(完整版)圆锥曲线离心率专题历年真题

圆锥曲线中离心率问题测试题一、单选题1．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（ ）A ．y xB ．y xC ．y =±2xD ．y2 ） A ．22124x y -= B ．22142x y -= C ．22146x y -= D ．221410x y -= 3．已知双曲线2222:14x y C t t-=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2BC D4．双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），其中a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．25．椭圆2221x y +=的离心率为（ ）A ．12B ．2CD ．26．椭圆22143x y +=的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D ．147．已知椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的离心率为13，则a b ＝（ ）A ．98B ．2C ．43D ．48．若焦点在y 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．83 D ．69．若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（ ）A B ．2 C D10．焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ） A ．4 B ．94 C ．1 D ．3411．椭圆2212516x y +=的离心率是（ ） A ．35 B ．45 C ．53 D ．3412．若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D ．12二、填空题13．椭圆2213y x +=的离心率为__________． 14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为________.15．已知椭圆短轴上的两个四等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆离心率为___________.16．已知)F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，且E 过点)，则椭圆E 的离心率为______.三、解答题17．求双曲线221169y x -=的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率． 18．已知椭圆22:33C x y +=，求椭圆C 的长轴长、短轴长、顶点坐标、离心率. 19．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率2e =.求椭圆E 的方程． 20．已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，短轴的一个端点为P ．（1）若∠F 1PF 2为直角，焦距长为2，求椭圆C 的标准方程；（2）若∠F 1PF 2为钝角，求椭圆C 的离心率的取值范围．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.22．焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x y m+=，点P 在椭圆上. （1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.参考答案1．A【分析】根据题意可得==c e a c =，整理可得b a=. 【详解】由题意知，==c e a ，所以c =，所以b ==，即b a=所以该双曲线的渐近线方程为b y x a =±=. 故选：A .2．B【分析】根据选项中的双曲线方程，逐项求解，即可得出结果.【详解】A 选项，双曲线22124x y -=的实轴长为2a =，焦距为2c ==心率为c e a ===B 选项，双曲线22142x y -=的实轴长为24a =，焦距为2c ==为6ce a ，满足题意；C 选项，双曲线22146x y -=的实轴长为24a =，焦距为2c ==，所以离心率为c e a =，不满足题意；D 选项，双曲线221410x y -=的实轴长为24a =，焦距为2c ==，所以离心率为2c e a ==，不满足题意；故选：B.3．B【分析】根据离心率的计算公式计算即可.【详解】 解：222214x y t t -=， 由双曲线的定义知：224a t =，22b t =，22222245c a b t t t ∴=+=+=，222225544c t e a t ∴===， 又1e >，2e ∴=. 故选：B. 4．B【分析】根据a =以及222c a b =+可得=c ，再根据离心率公式可得结果. 【详解】因为a =，c ===，所以c e a ===故选：B .【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是找到,,a b c 的等量关系，由a =，222c a b =+可得所要的等量关系.5．B【分析】由方程求出,a c ，再由离心率公式得出答案.【详解】 因为22112x y +=，所以1,a b c ====即212c e a === 故选：B6．B【分析】由椭圆方程得到,a b 的值，然后由222a b c =+求得c 的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得2,a b ==，故1c =，所以椭圆的离心率为12c a =. 故选：B.7．D【分析】由离心率结合222a c b -=即可求出.【详解】因为13c e a ===，所以8a 2＝9b 2，所以4a b =. 故选：D.8．C【分析】12=，即可求解. 【详解】 由焦点在y 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则0m >12=，解得83m =. 故选：C9．C【分析】 根据12b a =和1b =即可得到答案. 【详解】 因为渐近线方程为12y x =-，所以12b a =．又因为1b =，所以2a =．又c =，故离心率2e =故选：C ．10．A【分析】由题意可得22,3a m b ==，则2223c a b m =-=-，再由离心率是12，可得314m m -=，从而可求出实数m 的值【详解】解：由题意可得22,3a m b ==，则2223c a b m =-=-， 因为12c e a ==，所以2214c a =， 所以314m m -=，解得4m =， 故选：A11．A【分析】由椭圆方程得出,,a b c ，可求出离心率.【详解】由椭圆2212516x y +=，可得5,4a b ==，则3c ==所以椭圆2212516x y +=的离心率为35c e a == 故选：A12．D【分析】根据题意椭圆的短轴的一个端点与焦点构成等边三角形,则3b c=，再由22222234a b c c c c =+=+=，可得出答案.【详解】根据题意椭圆的短轴的一个端点与焦点构成等边三角形，如图则1260BF F ∠=︒, 121tan 3OB b BF F OF c∠=== 所以3b c = ，由22222234a b c c c c =+=+=所以12c e a == 故选：D13．63【分析】求出a 、b 、c 的值，进而可求得椭圆2213y x +=的离心率的值. 【详解】在椭圆2213y x +=中，3a =1b =，222c a b =-=所以，椭圆2213y x +=的离心率为c e a ===.故答案为：3. 14【分析】由题意可得双曲线为等轴双曲线，从而可得a b =，进而可求出离心率【详解】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即：a b =，所以c =，所以离心率c e a==15【分析】利用正方形的对角线相等列出方程，由,,a b c 的关系化简可得椭圆的离心率．【详解】 由正方形的对角线相等可得：2b c =，即22224b c a c ==-解得5c e a ==16．2【分析】由右焦点及椭圆所过点坐标列出关于,a b 的方程组，解得,a b 得离心率．【详解】 由题意22222211a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩c =2c e a ==．． 17．答案见解析【分析】求出,,a b c ，再根据双曲线的性质求解.【详解】解：由已知4,3,5a b c ===， 则双曲线221169y x -=的实轴长为28a =， 虚轴长为26b =，顶点为()()0,4,0,4-，焦点坐标为()()0,5,0,5-， 离心率54c e a ==. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，是基础题.18．长轴长2，顶点坐标为：()1,0-，()1,0，(0,，(，离心率3. 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，即可求得该椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标和离心率.【详解】 椭圆标准方程可化为：2213y x += 所以，椭圆中，23a =，21b =，由222a b c =+，可得：22c =，所以，长轴长2a =，短轴长22b =，顶点坐标为：()1,0-，()1,0，(0,，(离心率c e a ===. 【点睛】本题考查椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标和离心率的求解，解答的关键就是将椭圆的方程化为标准方程，确定焦点的位置，并求出a 、b 、c 的值，考查计算能力，属于基础题. 19．2214x y +=. 【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率2e =得2c a =，椭圆方程可求．【详解】 设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.20．（1）2212x y +=；（2）2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题意知12F PF △为等腰直角三角形，且焦距长为2，即可求出,,a b c ，写出椭圆方程即可.（2）由∠F 1PF 2为钝角，即有sin ∠OPF 2＝c a >的取值范围.【详解】（1）因为椭圆短轴的一个端点为P ，且∠F 1PF 2为直角，知b ＝c ，a c ，由焦距长为2，所以c ＝1， a ，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）因为椭圆短轴的一个端点为P ，且∠F 1PF 2为钝角，即45°＜∠OPF 2＜90°，所以sin ∠OPF 2＝2c a >e ∈(0,1)，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭．21．（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=， ∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，b a∴=， ∴方程可化为222212x y a a -=，又双曲线C 经过点M ，代入方程，222212a a ∴-=，解得1a =，b =∴双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==c e a设双曲线C 的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.22．（1）2（2）长轴长4、短轴长2【分析】（1）根据题意，代入点P ，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解,,a b c ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，得2114m +=，解得2m =（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y +=，则2,a b c ===椭圆的长轴长24a =；’短轴长2b =焦距2c =；离心率2c e a ==. 【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.。

1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

圆锥曲线的离心率问题专题训练1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于21，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为 。

3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 。

4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是 。

5．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为 。

6．若点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 。

7．分别过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为 。

8．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为 。

9．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为32-，则椭圆的离心率是 。

10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222>=-a y ax 交于A 、B 两点。

若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为 。

11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若|AF|=6，|AB|=10，co s ∠ABF=54,则椭圆的离心率是 。

圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，+∞）参考答案与试题解析1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．又e＜1，∴．故选B．2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，∴c=离心率e==∵m∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故答案选C5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m＜1，，∴，∴，∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈（1，2），∴＜=＜1，又e1==，∴==+2∈（，3），故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈故选B．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）D．（，+∞）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）解：BD==，∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，∴e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，∴e1+e2=+=+，令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），∴e1+e2∈（，+∞）∴e1+e2的取值范围为（，+∞）．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c=∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（﹣1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，故选A．17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==﹣，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]故选：B20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（0，解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|∵|AF1|==，|EF1|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D．28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得．取A，则B，∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=∴tanα=tan∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B ．（，1）C．（1，）D．（，+∞）解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b，∴c2＜b2=a2﹣c2，∴，又e ＞0，解得．故选A．21。

圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。

过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。

答案为D.(2,+∞)。

2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。

作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。

答案为$\frac{10}{3}$。

3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。

4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。

答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。

圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A 1B 1CD -2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．12C D3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( ) A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ．5．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．C ．1(4D ．11(,)546．在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．2D ．167．已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A ．1-B ．2-CD 18．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11[,]32圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞4．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆2，则双曲线的离心率为( )A ．2BC D5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A B ．2CD ．36．设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD ．37．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．[2，)+∞D ．(1，2]8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．1e <<圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．[2B ．[2，1) C ．[21] D ．2．椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A B C D ．6433．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ． B ．(2 C ．2 D ．4．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．1)C ．1]D ．1，1)5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3 B ．1[3，1) C ．(0，1]2 D ．1[2，1)6．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]237．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．C ．D ．8．椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0B ．，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ．2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e <<3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．4．已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1(0,)3 B ．(0，1]2 C ．1(3，1]2D ．1[3，1)5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ． B ． C ．1(0,)2D ．1(,1)26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1)B ．1)C ．D ．1，1)7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．，1)B ．(0C ．1[2，1)D ．(0，1]28．设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ． B ． C ． D ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1)B ．(0C．，1) D ．1[22．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e << B ．12eC ．12e <D ．12e <3．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．5．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 ．圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．（2021秋•昌邑区校级期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A1B1CD-解：1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，∴△12PF F 是直角三角形，2||PF c =，1||PF =，由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=，∴2c a +=，∴1c e a ==．故选：B ． 2．（2021秋•平城区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( ) A ．35B ．12C．2D解：设直线方程为x y c +，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立得222241()02a b y cy b +-=，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+①223AF F B =，1(c x ∴-，12)3(y x c -=-，2)y ，得123y y =-②，由①②联立可得，22213242a b c +=，即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==D ． 3．（2021秋•青羊区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( )A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)2解：12||3||PF PF =，又点P 在椭圆上，∴由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=， 2||2a PF ∴=，点P 在椭圆上，2||PF a c ∴-，∴2a a c -，即12ce a=， 又1e <，∴112e <，故椭圆的离心率取值范围是1[,1)2．故选：D ． 4．（2021秋•五华区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C． D． 解：由题意可得122||||2c PF PF c --，由题意可得22b c ，而222b a c =-，c e a=， 所以可得：22e，而(0,1)e ∈，故选：D ． 5．（2021春•河南期中）已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A．1)2B． C．1(4D ．11(,)54解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称， 所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=， 可得2221222212y y b x x a -=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<， 可得：2234145c a <-<，解得：c e a =∈，1)2，故选：A ．6．（2021秋•洛南县校级月考）在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12CD ．16解：由椭圆的方程可得22a m =，221b m =-，所以2221c a b =-=，可得1c =，设A 的坐标为0(,)c y ，则220221y c a b +=，所以20||b y a =，所以20182||23AOB b S c y c a ∆=⋅⋅=⋅=，可得3a =，所以离心率13c e a ==，故选：A ．7．（2021•迎江区校级三模）已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A．1-B．2-CD1解：在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ===，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ===，故选：D ． 8．（2021•新华区校级开学）椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．2B ．[2C ．D ．11[,]32解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=， 再由均值不等式可得：2221212||||2||||()()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e，解得22e ，故选：A ． 圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．（2021•安徽开学）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：设11||MF r =，22||MF r =，由余弦定理得：222121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-︒，∴22212124r r r r c +-=，又122r r a +=，即222121224r r r r a ++=，解得222212483a c r r ++=，2212443a c r r -=，2212122r r r r +，∴2222488833a c a c +-， 得224c a ，01e <<，∴1[,1)2e ∈．故选：B ．2．（2021秋•河北月考）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：如图，延长1PF ，交椭圆C 于M ，根据椭圆的对称性可知，21||||QF F M =，则1211||||||||||PF QF PF MF PM +=+=，因为焦点弦||PM 的最小值为22b a ，由题意可知，22b b a ，所以12b a ，则2302e <=．所以C 的离心率的取值范围．故选：C ．3．（2021春•泗县校级期末）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞解：由已知可得1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以22143x y +=，设0(P x ，0)y ，则2200143x y +=，所以220003(22)4x y x =--，若||||PB AB 恒成立，则||2||2PB AB 恒成立，所以200()2(2)2x t y t -+-，整理可得000(2)(2)(2)8x x t x -+-，当02x =时，不等式恒成立，当022x -<，不等式可化为028x t+恒成立，因为021()82max x +=，所以12t ， 综上，t 的取值范围是1[2，)+∞．故选：B ．4．（2021秋•南充月考）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆23，则双曲线的离心率为( ) A ．2B 3C 39D 23解：焦点1(0,)F c ，设曲线的渐近线的方程为ay x b=，因为1F P OP ⊥， 所以直线1F P 的方程为b y c x a -=-，即a y x c b =+，联立b y x c aa y xb ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ab x c =，所以121322OPF ab ab Sc c =⋅⋅=，所以3b a =2222232311()3c c b e a a a ===+=+， 故选：D ．5．（2021秋•许昌月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程()by x c a =-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac -，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b b c a bθ==+，可得222c a n a -=③， 由①②③化简可得2220c ac a --=，()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =，所以离心率2ce a==， 故选：B ．6．（2021秋•南宁月考）设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( ) A ．2BCD ．3解：因为22MF A MAF ∠=∠，所以2||||AM MF =+，故M 在2AF 中垂线上，则M 在曲线右支上， 所以21112MAF MF A AMF MF A ∠=∠+∠=∠，所以11MF A AMF ∠=∠，所以1||||AF AM =， 所以12||||AF MF =，(,0)A a ，2(,0)F c ，故2M a cx +=，22||M MF c a a x c=-， 所以22||()2c a c a MF a c +=⋅-，1||AF c a =+，所以2()2c a c a c a a c+⋅-=+，即22ac c a c a a +-=+，即2242ac c a ac +=+，所以2()42c c c a a a+=+⋅，即240e e --=，所以e =1e >，所以e =B ． 7．（2021•浙江开学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( ) A．)+∞B．C ．[2，)+∞D ．(1，2]解：由题意可得直线1l ，2l 的方程分别为：0bx ay +=，0bx ay -=，设0(P x ，0)y ，则2200221x y a b-=，所以22222200b x a y a b -=，即220000()()bx ay bx ay a b +-=， 所以220000a b bx ay bx ay +=-，设P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d，则001||bx ay d c +==， 同理可得：002||bx ay d c-=， 由题意两点22002200000012||||||||22a b bx ay bx ay bx ay bx ay a b abd d c cc c +-++--+===， 当且仅当22200()bx ay a b -=，即00bx ay ab -=±，时取等号，由题意可得2ab b c ，所以可得2ca ，故选：C ．8．（2021秋•恩施州月考）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．3312e +<<解：如图，(,0)F c ，把x c =代入22221x y a b -=，得2b y a =±，不妨设B 在第一象限，则2(,)b B c a ，由题意可得22b a c a +>，即2222()a ac c a +>-，可得2230e e --<，解得：312e -<<．又1e >，∴双曲线离心率e 的取值范围是312e <<．故选：B ．圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．（2021•江西模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．2[3B ．2[，1) C ．2[31] D ．3[6 解：由已知，点B 和点A 关于原点对称，则点B 也在椭圆上，设椭圆的左焦点为1F ，则根据椭圆定义：1||||2AF AF a +=，根据椭圆对称性可知：1||||AF BF =，因此||||2AF BF a +=①；因为AF BF ⊥，则在Rt ABF ∆中，O 为斜边AB 中点，则||2||2AB OF c ==，那么||2sin AF c α=②，||2cos BF c α=③；将②、③代入①得，2sin 2cos 2c c a αα+=，则离心率11sin cos 2)4c e a πααα===++，由[6πα∈，]4π，5[412ππα+∈，]2π，由562sin 12π+62sin()[4πα++∈1]，则2[e ∈31]，故选：C ．2．（2020秋•潞州区校级期末）椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A 643B 913C 163D ．643 解：椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，∴由椭圆定义得：12||||20PF PF +=，221212||||2||||400PF PF PF PF ∴++=，① 由余弦定理得：22121212||||2||||cos 436PF PF PF PF F PF +-∠=⨯，② 联立①②，得：12256||||3PF PF =，∴△12F PF 的面积是12112563643||||sin 60223S PF PF =︒=⨯=故选：A ．3．（2020秋•尖山区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．3(B ．2(C ．2D ．3 解：设(,)P x y ，90OPA ∠=︒，∴点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：22()(2a x y -+=2)2a，化为220x ax y -+=．联立椭圆方程可化为222322()0b a x a x a b -+-=，解得22P ab x c=，0x a <<，220ab a c ∴<<，化为2222c b a c >=-，212e ∴>，又10e >>21e <<．故选：B ．4．（2020•镇海区校级模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．2[5B ．5[1) C ．2[31] D ．[31，1)解：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形， 又0FA FB =，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形，||||2AB FF c '∴==，设AF n '=，AF m =，则在直角三角形ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，① 得22mn b =，②①÷②得222m n c n m b +=，令mt n=，得2212c t t b +=，又由||||2||FB FA FB ，得[1m t n =∈，2]，2212[2c t t b ∴+=∈，5]2，即22[1c b ∈，5]4即22514c b ，得22415b c ， 即222415a c c -，即224115a c -，则22925a c ，即221529c a ，得1529e 得2523e 则椭圆的离心率的取值范围是2[2，5]3，故选：A ．5．（2020•永康市模拟）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3B ．1[3，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆焦点，且12||3||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，13||2PF a a c =+，12e ∴．∴椭圆离心率的范围是1[2，1)故选：D ．6．（2018•恩施州一模）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]23解：记椭圆的左焦点为1(1,0)F -，则1||1AF =，11||||||PF PA AF +，112||||||||||1910a PF PF PA AF PF ∴=++++=，即5a ；11||||||PF PA AF -，112||||||||||918a PF PF PA AF PF ∴=+-+-=，即4a ，45a ∴，∴11[,]54c a ∈故选：C ．7．（2020秋•安顺期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 解：设2(a P c ，)y ，由FP AP FA AP =-，可得()0FP FA AP +=，则2(a FP FA c c+=-，)(y c +-，2)(2a b c c =-，)y b +，2(a AP c =，)y b -，所以由()0FP FA AP +=，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=，可得：4222220a a b y c--=-，整理可得：4222222()0a a c a c c ---，即42310e e -+，235352e -+，即51512e-+，由于椭圆的离心率小于1511e -<， 故选：C ．8．（2012•西安一模）椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(02B ．2[，1) C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：椭圆方程为：2220x y a +=，21b ∴=，可得221c a =-，21c a =-椭圆的离心率为21a e -=又椭圆上一点P ，使得角122F PF π∠=，∴设点P 的坐标为0(x ，0)y ，结合1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，∴22212000PF PF x c y =-+=⋯① 0(P x ，0)y 在椭圆2221x y a+=上，∴220021x y a =-，代入①可得22200210x x c a -+-=将221c a =-代入，得22200220x x a a --+=，所以4220221a a x a -=-，0a x a -∴220x a ，即4222201a a a a --，解之得22a ∴椭圆的离心率221121[a e a -=-，1)．圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．（2015秋•南关区校级期末）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ． 解：椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，∴设(cos ,sin )P a b αα，则(cos 2,sin )AP a c b αα=+，(cos 2,sin )BP a c b αα=-，AP BP ⊥，∴22222cos 4sin 0AP BP a c b αα=-+=，22222222444c a cos b sin e a a θθ+∴==222222sin 4a cos a sin c a θθθ+-=22224a c sin a θ-=，02θπ<<，∴当0θ→时，12e =；当2πθ=时，e =，∴离心率的取值范围为1)2．2．（2013秋•安吉县校级月考）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e << 解：椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的上顶点为A ，椭圆上存在一点Q ，12120FQF ∠=︒，160F AO ∴∠︒， 1tan 3c F AO b∴∠=，∴33b c∴2222222113b a c a c c c -==-，故2234c a ，32ce a ∴=，又1e <．∴1e <．故选：A ． 3．（2020•池州模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 解：由12PF PF ⊥，知△12F PF 是直角三角形，||OP c b ∴=，即222c a c -，2ac ∴，ce a=，01e <<，∴1e <，故选：C ．4．（2015秋•晋安区校级期末）已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)3B ．(0，1]2C ．1(3，1]2D ．1[3，1)解：由题意设12||2||2PF PF x ==，则22x x a +=，解得23a x =，故14||3a PF =，22||3a PF =，当P 与两焦点1F ，2F 能构成三角形时，由余弦定理可得222121644242cos 9933a a a ac F PF =+-⨯⨯⨯∠，由12cos (1,1)F PF ∠∈-可得222212201644cos (999a a a c F PF =-∠∈，236)9a ，即222436499a a c <<，∴22119c a <<，即2119e <<，∴113e <<； 当P 与两焦点1F ，2F 共线时，可得2()a c a c +=-，解得13c e a ==；综上可得此椭圆的离心率的取值范围为1[3，1)故选：D ．5．（2015秋•西城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．2(0,)2 B ．2(,1)2 C ．1(0,)2D ．1(,1)2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△012P F F 中，10290F P F ∠>︒，Rt ∴△02P OF 中，0245OP F ∠>︒， 所以02P O OF <，即b c <，222a c c ∴-<，可得222a c <，22e ∴>，01e <<，∴212e <<．故选：B ．6．（2018秋•城厢区校级期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0,21)- B ．2(2，1) C ．2(0,)2D ．(21-，1)解：在△12MF F 中，由正弦定理可得，122112||||sin sin MF MF MF F MF F =∠∠， 又1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，即有1222||2||||||MF a MF c a MF MF -==，解得222||a MF a c=+， 由于2||a c MF a c -<<+，即有22()()2()a c a c a a c -+<<+，即为2222a c a -<，显然成立； 又2a a c <+，即有(21)c a >-，则离心率(21ce a=∈-，1)．故选：D ．7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．3[2，1) B ．(0，3]2 C ．1[2，1) D ．(0，1]2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．存在点P 为椭圆上一点， 使得1260F PF ∠=︒，∴△012P F F 中，10260F P F ∠︒， Rt ∴△02P OF 中，0230OP F ∠︒，所以023P OOF ，即3b c ，2223a c c ∴-，可得224a c ，∴12ca ，01e <<，∴112e <．故选：C ． 8．（2015•怀化二模）设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．3[,1)2B ．3(,1)2C ．3(0,)2D ．3(0,]2解：1(,0)F c -，2(,0)F c ，0c >，设1(P x ，1)y ，则11||PF a ex =+，21||PF a ex =-．在△12PF F 中，由余弦定理得2221111()()41cos12022()()a ex a ex c a ex a ex ++--︒=-=+-，解得2221243c a x e -=．21(0x ∈，2]a ，2222430c a a e -∴<，即22430c a -．且21e <32c e a ∴=． 故椭圆离心率的取范围是3[,1)2e ∈．故选：A ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．（2013•天心区校级二模）已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1) B ．(0，]2 C．[2，1) D ．1[2，2解：由0PA PB =，可得90APB ∠=︒，利用圆的性质，可得||OP =，222||2OP b a ∴=，222a c ∴ 212e ∴，01e <<∴1e <故选：C ．2．（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e <<B ．12eC ．12e <D ．12e <解根据双曲线定义可知12||||2PF PF a -=，即223||||2PF PF a -=．2||a PF ∴=，1||3PF a = 在△12PF F 中，1212||||||F F PF PF <+，224||c PF <，22||2c PF a <=，∴2ca<， 当p 为双曲线顶点时，2ca=又双曲线1e >，12e ∴<故选：C ． 3．（2016秋•双台子区校级期中）设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是． 解：设0(P x ，0)y ，则0||x a <，又12F PF ∠为钝角，当且仅当120PF PF <有解， 即22200c x y >+有解，即22200()minc x y >+．又2222002b y b x a =-，2222220002[c x y b x b a∴+=+∈，2)a ，即2220()minx y b +=．故22c b >，222c a c >-，∴2212c a >，即e >，又01e <<，∴1e <<．故答案为：． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是1] ． 解：21||||PF aPF c=，P ∴在双曲线右支，设P 点的横坐标为o x ，注意到o x a ． 由双曲线第二定义得：1||o PF a ex =+，2||o PF ex a =-，则有00ex a a a ex c -=+，得()o a a c x a ec ea+=-，分子分母同时除以a ，得：2a ca e e+-，∴211ee e+-，解得121e<+．故答案为：(11]．5．（2012•江苏模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 (1，3] ． 解：P 为双曲线左支上一点，12||||2PF PF a ∴-=-，21||||2PF PF a ∴=+，①又221||8||PF a PF =，②∴由①②可得，1||2PF a =，2||4PF a =．1212||||||PF PF F F ∴+，即242a a c +，∴3c a ，③ 又1122||||||PF F F PF +>，224a c a ∴+>，∴1ca>．④ 由③④可得13c a <． 故答案为：(1，3]．。

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝ ＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已 知 椭 圆 与 双 曲 线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2， 令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α）， 则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝ 时， 的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。

圆锥曲线离心率训练题一、单选题（共25题；共50分）1.已知抛物线上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 42.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.3.设椭圆的左右焦点为，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点，若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.5.已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于两点，交y轴于C 点，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.7.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 39.已知，是双曲线，的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 211.已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.13.椭圆的离心率是（）A. B. C. D.14.双曲线的焦点到渐近线的距离是( )A. 1B.C.D. 215.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A. B. C. D.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.17.设，为双曲线的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.18.已知点是双曲线上一点，若点p到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 219.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角之差为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.20.已知正六边形的两个顶点为双曲线：的两个焦点，其他顶点都在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 421.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C.D.22.已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.23.设双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的点，且与轴垂直，的内切圆的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.24.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】因为抛物线上的点到准线的最短距离为,所以,故答案为：C.【分析】抛物线上的点到准线的最短距离为,据此列式求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由题意知，圆心为在轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，则圆心到渐近线的距离为半径，即，即，又，则，解得.故答案为：A.【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即，结合双曲线中，进而可求出离心率的大小.3.【答案】C【解析】【解答】根据题意，作图如下：由得，，由即，整理得，则，得故答案为：C.【分析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.4.【答案】B【解析】【解答】双曲线的渐近线为由渐近线与圆相切所以可得两边平方：，又所以，则所以，由，所以故答案为：B【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及的关系，结合离心率公式，可得结果.5.【答案】B【解析】【解答】设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，过做，垂足为，则，，，又点在双曲线上，，.故答案为：B.【分析】设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点P做，垂足为M，根据题意有，可得轴，进而将用C表示，结合双曲线定义，即可求解.6.【答案】A【解析】【解答】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：A.【分析】由直线过椭圆的左焦点F，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.7.【答案】D【解析】【解答】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故答案为：D.【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.8.【答案】A【解析】【解答】由已知，，渐近线方程为，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故答案为：A.【分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.9.【答案】D【解析】【解答】由题意，双曲线的焦点坐标为，所以，即等边三角形的边长为，所以的高为，即，所以中点，代入双曲线的方程，可得，整理可得，又由，可得，两边同除，可得，解得，又因为，所以，即.故答案为：D.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标，进而可求得三角形的高，得到点M的坐标，再求得点N的坐标，代入双曲线的方程求得的关系，即可求得双曲线的离心率.10.【答案】A【解析】【解答】由题意知，，，三角形为等边三角形，则，，则，解得，故离心率为，故答案为：A.【分析】由题意知，，三角形为等边三角形，从而可以得到，即可求出离心率。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。