，1+12ln2），使g'（x0）＝0，即e x0−2x0−1=0，e x0=2x0+1．当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g (x )≥g (x 0)=ex 0−x 02−x 0=2x 0+1−x 02−x 0=−x 02+x 0+1=−(x 0−12)2+54，由于x 0∈（ln2，1+12ln2）， 函数y =−(x 0−12)+54单调递减，故g (x )≥−(x 0−12)2+54>−(1+12ln2−12)2+54=1−ln22−(ln22)2所以，当x ＞0时，g (x )>1−ln22−(ln22)2．7．已知函数f (x )=x +2x+alnx (a >0) （1）若a =1，求函数f (x )的极值和单调区间； （2）若g (x )=f (x )+2a 2−2x，在区间(0,e ]上是否存在x 0，使g (x 0)<0，若存在求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数f (x )=x +2x +lnx 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞) 极小值为3，无极大值(2)见解析 【解析】（1）当a =1时，f (x )=x +2x +lnx∵f ′(x )=(x+2)(x−1)x 2，且x ∈(0,+∞)∴x ∈(0,1)时，f ′(x )<0;x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0 ∴ f (x )=x +2x +lnx 有极小值f (1)=3故函数f (x )=x +2x +lnx 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞) 极小值为3，无极大值. （2）∵g (x )=f (x )+2a 2−2x=x +2a 2x+alnx (a >0)∴g ′(x )=(x+2a )(x−a )x 2∵a >0∴x ∈(0,a )时，g ′(x )<0，x ∈(a,+∞)时g ′(x )>0 ∴x =a 为函数的唯一极小值点 又x ∈(0,e ]，当0<a ≤e 时g (x )min =g (a )=a +2a +alna =a (3+lna )在区间(0,e ]上若存在x 0，使g (x 0)<0，则g (x )min =a (3+lna )<0 ，解得0<a<1e3当a>e时，g(x)=x+2a 2x+alnx(a>0)在x0∈(0,e]为单调减函数，g(x)min=g(e)=e+2a2e+a>0，不存在x0∈(0,e]，使g(x0)<0综上所述，在区间(0,e]上存在x0，使g(x0)<0，此时0<a<1e38．已知函数f(x)=ax2−x−lnx(1)若a=1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0 （2）0<a<1【解析】解：（1）a=1,f(x)=x2−x−lnx,则f′(x)=2x−1−1x =(2x+1)(x−1)x(x>0)，当0<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减，当x>1时，f′(x)>0,f(x)为增，∴f(x)在x=1处取最小值0.（2）由f(x)=ax2−x−lnx，得f′(x)=2ax−1−1x =2ax2−x−1x(x>0)，∴当a≤0时，f′(x)=2ax 2−x−1x<0,函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，∴当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.∵f(x)有两个零点，∴a>0 .令g(x)=2ax2−x−1,，Δ=1+8a>0，显然g(x)有一正根和一负根，∴g(x)在(0，+∞)上只有一个零点，设这个零点为x0，当x∈(0,x0)时，g(x)<0,f′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，g(x)>0,f′(x)>0；∴函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，要使函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x0)<0，即ax02−x0−lnx0<0.∵g(x0)=2ax02−x0−1=0,∴ax02−x0−lnx0=12(−2lnx0+2ax02−2x0)=12[−2lnx0+(2ax02−x0−1)−x0+1]=12(1−x0−2lnx0)<0，可得2lnx0+x0−1>0.∵ℎ(x)=2lnx+x−1在(0，+∞)上是增函数，且h(1)=0，∴x0>1.0<1x0<1,由2ax02−x0−1=0，得2a=x0+1x02=(1x0)2+1x0=(1x0+12)2−14∴0<2a<2,即0<a<1.9．设函数f(x)=x−alnx，其中e为自然对数的底数.（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）若g(x)=f(x)−x+e x−1，0≤a≤e，求证：f(x)无零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若a=1，则f(x)=x−lnx(x>0)，f′(x)=1−1x =x−1x.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).（2）由g(x)=e x−1−alnx(x>0)可知，g′(x)=xe x−1−ax(x>0)，当a=0时，g(x)=e x−1，显然g(x)没有零点；当0<a≤e时，设ℎ(x)=xe x−1−a，ℎ′(x)=e x−1(1+x)>0，在[0,+∞)单调递增，又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0e x0−1=a，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）的最小值为g（x0）=e x0−1−alnx0，∵x0e x0−1=a，∴e x0﹣1=ax0，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，∴g（x0）=ax0−a（lna+1﹣x0）=ax0+ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，由x0e x0−1=a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，∴g （x 0）＞0．∴当0≤a ≤e 时，g （x ）没有零点．10．已知函数f(x)=axe bx （其中e 是自然对数的底数，a ∈R ，b ∈R ）在点(1,f(1))处的切线方程是2ex −y −e =0.（I ）求函数f (x )的单调区间； （II ）设函数g(x)=[f(x)]2x−mx −lnx ，若g (x )≥1在x ∈(0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为(−1,+∞)；（II ）(−∞,2] 【解析】（I ）由条件可知{f(1)=e f ′(1)=2e ，对函数f(x)=axe bx 求导得f ′(x)=a(1+bx)e bx ，于是{f(1)=ae b =e f ′(1)=a(1+b)e b=2e，解得a =b =1. 所以f(x)=xe x ，f ′(x)=(x +1)e x ，令f ′(x)=0得x =−1， 于是当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x ∈(−1,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增.故函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为(−1,+∞) （II ）由（I ）知g(x)=xe 2x −mx −lnx ，解法1：要使g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立，等价于m ≤e 2x −lnx+1x在(0,+∞)上恒成立.令ℎ(x)=e 2x −lnx+1x(x >0)，则只需m ≤[ℎ(x)]min 即可.ℎ′(x)=2x 2e 2x +lnxx 2.令H(x)=2x 2e 2x +lnx(x >0)，则H ′(x)=4(x 2+x )e 2x +1x>0，所以H (x )在(0,+∞)上单调递增， 又H (14)=√e 8−2ln2<0，H(1)=2e 2>0，所以H (x )有唯一的零点x 0，且14<x 0<1，H (x )在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，因2x 02e 2x 0+lnx 0=0，两边同时取自然对数，则有2x 0+ln (2x 0)+lnx 0=ln (−lnx 0)， 即2x 0+ln (2x 0)=ln (−lnx 0)+(−lnx 0)，构造函数m(x)=x +lnx(x >0)，则m ′(x)=1+1x >0，所以函数m (x )在(0,+∞)上单调递增，因m (2x 0)=m (−lnx 0)，所以2x 0=−lnx 0，即e 2x 0=1x 0，所以ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e 2x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−2x 0+1x 0=2，即[ℎ(x)]min =2，于是实数m 的取值范围是(−∞,2].解法2：要使g(x)≥1在(0,+∞)上恒成立，等价于m ≤e 2x −lnx+1x在(0,+∞)上恒成立.先证明t≥lnt+1，令Q(t)=t−lnt−1(t>0)，则Q′(t)=1−1t =t−1t.于是当t∈(0,1)时，Q′(t)<0，Q(t)单调递减；当t∈(1,+∞)时，Q′(t)>0，Q(t)单调递增，所以Q(t)≥Q(1)= 0，故t≥lnt+1（当且仅当t=1时取等号）.所以当x>0时，有xe2x≥ln(xe2x)+1=lnx+2x+1，所以e2x≥lnxx +2+1x，即e2x−lnx+1x≥2，当且仅当xe2x=1时取等号，于是实数m的取值范围是(−∞,2].。

一、例题精讲题型一 求离心率的值1. 定义法：对于求解离心率的值这类问题来说， 根据圆锥曲线离心率 e =2ca ， 可以直接求解出 a 和 c .【例1】在 Rt ΔABC 中， A = 90°， AB =AC = 1， 如果一个椭圆过 A ， B 两点， 它的一个焦点为 C ， 另一个焦点在 AB 上， 则椭圆的离心率为【例2】已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为2. 方程法：从高考题型来看， 有两类问题， 一类是根据条件直接列出关于 a ， b ， c 的方程， 即直接法;另一类是要根据条件设出与之相关的曲线方程， 再进一步得到关于 a ， b ， c 的方程， 即间接法.（1）直接法：设出相关未知量 → 根据条件列出关于 a ，b ，c 的方程 →化简并求解方程 → 得到离心率【例3】)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为 F 1， F 2 . P 是准线上一点， 且PF 1⊥PF 2， | PF 1 | | PF 2 | =4ab ， 求双曲线的离心率.当堂训练：1. 双曲线12222=-by a x 的左顶点和右焦点分别是A 、F ，点B 的坐标是（0，b ），若,90︒=∠ABF 则双曲线的离心率是________2. 设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________3. 已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦点为F ，如果△ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________（2）间接法设出相关未知量→设出相关曲线方程联立→化简→求解出圆锥曲线上的相关点坐标圆锥曲线方程代入圆锥曲线方程，化简求出e 韦达定理得到关于a ,b,c 的方程，化简求出e【例4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为 F ，过 F 且斜率为的直线交 C 于 A ， B 两点， 若AF = 4 FB ， 则双曲线 C 的离心率为 .反思：这道题虽然是一道填空题， 但是已经达到了一道综合题的难度. 事实上， 将 代入之后的化简过程运算量是很大的，对于绝大部分考生来说， 采用这种方法之后，很容易陷入计算的泥潭. 倘若将A ， B 坐标算出代入计算量会更大.【例5】在平面直角坐标系 xoy 中， A 1， A 2， B 1， B 2 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的 4 个顶点，F 为右焦点， 直线A 1 B 2 与直线B 1 F 相交于点T ， 线段OT 与椭圆的交点M 为线段OT 的中点， 求椭圆的离心率.3. 以平面几何特征为突破口这类问题要充分注意几何关系， 将几何关系分析清楚之后， 再找关于 e 的关系式. 如 果几何关系不能看清， 那么在实施解题策略时会带来不必要的计算上的麻烦.【例6】F 1， F 2 分别是22221(0)x y a b a b-=>>的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心， 以 c 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点， 且2ABF ∆是等边三角形， 求双曲线的离心率.小结：要充分注意平面几何关系在解题中的作用， 若能发现问题的本质， 则可事半功倍。

培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．36 C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =，且122a PF PF =+，122c F F =，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．(2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】Q 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba-=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =u u u r u u u r ，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”对点增分集训及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1+ D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ==，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ===+．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝ B ．()0,1C．⎫⎪⎪⎭D．⎛ ⎝ 【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥C ． 7．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点， OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==>+= ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） A 2 B ．2 C 3D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得23e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， Q 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =u u u r Q u u u r，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y ab x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，2220,2b e a ⎛⎤=∈ ⎥ ⎝，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】723+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以13BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知274a c c =-72+． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥Q ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >Q ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BF C △～△，由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =，所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a =．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值． 【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=u u u r u u u r ，PB BF μ=u u u r u u u r ．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②322OAB S ≤<△ 【解析】（1）由题设知，2c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=u u u r u u u r ，PB BF μ=u u u r u u u r 知 111x x λ=-+，221x x μ=-+， 2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知2OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+12OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OAB S ====△ 因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故32OAB S≤<△，综上32OAB S ≤<△。

姓名，年级：时间：第4讲解析几何■真题调研———————-———-——【例1】[2019·天津卷］设椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的左焦点为F，上顶点为B。

已知椭圆的短轴长为4，离心率为错误!。

（1)求椭圆的方程；(2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若｜ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN,求直线PB的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，错误!＝错误!，又a2＝b2＋c2，可得a＝错误!，b＝2，c＝1.所以，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.（2）由题意,设P（x P,y P)（x P≠0），M(x M，0)．设直线PB的斜率为k（k≠0），又B（0，2），则直线PB的方程为y ＝kx＋2，与椭圆方程联立得错误!整理得(4＋5k2）x2＋20kx＝0，可得x P＝－错误!，代入y＝kx＋2得y P＝错误!，进而直线OP的斜率错误!＝错误!。

在y＝kx＋2中，令y＝0,得x M＝－错误!.由题意得N（0,－1），所以直线MN的斜率为－错误!。

由OP⊥MN，得错误!·错误!＝－1，化简得k2＝错误!，从而k＝±错误!.所以，直线PB的斜率为2305或－错误!。

【例2】[2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A,B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；（2）若错误!＝3错误!，求|AB｜。

解：设直线l：y＝错误!x＋t，A（x1，y1），B(x2,y2）．(1）由题设得F错误!，故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋错误!,由题设可得x1＋x2＝错误!.由错误!可得9x2＋12（t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－错误!.从而－错误!＝错误!,得t＝－错误!。

所以l的方程为y＝错误!x－错误!.（2)由错误!＝3错误!可得y1＝－3y2。

微专题68 圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ） A ．3 B ．3 C ．13 D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o，则直角三角形12PF F V 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

算法、概率与统计中的创新考法与学素养授课提示：对应学生用书第66页提分策略一探究命题新情景考查应用能力此类问题多以现实中的生活实例或最新时事为背景考查概率、统计的求解及应用．(2018·合肥模拟)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20,60 内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60(1)商场预计有12 000人(年龄在[20,60 内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋．(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的概率．解析：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，若某日该商场有12 000人(年龄在[20,60 内)购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×712＝7 000.(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20,30)内的顾客中选出3人，[30,40)内的顾客中选出2人，[40,50)内的顾客中选出1人，[50,60 内的顾客中选出1人．记从年龄在[20,30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd ， 共21种，其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的情况有3种， 所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的概率为321＝17.[对点训练30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下：(1)下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a ，b 的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)在100分以下的概率．解析：(1)面试分数在[0,100)内的学生共有30－10－4－1＝15名， 故a ＝15，b ＝1530＝12，估计这些学生面试分数的平均值为50×12＋150×13＋250×215＋350×130＝120分．(2)从1 5号学生中任选两人的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，观察题图易知1号，4号，5号学生的面试分数在100分以下，故选择的两人的面试分数均在100分以下的选择方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种， 故选择的两人的面试分数均在100分以下的概率为310.提分策略二 引入数学文化考学 素养数学文化与算法、概率的融合命题是高考的热点，多为选择、填空题．(2018·郑州模拟)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：n ＝1，S ＝2；n ＝2，S ＝2＋12＋2＝92；n ＝3，S ＝92＋14＋4＝354；n ＝4，S ＝354＋18＋8＞10，结束循环．则输出的n 为4，故选B.答案：B点评 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果．[对点训练欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．解析：依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π.答案：49π授课提示：对应学生用书第141页一、选择题1．(2018·福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》．图中的Mod(N ，m )≡n 表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图，则输出的i 等于( )A ．23B ．38C ．44D ．58解析：Mod(11,3)≡2成立，Mod(11,5)≡3不成立，i ＝12；Mod(12,3)≡2不成立，i ＝13；Mod(13,3)≡2不成立，i ＝14；Mod(14,3)≡2成立，Mod(14,5)≡3不成立，i ＝15；Mod(15,3)≡2不成立，i ＝16；Mod(16,3)≡2不成立，i ＝17；Mod(17,3)≡2成立，Mod(17,5)≡3不成立，i ＝18；Mod(18,3)≡2不成立，i ＝19；Mod(19,3)≡2不成立，i ＝20；Mod(20,3)≡2成立，Mod(20,5)≡3不成立，i＝21；Mod(21,3)≡2不成立，i＝22；Mod(22,3)≡2不成立，i＝23；Mod(23,3)≡2成立，Mod(23,5)≡3成立，Mod(23,7)≡2成立，结束循环．故输出的i＝23.故选A.答案：A2．(2018·益阳、湘潭联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3，则输出v的值为()A．15 B．16C．47 D．48解析：执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3＋2＝5，i＝1≥0，v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0，v＝16×3＋0＝48，i＝－1＜0，退出循环，输出v的值．答案：D3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516，b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C. 答案：C4．(2018·福州模拟)在检测一批相同规格质量共500 g 的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为( )A ．2.8 gB ．8.9 gC ．10 gD ．28 g解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为500×5280＝12514≈8.9 g.答案：B 二、填空题5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．解析：由题意知甲组三名同学的成绩为88,92,93，乙组三名同学的成绩为90,91,92，则两组中各任取一名共有9种结果，成绩相同时只有一种结果，所以概率为19.答案：196．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是________．解析：如图，设Rt △ABC 的两直角边长分别为a ，b ，其内接正方形CEDF 的边长为x ，则由△ADF ∽△ABC ，得AF AC ＝DF BC ，即a －x a ＝xb ，解得x ＝aba ＋b.从而正方形CEDF 的面积为S 正方形CEDF ＝⎝⎛⎭⎫aba ＋b 2，又Rt △ABC 的面积为S △ABC ＝ab2，所以所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫ab a ＋b 2ab 2＝2ab(a ＋b )2＝2×5×12(5＋12)2＝120289. 答案：120289三、解答题7．(2018·福州模拟)随着“互联 ＋交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某“共享自行车”运营公司为了了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了40名用户，得到用户的满意度评分如下：据为92.(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据； (2)计算所抽到的10个样本的均值x 和方差s 2；(3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(x －s ，x ＋s )之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？(精确到0.1 )参考数据：30≈5.48，33≈5.74，35≈5.92.解析：(1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.(2)由(1)中样本的评分数据可得x ＝110×(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83， 则有s 2＝110×[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2 ＝33.(3)由题意知用户的满意度评分在(83－33，83＋33)，即(77.26,88.74)之间，满意度等级为“A 级”，由(1)中容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间的有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为510×100 ＝50.0 .另解：由题意知用户的满意度评分在(83－33，83＋33)，即(77.26,88.74)之间，满意度等级为“A 级”，调查的40名用户的评分数据在(77.26,88.74)之间的共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为2140×100 ＝52.5 .8．(2018·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图估计利润y 不少于4 800元的概率．解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3. 这个开学季内市场需求量x 的众数估计值是150. 需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1， 需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2， 需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3， 需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25， 需求量为[180,200 的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153. (2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， 所以当100≤x ≤160时，y ＝50x －30×(160－x )＝80x －4 800， 当160＜x ≤200时，y ＝160×50＝8 000，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80x －4 800，100≤x ≤1608 000，160＜x ≤200(x ∈N )．(3)因为利润不少于4 800元，所以80x －4 800≥4 800，解得x ≥120. 所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P ＝1－0.1＝0.9.9．(2018·洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三座城市进行治霾落实情况检查．(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求A 城市恰有两个专家组选取的概率；(2)在检查的过程中专家组从A 城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：有关？附： 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示：其中，A 故A 城市恰有两个专家组选取的概率P ＝1236＝13.(2) 2的观测值 ＝400×(40×240－60×60)2100×300×100×300＝16．16＞6.635，所以有超过99 的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关．。

第3讲 数列的综合问题[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1 已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＋a 5＝8，数列{b n }中，b 1＝2，其前n 项和S n 满足：b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 2＝2，a 3＋a 5＝8，∴2＋d ＋2＋3d ＝8，∴d ＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)． ∵b n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)，① ∴b n ＝S n －1＋2(n ∈N *，n ≥2)．②由①－②，得b n ＋1－b n ＝S n －S n －1＝b n (n ∈N *，n ≥2)， ∴b n ＋1＝2b n (n ∈N *，n ≥2)． ∵b 1＝2，b 2＝2b 1，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n(n ∈N *)．(2)由c n ＝a n b n ＝n2n ，得T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－2＋n 2n ＋1， ∴T n ＝2－n ＋22n(n ∈N *)．思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：a 1a n ＝S 1＋S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n32，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知a 1a n ＝S 1＋S n ，可得 当n ＝1时，a 21＝a 1＋a 1， 解得a 1＝0或a 1＝2， 由{a n }是正项数列，故a 1＝2.当n ≥2时，由已知可得2a n ＝2＋S n ，2a n －1＝2＋S n －1， 两式相减得，2()a n －a n －1＝a n ，化简得a n ＝2a n －1， ∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 故a n ＝2n.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)∵b n ＝log 2a n32，代入a n ＝2n化简得b n ＝n －5，显然{b n }是等差数列， ∴其前n 项和T n ＝n ()－4＋n －52＝n 2－9n2(n ∈N *)．热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题． 例2 设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2.(1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0<a n －12<13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . (1)解 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n＋1. (2)证明 因为f n (0)＝－1<0， f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232>0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点， 又f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1>0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增， 因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1＝0，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n >12，故12<a n <23， 所以0<a n －12＝12a n ＋1n <12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩．跟踪演练2 (2018·泉州质检)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1，a n ，S n 成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋1(a n ＋1－1)(a n ＋2－1)(n ∈N *)，证明：23≤b 1＋b 2＋…＋b n <1.(1)解 由已知1，a n ，S n 成等差数列， 得2a n ＝S n ＋1，①当n ＝1 时，2a 1＝S 1＋1，所以a 1＝1； 当n ≥2时，2a n －1＝S n －1＋1，② ①②两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a na n －1＝2， 则数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列， 所以a n ＝a 1qn －1＝1×2n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)得b n ＝a n ＋1()a n ＋1－1()a n ＋2－1＝2n()2n ＋1－1()2n－1＝12n －1－12n ＋1－1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，因为2n ＋1－1≥22－1＝3,0<12n ＋1－1≤13，所以23≤1－12n ＋1－1<1，即证得23≤b 1＋b 2＋…＋b n <1.热点三 数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．例3 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨(m >0)． (1)求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； (2)若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围． 解 设2018年的碳排放总量为a 1,2019年的碳排放总量为a 2，…，(1)由已知，a 1＝400×0.9＋m ，a 2＝0.9×()400×0.9＋m ＋m＝400×0.92＋0.9m ＋m ＝324＋1.9m . (2)a 3＝0.9×()400×0.92＋0.9m ＋m ＋m＝400×0.93＋0.92m ＋0.9m ＋m ， …，a n ＝400×0.9n ＋0.9n －1m ＋0.9n －2m ＋…＋0.9m ＋m＝400×0.9n＋m 1－0.9n1－0.9＝400×0.9n＋10m ()1－0.9n＝()400－10m ×0.9n＋10m .由已知∀n ∈N *，a n ≤550，(1)当400－10m ＝0，即m ＝40时，显然满足题意； (2)当400－10m >0，即m <40时，由指数函数的性质可得()400－10m ×0.9＋10m ≤550，解得m ≤190. 综合得m <40；(3)当400－10m <0，即m >40时， 由指数函数的性质可得10m ≤550， 解得m ≤55，综合得40<m ≤55. 综上可得所求m 的范围是(]0，55.思维升华 常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间n 的总产值y ＝N (1＋p )n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋r )n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋nr )．(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b ＝r (1＋r )n a(1＋r )n－1. 跟踪演练3 (2018·上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年，f (n )为第 1 年至此后第 n (n ∈N *)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当 f (n )为正值时，认为该项目赢利．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数值：⎝ ⎛⎭⎪⎫327≈17，⎝ ⎛⎭⎪⎫328≈25，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7 (1)试求 f (n )的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．解 (1)由题意知，第1年至此后第n (n ∈N *)年的累计投入为8＋2(n －1)＝2n ＋6(千万元)， 第1年至此后第n (n ∈N *)年的累计净收入为 12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫321＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(千万元)．∴f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n－1－(2n ＋6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n－2n －7(千万元)． (2)方法一 ∵f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2(n ＋1)－7－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2n －7 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －4， ∴当n ≤3时，f (n ＋1)－f (n )<0， 故当n ≤4时，f (n )递减； 当n ≥4时，f (n ＋1)－f (n )>0， 故当n ≥4时，f (n )递增． 又f (1)＝－152<0，f (7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327－21≈17－21＝－4<0，f (8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫328－23≈25－23＝2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．方法二 设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－2x －7(x ≥1)，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ln 32－2，令f ′(x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＝2ln 32＝2ln 3－ln 2≈21.1－0.7＝5，∴x ≈4.从而当x ∈[1,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又f (1)＝－152<0，f (7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327－21≈17－21＝－4<0，f (8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫328－23≈25－23＝2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．真题体验1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n，∴S 6＝1－26＝－63.2．(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解 (1)设数列{x n }的公比为q . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0，由已知得q >0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n＋12(n ∈N *)．押题预测已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝12，a 3＝1.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式； ②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2n b，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．押题依据 本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n 项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力．解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3. 又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列．(2)①由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1.当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12，公比为2的等比数列．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，2n －3，n ≥2.从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)．②由①得b n ＝n －2，从而c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋n ·2n －2.记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝n2(n ＋2)，记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12， 从而T n ＝n2(n ＋2)＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1， 则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为4(n ＋1)(n －1)(n ＋2)＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122， 即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *且n ≠1，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10.A 组 专题通关1．(2018·安徽省“皖南八校”联考)删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A ．2 062 B ．2 063 C ．2 064 D ．2 065答案 B解析 由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k 个平方数与第k ＋1个平方数之间有2k 个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063. 2．(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }中，a 1＝7，a n ＋1－2a n ＋2＝a n ＋1，则a 30等于( ) A ．1 028 B ．1 026 C ．1 024 D ．1 022 答案 D解析 因为a n ＋1－2a n ＋2＝a n ＋1， 所以a n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋2， 即a n ＋1＋2＝a n ＋2＋2a n ＋2＋1， 所以()a n ＋1＋22＝()a n ＋2＋12，即a n ＋1＋2－a n ＋2＝1，故{}a n ＋2是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＋2＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 所以a n ＝n 2＋4n ＋2，所以a 30＝1 022.3．(2018·商丘模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．a n ≥2n ＋1 B ．S n ≥n 2C ．a n ≥2n －1D ．S n ≥2n －1答案 B解析 由题意得a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，a 4－a 3≥2，…，a n －a n －1≥2，∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1)，∴a n －a 1≥2(n －1)，∴a n ≥2n －1. ∴a 1≥1，a 2≥3，a 3≥5，…，a n ≥2n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1， ∴S n ≥n2(1＋2n －1)＝n 2.4．(2018·河南省豫南豫北联考)数列{a n }满足a 1＝65，a n ＝a n ＋1－1a n －1(n ∈N *)，若对n ∈N *，都有k >1a 1＋1a 2＋…＋1a n 成立，则最小的整数k 是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 由a n ＝a n ＋1－1a n －1，得a n ()a n －1＝a n ＋1－1， ∴1a n ＋1－1＝1a n ()a n －1＝1a n －1－1a n，即1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，且a n >1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1 ＝1a 1－1－1a n ＋1－1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝5－1a n ＋1－1<5.又对n ∈N *，都有k >1a 1＋1a 2＋…＋1a n成立，∴k ≥5.故最小的整数k 是5.5．(2018·马鞍山联考)已知f (n )表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f (12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f (21)＝21，那么∑i ＝51100f (i )的值为()A ．2 488B ．2 495C ．2 498D ．2 500 答案 D解析 由f (n )的定义知f (n )＝f (2n )，且若n 为奇数则f (n )＝n ， 则∑i ＝1100f (i )＝f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝1＋3＋5＋…＋99＋f (2)＋f (4)＋…＋f (100) ＝50×()1＋992＋f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝2 500＋∑i ＝150f (i )，∴∑i ＝51100f (i )＝∑i ＝1100f (i )－∑i ＝150f (i )＝2 500.6．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 解析 由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②由①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝2n ＋2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝4，符合上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －kn ＝(2－k )·n ＋2， 令b n ＝(2－k )·n ＋2，∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤k ≤125，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为__________．答案 4解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝43(a n －1－1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)，∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝43(a 1－1)，∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n，∴(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1 ＝2＋4n16＋164n ≥2＋2＝4，当且仅当n ＝2时取“＝”．8．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n <a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是______________． 答案 (3,5)解析 由条件S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)， 得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2， 两式相减，得a n ＋1＋a n ＝8n ＋4， 故a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12， 两式再相减，得a n ＋2－a n ＝8，由n ＝2，得a 1＋a 2＋a 1＝16⇒a 2＝16－2a ， 从而a 2n ＝16－2a ＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ； 由n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝36⇒a 3＝4＋2a ， 从而a 2n ＋1＝4＋2a ＋8(n －1)＝8n －4＋2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ，8n －4＋2a <8(n ＋1)＋8－2a ，解得3<a <5.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (n )＝1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n(n ∈N *，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1a n，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n－1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上， 即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N *)． (2)∵f (n )＝1n ＋1＋2n ＋2＋…＋n 2n， ∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋2n ＋3＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， ∴f (n ＋1)－f (n )＝－⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2>12＋n 2n ＋1－n n ＋1＝12＋n (n ＋1)－n (2n ＋1)(2n ＋1)(n ＋1)＝12－n 22n 2＋3n ＋1 ＝12－12＋3n ＋1n2>0， ∴f (n ＋1)－f (n )>0，∴f (n )是单调递增的， 故f (n )的最小值是f (3)＝2320.(3)∵b n ＝1n ⇒S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，∴S n －S n －1＝1n(n ≥2)，即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…， 2S 2－S 1＝S 1＋1，∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1，∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n ＝(S n －1)·n (n ≥2)， ∴g (n )＝n .10．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.(1)解 由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可知，a n ＝qn －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q2(k －1)>q2(k －1)，所以1＋q 2(k －1)>qk －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n－3n3n －1.B 组 能力提高11．若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n2n ＋3＝1，且a 1＝5，则数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为( )A ．42B ．40C ．30D ．20 答案 B解析 ∵数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n2n ＋3＝1，即a n ＋12(n ＋1)＋3－a n 2n ＋3＝1，且a 12×1＋3＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋3是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n 2n ＋3＝n ，∴a n ＝2n 2＋3n ，由题意可知，∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40.12．(2018·江西省重点中学协作体联考)设x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 3－a n x 2－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n ＋1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020 答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝3a n ＋1x 2－2a n x －a n ＋2， ∵x ＝1是函数f (x )的极值点， ∴f ′(1)＝3a n ＋1－2a n －a n ＋2＝0， 即a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝2()a n ＋1－a n ，∵a 2－a 1＝1，∴a 3－a 2＝2×1＝2，a 4－a 3＝2×2＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，以上各式累加可得a n ＝2n －1.∴b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n . ∴2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 018⎝⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 019＝2 018－2 0182 019＝2 017＋12 019.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 017.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 ∵S n －n ＝2(a n －2)，当n ≥2时，S n －1－(n －1)＝2(a n －1－2)， 两式相减，得a n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)， ∴a n －1a n －1－1＝2(n ≥2)(常数)．又当n ＝1时，a 1－1＝2(a 1－2)， 得a 1＝3，a 1－1＝2，∴数列{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)知，a n －1＝2×2n －1＝2n，∴a n ＝2n＋1，又b n ＝a n ·log 2(a n －1)， ∴b n ＝n (2n＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )， 设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n， 则2A n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减，得－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ×2n ＋1，∴A n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2＋n (n ＋1)2(n ∈N *)．14．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1，n ∈N *.(2)设S m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a m，若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而S m ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而S m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故S m <1.综上，对任何正整数m ，总有S m <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．。