黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题理

2017年黑龙江省大庆市高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|1≤3x ≤81}，B={x|log 2（x 2﹣x ）＞1}，则A ∩B=（ ）A ．（2，4]B ．[2，4]C ．（﹣∞，0）∪[0，4]D ．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]2．已知复数z 1=2+6i ，z 2=﹣2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z|=（ ）A ．B ．5C ．2D ．23．命题∀m ∈[0，1]，则的否定形式是（ ）A ．∀m ∈[0，1]，则B ．∃m ∈[0，1]，则C ．∃m ∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D ．∃m ∈[0，1]，则4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 6=（ ）A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣45．二项式（x+1）n （n ∈N *）的展开式中x 2项的系数为15，则n=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C． D．9．设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A．（2，5）B．[2，5）C．（2，5] D．[2，5]10．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A．B．C．D．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为．14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．16．已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望E （X ）和方差D （X ）．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．20．已知F1，F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【考点】A8：复数求模．【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则【考点】2J：命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是：∃m∈[0，1]，则故选：D．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6=（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值．【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，可得（a1+2d）2=a1（a1+3d），由等差数列{a n}的公差为d=2，即有（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=﹣8，则a6=a1+5d=﹣8+10=2．故选：A．5．二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出n的值．【解答】解：二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6或n=﹣5（不合题意，舍去），∴n的值是6．故选：C．6．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，故选D．7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．8．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．9．设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A．（2，5）B．[2，5）C．（2，5] D．[2，5]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线y+x=6与直线x=1交于点A，直线2x=y与直线x=1交于点B，可得A（1，5），B（1，2），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=5，k的最小值k OB=2．因此，的取值范围为[2，5]故选：D．10．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的高是2，利用等积法得到关于r的等式，求得r．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，如图各侧面面积分别为=2，2，以及，，三棱锥的高是2，设内切球半径为r，则，解得r=；故选C．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选B．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】3T：函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为9+4．【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得a+4b=1，可得+=（+）（a+4b）=9++，由基本不等式可得．【解答】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，∵a，b为正实数，∴+=（+）（a+4b）=9++≥9+2=9+4当且仅当=，即a=b时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+414．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，则将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；故答案为：16．16．已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为t≥．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，化简=…==（﹣）；计算+++…+＜，从而求出t的取值范围．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===（﹣）；∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣＜；要使恒成立，则实 数t 的取值范围是t ≥．故答案为：t ≥．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，角A ，B ，C 所对的边分别为．（1）求角C ；（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【考点】HR ：余弦定理；HP ：正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得：=sinC ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanC 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）=4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣ab ，消去c 2，结合基本不等式可求ab ≤，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵由已知及正弦定理可得： =sinC ，∴由余弦定理可得：，即，∴由C ∈（0，π），可得．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）=22+c 2=4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣ab ， 消去c 2得：（当且仅当a=b 时，等号成立）， 即．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望E （X ）和方差D （X ）．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K 2，与3.841比较即可得出结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是为．由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得=．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．由题意X～B（3，），从而X的分布列为，D（X）=np（1﹣p）=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取PA的中点N，连接QN，BN，则可证四边形BCQN为平行四边形，得出CQ∥BN，于是CQ∥平面PAB；（II）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO，则可证OB⊥AD，PO⊥平面ABCD，以O为原点建立坐标系，求出和平面ACQ的法向量的坐标，则|cos＜＞|即为直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接QN，BN．∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=AD．∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，∴AD==4，∴BC=AD．又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，∴四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．（Ⅱ）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO由（1）知PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．设平面AQC的法向量为=（x，y，z），，∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．∴cos＜，＞===﹣．∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．20．已知F1，F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，故所求椭圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，|AF2|=，|BF2|=，==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；63：导数的运算．【分析】（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f（x）在[0，]上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在[0，]上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x ＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f（x）=e x sinx﹣cosx，∴f′（x）=e x（sinx+cosx）+sinx，∵x∈（0，），∴f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，）上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥[m﹣g（x2）]min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈[0，]，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，]上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（3）x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x，通过变换可得曲线C1的方程．（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．可得参数方程：（t为参数），代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0，利用|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x．将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：y2=2（x﹣1）．（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，可得直角坐标方程：x+y﹣2=0．可得参数方程：（t为参数）．代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0．解得t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣4．．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若∃x0∈R，使得f（x0）+f （x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞f min（x），解出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，∵∃x0∈R，使得，即成立，∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．。

黑龙江省大庆市2017届高三数学第三次教学质量检测（三模）试题理（扫描版）理科数学 参考答案：(请各位阅卷教师核对答案和评分标准后，再开始阅卷） 一．BABDC BADBD DA 二．13．2 14．[)+∞,3 15．5316． b a c >> 17．解： （1）由CAc C b B sin 3sin 32cos cos =+， 应用余弦定理，可得ca abc cb a abc b c a 33222222222=-++-+ ..................2’化简得32=b 则23=b ..................4’ （2） 2sin 3cos =+B B1sin 23cos 21=+∴B B 即1)6sin(=+B π ....................6’ ),0(π∈B 26ππB =+∴ 所以3πB = ....................8’ 法一. 1sin 2==BbR , 则C A c a sin sin +=+=)32sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 23+ =)6sin(3π+A .................10’又,320π<<A 323≤+<∴c a .................12’ 法二 因为23=b 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= 得ac c a 3)(432-+=， 又因为2)2(c a ac +≤，当且仅当c a =时“=”成立。

所以ac c a 3)(432-+=4)()2(3)(222c a c a c a +=+-+≥ .........10’ 3≤+∴c a 又由三边关系定理可知23=>+b c a 综上⎥⎦⎤⎝⎛∈+3,23c a .................12’ 18．解：⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有36C 种， .............2’所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为211621511)(3936=-=-=C C A P .....4’⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，n ，n 3，n 6.（单元：元），0ξ=表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以6427)411()41()0(3003=-==C P ξ， 同理6427)411()41()(2113=-==C n P ξ;649)411()41()3(223=-==C n P ξ;641)411()41()6(0333=-==C n P ξ;........8’ 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是161564166493642764270nn n n E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ， ........10’ 由601615≤n，解得64≤n ， 所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利. .............12’19题．（1）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ，............1’ ∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2错误！未指定书签。

2017届黑龙江省大庆市高三第二次模拟考试（二模）试卷理科数学第I 卷：选择题共60分一 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合{-2-1012}{|22}A B x x A B ==-<≤= ，，，，，，则（ ）A ．{-1012}，，，B ．{-101}，，C ．{-2-101}，，，D ．{-2-1012}，，，，2．复数ii+1-2对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(2,1),(3,)a b x =-= ，若3a b ⋅=，则x = （ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．54C ．53D5．已知条件p ：46x -≤；条件q ：1x m ≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(]1,-∞-B ．(]9,∞-C ．[]9,1D ．[)∞+，9 6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S =（ ）A ．14B ．30C ．62D ．1267．1()nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．56B ．35C ．－56D ．－358．已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是（ ） A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥ B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥9．已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的值可以是（ ）A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是（ ） A ．2人B ．3人C ．2人或3人D ．4人11．已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B (点A 在x 轴下方)，点1A 与点A 关于x 轴对称，若直线AB 斜率为1，则直线1A B 的斜率为（ ）ABCD12．下列结论中，正确的有（ ）①不存在实数k ,使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根；②已知△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222a b c +=， 则角C 的最大值为6π； ③函数y=ln与ln tan2xy =是同一函数； ④在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同 于,A B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值．A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④第II 卷：非选择题共90分二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则6S = __________． 14．已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为______．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16．下列命题正确是 ． (写出所有正确命题的序号) ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称； ②若(0,1)a ∈，则111aaa a++<；③函数1()ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()12lg 2++=x ax x f 为奇函数．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，4b =，2B A π=+．（1）求cos B 的值；（2）求sin 2sin A C +的值．18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且AB AA =1，F E ,分别是BC CC ,1的中点． （1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ； （2）求二面角F AE B --1的余弦值．19．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]1000，，样本数据分组为第一组[)200，，第二组[)4020，，第三组[)6040，，第四组[)8060，，第五组[]10080，．（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选4家，这4家企业年上缴税收少于20万元的家数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bya x经过点P，离心率e = ，直线l 的方程为4=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与l 相交于点M ，记PM PB PA ,,的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）设),()(x xf x g =若0,a >对于任意的两个正实数1212,()x x x x ≠，证明：12122()()()2x x g g x g x +<+．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253 (t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin a =． （1）若2=a ，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数5212)(++-=x x x f ，且m x f ≥)(恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：8223-≤--m x x ．2017届黑龙江省大庆市高三第二次模拟考试（二模）试卷理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．2015．6116．①③17．解：（1）∵2B A π=+，∴2π-=B A ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又3,4a b ==，所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =， 又22sin cos 1B B +=，所以3cos 5B =±，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 而2B π>，所以3cos 5B =-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）∵3cos 5B =-，∴4sin 5B =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∵2B A π=+，∴22A B π=-，∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分432sin cos 2()55B B =-=-⨯⨯-=分 又A B C π++=，∴322C B π=-，∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=．．．．．．．．．12分 18．解答：（1）证明：∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥．又∵侧棱ABC AA 平面⊥1， ∴面ABC ⊥面11BB C C ．．．．．．．．．．．2分 ∴AF ⊥面11BB C C，1AF B F ⊥．…3分 设11AB AA ==，则，EF=，．∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．．．．．．．．．．．．4分又AF EF F ⋂=，∴1B F ⊥平面AEF ．…而1B F ⊂面1AB F ，故：平面1AB F ⊥平面AEF ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）解：以F 为坐标原点，FA ，FB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图，设11AB AA ==，则(0,0,0)F ，A ，1(0,B，1(0,)2E ，1()2AE = ,1(AB = ．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，取平面AEF 的法向量：1m FB == ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由,取3x =，得(3,1,22)n =-．．．．．．．．．．．．．10分设二面角1B AE F --的大小为θ，则cosθ=|cos ＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角1B AE F --的余弦值为．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．解答： 解：（I ）由直方图可得：20(x 0.0250.00650.0032)1⨯+++⨯=解得0.0125x =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 （II ）企业缴税收不少于60万元的频率0.0032200.12=⨯⨯=， ∴12000.12144⨯=．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （III ）X 的可能取值为0,1,2,3,4．由（I ）可得：某个企业缴税少于20万元的概率10.0125200.254=⨯==．．．．．．．．．5分 25681)43()41()0(4004===C X P 6427)43()41()1(3114===C X P6427)43()41()2(2224===C X P 643)43()41()3(1334===C X P2561)43()41()4(0444===C X P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．．．．．．．．．．11分∴12561464336427264271256810)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ．．．．12分 20．解：（1）由点P 在椭圆上得，22421a b+=①c e a ==又所以② 由 ①②得2224,8,4c a b ===，故椭圆C 的方程为22184x y+=……………………．．4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=．由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(2)y k x =-③代入椭圆方程22184x y +=并整理得2222(12)8880k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22121222888,1212k k x x x x k k -+==++④ ……………6分 在方程③中，令4x =得，(4,2)M k，从而12k k ==3k k ==-．又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有121222y yk x x ==--……………8分 所以=+21kk =12121211)2222y y x x x x +-+----=2k -12121242()4x x x x x x +--++⑤ ……………10分将④代入⑤得=+21kk 2k -22222284122888241212k k k k k k k -+=--+++3k k =-， 所以=+21k k 32k ．故存在常数2=λ符合题意…………12分 21．【解答】解：（1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，'11()1xf x x x-=-+=， 令'()0f x =，得1x =．当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <． ．．．．．．．．．．．．．2分 ∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．max ()(1)1f x f ==-．∴函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为1-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）∵'111(),(0,],[,)f x a x e x x e=+∈∈+∞． ①若1a e≥-，则'()0f x ≥，从而()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴max ()()10f x f e ae ==+≥，不合题意．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 ②若1a e<-，则由'1()00f x a x >⇒+>，即10x a<<- 由'1()00f x a x <⇒+<，即1x e a -<≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 从而()f x 在1(0,)a -上增函数，在1(,)e a -为减函数∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+-令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a-=-∴21e a --=，即2a e =-．∵21e e -<-，∴2a e =-为所求⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （3）法一：即证221212121211222()2()ln()ln ln 222x x x x x x a ax ax x x x x ++++≤+++ 22222212121212()2()[]22x x x x a ax ax a x x ++--=⋅--212()02x x a -=-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分另一方面，不妨设12x x <，构造函数11111()()ln()ln ln ()2x xk x x x x x x x x x +=+--> 则1()0k x =，而'1()ln ln ln 2x x k x x +=-=分 由10x x <<易知1012x xx+<< , 即'()0k x <，()k x 在1(,)x +∞上为单调递减且连续，故()0k x <，即1111()ln()ln ln 2x xx x x x x x ++<+相加即得证 12分 法二：'''1()21ln ,()20g x ax x g x a x=++=+> ．．．．．．．．．．9分 故'()g x 为增函数，不妨令21x x > 令111()()()2()()2x xh x g x g x g x x +=+-> ''1()'()()2x xh x g x g +=-．．．．．．．．．．10分 易知12x x x +>，故''1()'()()02x xh x g x g +=-> ．．．．．．．．．11分 而1()0h x =，知1x x >时，()0h x > 故2()0h x >，即12122()()()2x x g g x g x +<+ ．．．．．．．．．12分 22．解 (1)2a =时，圆C 的直角坐标方程为22(y 1)1x +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)圆C ：42222a a y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，直线:4380l x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C 倍， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∴圆心C 到直线的距离3812522a a d -==⨯，得32a =或3211a =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23．解 (1)544,251(x)6,22144,2x x f x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 当5122x -≤≤时，函数有最小值6，所以6m ≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 另解：∵2125(2x 1)(2x 5)66x x -++≥--+=-=．∴6m ≤．(2)当m 取最大值6时，原不等式等价于324x x --≤， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分等价于3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分可得3x ≥或133x -≤<． 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。

2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（二）（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，1）∪（1，3）C．（0，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）2．已知实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），记z=a+bi，则|z|是（）A．B．C．5 D．253．设，是非零向量，则“，共线”是“||+||=|+|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣1，2），B（3，4），C为AB中点，则•的值是（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣206．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺7．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2] 9．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．若，则=（）A．1 B．C．D．11．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（）A．有最大值B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设a=dx，则二项式（x+）（2x﹣）5的展开式中的常数项是．14．在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，则△ABC的面积是．15．已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是．16．过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n﹣1﹣1）a n﹣2a n﹣1=0（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b1=1，b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．18．交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．20．已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．设函数f（x）=x2﹣alnx﹣（a﹣2）x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2（1）求满足条件的最小正整数a的值；（2）求证：．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，直线l：，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：，若直线与y轴正半轴交于点M，与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数t M（用α表示）；（Ⅱ）设曲线C的左焦点为F1，若|F1B|=|AM|，求直线l的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（二）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，1）∪（1，3）C．（0，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B交集有4个子集，得到A 与B交集有2个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），∵B={1，a}，且A∩B有4个子集，即A∩B有两个元素，∴a的范围为（0，1）∪（1，3）．故选：B．2．已知实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），记z=a+bi，则|z|是（）A．B．C．5 D．25【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），∴a+1+（1﹣a）i=3+bi，可得a+1=3，1﹣a=b，解得a=2，b=﹣1．∴z=a+bi=2﹣i，则|z|=．故选：B．3．设，是非零向量，则“，共线”是“||+||=|+|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若，共线，则=m，但m＞0时，满足“||+||=|+|”，当m＜0时，“||+||＞|+|”，则充分性不成立，反之若“||+||=|+|”，平方得“||2+||2+2||||=||2+||2+2•”，即||||=||||cos＜，＞，则cos＜，＞=1，则＜，＞=0，即，共线，即必要性成立，则“，共线”是“||+||=|+|”的必要不充分条件，故选：B4．设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】4W：幂函数图象及其与指数的关系．【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣1，2），B（3，4），C为AB中点，则•的值是（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，求出向量、，计算•．【解答】解：平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣1，2），B（3，4），∴=（4，2）；又C为AB的中点，∴C（1，3），=（1，3）；∴•=4×1+2×3=10．故选：A．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．7．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．8．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2]【考点】7C：简单线性规划．【分析】要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，画出可行域，求出y=2x与x+y+6=0的交点坐标，然后求解m即可．【解答】解：由题意，约束条件，的可行域如图，由，可求得A交点坐标为（﹣2，﹣4）．要使直线y=2x上存在点（x，y）满足，如图所示．可得m＞﹣2．则实数m的取值范围（﹣2，+∞）故选：A．9．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】E7：循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选D．10．若，则=（）A．1 B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简所求的表达式，代入求解即可．【解答】解：，则===．故选：B．11．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】作出简图，则＞，则e=．【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（）A．有最大值B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：B．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设a=dx，则二项式（x+）（2x﹣）5的展开式中的常数项是120．【考点】DC：二项式定理的应用；61：变化的快慢与变化率．【分析】求定积分得到a的值，再利用二项式定理把（2x﹣）5 展开，可得（x+）（2x﹣）5的展开式中的常数项．【解答】解：∵a=dx=lnx=2，则二项式（x+）（2x﹣）5=（x+）（2x﹣）5=（x+）•（•（2x）5+•（2x）4•（﹣）+•（2x）3•+•（2x）2•+•（2x）•+（﹣）5 ，=（x+）•（32x5﹣80x3+80x﹣40•+10•﹣），故展开式中的常数项为﹣40+2•80=120，故答案为：120．14．在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，则△ABC的面积是2．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函数基本关系式解得sinB，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c2sinA=5sinC，∴ac2=5c，可得：ac=5，∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac （1+cosB）=16，∴cosB=，解得sinB==，=acsinB==2．∴S△ABC故答案为：2．15．已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】利用面面平行的性质可得m∥BC，n∥CE，故∠BCE即为所求角，设棱锥侧棱长为1，利用余弦定理计算cos∠BCE．【解答】解：∵α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，平面EBC∩平面ABC=BC，∴m∥BC，同理可得：n∥CE，∴∠BCE为直线m，n所成的角．设正三棱锥的侧棱为1，则BC=，CE=BE=，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠BCE==．故答案为：．16．过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，即P在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n﹣1﹣1）a n﹣2a n﹣1=0（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b1=1，b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）推出数列{a n}是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）变形可得（a n﹣2a n﹣1）（a n+1）=0，即有a n=2a n﹣1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n﹣1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为2的等比数列，则…由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，，和b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）作差得，，整理得：，∴=1，∴b n=n∴；b n=n，n∈N*…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，∴，两式作差得：…．18．交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：…所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．…②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AC交BD于E，连接QE，由线面平行的性质可得PA∥QE，则Q为PC的中点．以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDQ与平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB，∵PAD是边长为2的正三角形，∴，∵，∴OB2+OP2=PB2，则OP⊥OB，∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，又OP⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：连接AC交BD于E，连接QE，∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，又E为AC的中点，∴Q为PC的中点．以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1，）．．设平面BDQ的一个法向量为．由，得，取z=2，得．由图可知，平面ABD的一个法向量．∴cos＜＞==．∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为．20．已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出k，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为：x=my+t，A（，y1）、B（，y2），联立得y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，与y1y2=﹣4t，由得：⇒y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）．即，所以直线AB过定点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，同理得，=，则四边形AGBD面积=，令，则是对称轴为μ＜0，开口向上，函数是关于μ的增函数，当μ=2时函数取得最小值．故S min=88．当且仅当m=1时取到最小值88．21．设函数f（x）=x2﹣alnx﹣（a﹣2）x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2（1）求满足条件的最小正整数a的值；（2）求证：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，即可得出单调性．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数f（x）有两个零点，所以a＞0，f（x）的最小值f（）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，可得，令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且，因此存在a0∈（2，3），h（a0）=0，进而得出小正整数a的值．（2）不妨设0＜x1＜x2，于是﹣alnx1=﹣alnx2，可得a=．由于=0，当x∈时，f′（x）＞0．只要证即可，即证明x1+x2＞．，即证＜．设=t∈（0，1）．令m（t）=lnt﹣，利用导数研究其单调性即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=，（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），此时f（x）无单调减区间；当a＞0时，由f′（x）＞0，得，f′（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数f（x）有两个零点，所以a＞0，f（x）的最小值f（）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴，令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0，所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，=＜0，f（1）=0，所以a=3时，f（x）有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（2）证明：不妨设0＜x1＜x2，于是﹣alnx1=﹣alnx2，∴a=．，因为=0，当x∈时，f′（x）＜0；当x∈时，f′（x）＞0．故只要证即可，即证明x1+x2＞．，即证+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＞﹣﹣2x2．也就是证＜．设=t∈（0，1）．令m（t）=lnt﹣，则m′（t）=﹣=．∵t＞0，所以m'（t）≥0，当且仅当t=1时，m'（t）=0，所以m（t）在（0，+∞）上是增函数．又m（1）=0，所以当m∈（0，1），m（t）＜0总成立，所以原题得证．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，直线l：，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：，若直线与y轴正半轴交于点M，与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数t M（用α表示）；（Ⅱ）设曲线C的左焦点为F1，若|F1B|=|AM|，求直线l的倾斜角α的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由，得ρ2+2ρ2sin2θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程；由题意可知点M的横坐标为0，代入，由此能求出点M对应的参数t M．（Ⅱ）直线过定点，将代入，得，由此利用|F1B|=|AM|，能求出直线l的倾斜角α的值．【解答】解：（Ⅰ）由得ρ2+2ρ2sin2θ=3，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴曲线C的直角坐标方程为．…，又由题意可知点M的横坐标为0，代入，∴…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点，将代入，化简可得，设A、B对应的参数分别为t1，t2，∵|F1B|=|AM|，∴|t1+t2|=|t M|，sinα=，∴0，∴α=．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．【考点】33：函数的定义域及其求法；R5：绝对值不等式的解法；RK：柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．2017年6月21日。

2017年大庆一中高三考前模拟测试数学试卷附答案第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2,21,,xA x xB y y x A =<==-∈则A ∩B=（ ） A ．（﹣∞，3）B ．[2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，2）2.已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数是（ ）A ．1﹣3iB ．1+3iC ．﹣1+3iD ．﹣1﹣3i3.设a ∈R ，则“a=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-ay-1 =0平行”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设变量,x y 满足线性约束条件500,3x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A. 6B. 4C. -2D. -6 5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =,4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A. 83B. 1636．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出 的结果为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 77.用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（ ） A ．9个 B ．18个C ．12个D ．36个8．在△ABC 中，若∠C=60°，则=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ） A ．8日 B ．9日 C. 12日 D ．16日10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）A. 211．三棱锥S ﹣ABC 及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S ﹣ABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．48πB ．72πC ．84πD ．60π12．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. ()1,0-C. ()2,1--D. ()()2,11,0--⋃-第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若5⎛⎝展开式中的常数项为80，则实数a =__________．14．已知函数的两个零点分别为m 、n （m ＜n ），则=⎰．15．点P 是双曲线上任意一点，则P 到两渐近线距离的乘积是 ．16．如图，直角梯形ABCD 中， AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中， 090C ∠=，点,M N 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅= ，则MD DN ⋅的取值范围是 _____________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ， ()21nn n S a =-，且11a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．19. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 3AB =， AD =，45ABC∠=︒， P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =， 2BE EA =， F 为AD 的中点， M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）当平面PAM 与平面ABCD 所成的二面角的P ABCM -的体积．20．（12分）已知O 为坐标原点， 12,F F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，其离心率e ， M 为椭圆C 上的动点， 12MF F ∆的周长为4+ （1）求椭圆C 的方程； （2）已知椭圆的右顶点为A ，点,B C （C 在第一象限）都在椭圆上，若OC BA λ=，且·0OC OB = ，求实数λ的值.21．（12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>. （Ⅰ） 判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ） 若()1kf x x >+恒成立, 求整数k 的最大值；请考生在第21～22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，所以.故选择B.2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选择A. 3. 设为等差数列的前项和，若，则首项（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据等差数列前项和公式，所以，则.故选择B.4. 在区间内随机取两个数分别为，则使得方程有实根的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】满足题中条件的点构成的区域为正方形，如下图，方程有实根的条件是，即，，如上图中阴影部分，根据几何概型可知，方程有实根的概率为.故选择C.5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（）A. B. C. D.【答案】C本题选择C选项. 学#科网6. 给出下列四个命题：①若，则或；②,都有；③若是实数，则是的充分不必要条件；④“” 的否定是“” ；其中真命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】B7. 已知等比数列的公比，则的前项和（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：，数列的前4项和.本题选择A选项.8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】由图像可知，则，，所以，又，即，，由于，所以，则，为了得到的图像，只需将图像向右平移个单位.故选择D.9. 在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B本题选择B选项.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示，根据上图计算可得三棱锥的表面积为.故选择D.点睛：三视图是高考的必考题，主要结合体积、表面积进行考查.基本解题思路是遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，重点考查学生空间想象能力.如果根据三视图直接还原几何体比较困难时，可以考虑将几何体置于正方体、长方体等特殊的几何体中，这样比较容易确定点、线、面的位置关系，另外还要注意三视图中给出的长度是否与原几何体中的长度相等.11. 已知点分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，所给的条件都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题即可．12. 设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选B．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】2【解析】解：由题意可知：.点睛：由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，可确定一个原函数进而求定积分.14. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】解：如图所示，封闭区域ABC表示可行域，直线恒过定点，区域有公共点，其临界条件如图中虚线所示，其中不存在，综上可得，实数的取值范围为.15. 某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________．【答案】16. 巳知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则的大小关系是__________．【答案】【解析】设函数，则，所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递增，又因为为奇函数，所以为偶函数，根据偶函数性质，又因为，所以，即.点睛：本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由，则===又法二因为由余弦定理综上考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.18. 五一期间，某商场决定从种服装、种家电、种日用品中，选出种商品进行促销活动. （1）试求选出种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高元，规定购买该商品的顾客有次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则获得数额为元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问: 商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？【答案】⑴;⑵.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求解没有家电的概率，结合对立事件的概率公式求解至少有一种是家电的概率即可；(2)利用题意得到关于的分布列，结合数学期望讨论商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利即可.试题解析：⑴设选出的种商品中至少有一种是家电为事件A，从种服装、种家电、种日用品中，选出种商品，一共有种不同的选法，选出的种商品中，没有家电的选法有种，所以，选出的种商品中至少有一种是家电的概率为⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为0，，，.（单元：元），表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以，同理;所以最高定为元，才能使促销方案对商场有利.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．19. 如图，在四棱锥中，底面, 是直角梯形，，且是的中点.（1）求证: 平面平面；（2）若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析; (2) .【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，然后结合面面垂直的判断定理即可证得结论；(2)利用题意建立空间直角坐标系，然后结合二面角的余弦值求得点P的坐标，据此求解直线与平面所成角的正弦值即可.试题解析：（1）平面平面,，，∴AC又平面，平面平面平面．(2)如图，以为原点，为中点）、20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）本问主要考查待定系数法求椭圆标准方程，首先设椭圆方程为，然后根据条件列方程组，求解后即得到椭圆标准方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合问题，分析可知，内切圆面积最大时即为内切圆半径最大，的面积可以表示为，由椭圆定义可知的周长为定值，这样的面积转化为，然后再根据直线与椭圆的位置关系，的面积表示为，这样可以联立直线方程与椭圆方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，最后转化为关于的函数，即可求出最值.由得，得.则，令，可知，则，令，则，当时，，在上单调递增，有，即当时，，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线内切圆面积的最大值为. 学@科网考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的综合.点睛：直线与圆锥曲线问题一直以来都是考查的热点，一方面考查学生数形结合、划归转化思想的能力，另一方面考查学生分析问题及计算的能力.解题时注意到直线的斜率为0以及斜率不存在这两种特殊情况，这就决定我们在设直线方程时是选择用，还是用，这样可以避免讨论.在解决最值问题时，可以通过换元法，转化为函数、导数问题求最值，也可以利用不等式思想求最值，重点考查学生函数方程、不等式思想的应用.21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数有两个极值点且,若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单增区间为；单调减区间为;(2);（3）.【解析】试题分析：令在上单调递增，∴，对恒成立，,对恒成立，又，当时取等号，，故.（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.（1）求出的普通方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】(1);(2)【解析】试题分析：（1）本问首先应用伸缩变换公式，根据公式可以得到变化后的参数方程为（为参数），即，于是可以根据画为普通方程；（2）将曲线的普通方程与直线的方程联立，可以解方程组，方程组的解分别为两点坐标，于是可以求出直线的斜率及中点坐标，根据垂直关系可以求出线段的垂直平分线的方程，然后根据极坐标与直角坐标互化公式，即得到直线的极坐标方程.试题解析：(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，.化为极坐标方程得：，即学科&网考点：1.伸缩变换公式；2.极坐标方程；3.参数方程.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）设，试比较与的大小.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）讨论的范围，去掉绝对值符号，分段求出不等式的解，取并集即得原不等式的解集；（2）由（1）易知，所以，作差并因式分解判断出差的符号即可得到与的大小.试题解析：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从面得或或，解之得或或，所以不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）易知，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：绝对值不等式的解法及比较法比较大小.。

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描版)二模理科数学 参考答案:一．ADABD CCABC CA二．13．6316 14．20 15．61 16．①③ 17．解: （1）∵2B A π=+，∴2π-=B A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分 又3,4a b ==,所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B =-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =，又22sin cos 1B B +=,所以3cos 5B =±, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 而2B π>，所以3cos 5B =-． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （2）∵3cos 5B =-,∴4sin 5B =， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∵2B A π=+，∴22A B π=-， ∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分43242sin cos 2()5525B B =-=-⨯⨯-= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 又A BC π++=，∴322C B π=-， ∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=． 。

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，=（）A．3 B．7 C．10 D．155．（5分）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．39 B．21 C．81 D．1026．（5分）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣547．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．68．（5分）焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（）A．72 B．144 C．180 D．28810．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．11．（5分）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（）A．2017 B．4034 C．﹣4034 D．012．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知个面向量，满足||=1，|﹣2|=，且与夹角为120°，则||=．14．（5分）实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的取值范围是．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为．16．（5分）数列{a n}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1则a100=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．（1）求tanA的值；（2）若a=4，求△ABC的面积的最大值．18．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，，AB=2，AM=1，E是AB的中点．（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2，求证：+＞2ae．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 1：，射线与曲线C 的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式证明选讲]23．在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题．（Ⅰ）+++abc≥2；（Ⅱ）++≥．2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）（2017•永州二模）已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．2．（5分）（2017•永州二模）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．3．（5分）（2017•黄冈模拟）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数，若x ＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x 0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．4．（5分）（2017•龙凤区校级三模）若等比数列{a n}的前n项和为S n，=（）A．3 B．7 C．10 D．15【解答】解：∵据=3，（q≠1），若q=1可得据=2≠3，故q≠1，∴==3，化简得1﹣q8=3（1﹣q4），可得q8﹣3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，===15．故选：D．5．（5分）（2017•宝清县一模）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．39 B．21 C．81 D．102【解答】解：第一次循环，S=3，n=2；第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，故选D．6．（5分）（2013•东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣54【解答】解：∵2+log31＜2+log32＜2+log33，即2＜2+log32＜3∴f（2+log32）=f（2+log32+1）=f（3+log32）又3＜3+log32＜4∴f（3+log32）====∴f（2+log32）=故选B7．（5分）（2017•山西二模）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．8．（5分）（2017•龙凤区校级三模）焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，可得：=，即：，解得e=．故选：A．9．（5分）（2017•龙凤区校级三模）六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（）A．72 B．144 C．180 D．288【解答】解：先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，若这个复合元素在两端，从不包含丙丁的2人选1人，和复合元素相邻，剩余的全排即可，故有A22A22A21A33=48种，若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即可，故有A22A22A33=24种，根据分类计数原理可得，共有48+24=72种，故选：A10．（5分）（2017•黄冈模拟）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．11．（5分）（2017•黄冈模拟）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（）A．2017 B．4034 C．﹣4034 D．0【解答】解：∵（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），∴﹣2×2017（1﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，令x=0，则﹣4034=a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017，故选：C．12．（5分）（2017•九江一模）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017•龙凤区校级三模）已知个面向量，满足||=1，|﹣2|=，且与夹角为120°，则||=2．【解答】解：向量，满足||=1，|﹣2|=，且与夹角为120°，所以|﹣2|2=21，且与夹角为120°，则，整理得，解得||=2；故答案为：2．14．（5分）（2017•龙凤区校级三模）实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的取值范围是[0，4] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为O（0，0）时，z有最小值为0；为A（0，2）时，z有最大值为4．∴z的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．15．（5分）（2017•龙凤区校级三模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =++2×=．故答案为：．16．（5分）（2017•龙凤区校级三模）数列{a n }中，a 2n =a 2n ﹣1+（﹣1）n ，a 2n +1=a 2n +n ，a 1=1则a 100= 1226 ．【解答】解：数列{a n }中，a 2n =a 2n ﹣1+（﹣1）n ，a 1=1，则a 2=1﹣1=0，a 2n =a 2n ﹣1+（﹣1）n ，可得：a 2n +2=a 2n +1+（﹣1）n +1，a 2n +1=a 2n +n ， 可得a 2n +2=a 2n +n +（﹣1）n +1， a 4=a 2+1+（﹣1）1+1， a 6=a 4+2+（﹣1）2+1， a 8=a 6+3+（﹣1）3+1， …a100=a98+49+（﹣1）49+1，可得a100=0+1+2+3+…+49+1﹣1+1﹣1+…+1==1226．故答案为：1226．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2017•吕梁二模）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．（1）求tanA的值；（2）若a=4，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵3bcos A=ccos A+acosC，∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin （A+C）=sinB．sinB≠0，化为：cosA=，∴sinA==，可得tanA==．（2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc=bc，可得bc≤24，当且仅当b=c=2取等号．=≤=8．∴S△ABC∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为8．18．（12分）（2014•甘肃一模）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为所以Eξ==．19．（12分）（2017•黄冈模拟）在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，，AB=2，AM=1，E是AB的中点．（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，∵DE⊂平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC．因为面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM；（2）解：设存在P符合题意．由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz （如图），则D（0，0，0），A（，﹣1，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h）（0≤h≤1）．∴=（0，﹣1，h），=（﹣，2，0），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），则令x=2h，则平面PEC的一个法向量为=（2h，h，）取平面ECD的法向量=（0，0，1），cos45°=，解得h=∈[0，1]，即存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为，此时AP=．20．（12分）（2017•鹰潭一模）如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C 2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．21．（12分）（2017•锦州二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2，求证：+＞2ae．【解答】解：（1）x＞0，恒有f（x）≤x成立，∴xlnx﹣x2≤x恒成立，∴≥，设g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）＞0时，即0＜x＜e2，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0时，即x＞e2，函数g（x）单调递减，∴g（x）max=g（e2）=，∴≥，∴a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞）；（2）g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，∴h′（x）=，若0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，若x＞时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（）=﹣lna﹣1＞0，∴0＜a＜．不妨设x2＞x1＞0，∵g′（x1）=g′（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），先证+＞2，即证＜，即证ln ＜=（﹣）令=t，即证lnt＜（t﹣）设φ（t）=lnt﹣（t﹣），则φ′（t）=﹣＜0，函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴+＞2，又∵0＜a＜，∴ae＜1，∴+＞2ae．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C 的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式证明选讲]23．（2017•龙凤区校级三模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题．（Ⅰ）+++abc≥2；（Ⅱ）++≥．【解答】证明：（Ⅰ）因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得，即所以，而，所以．…（5分）（Ⅱ）．…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；沂蒙松；双曲线；海燕；minqi5；muyiyang；lincy；qiss；whgcn；maths；sxs123；changq；wyz123；陈高数；刘老师；lcb001；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年6月14日赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

大庆一中高三年级考前模拟测试数学试卷（理）第I 卷 （选择题60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分） 1. 已知集合A={-2,-1,0,1,2}，}0)2)(1(|{<+-=x x x B ，则 B A I 等于 （ ）A.B.C.D.2. 设复数z 满足==--z i i z ，则5)2)(2(，则（ ）A.B.C.D.3. 下列说法错误的是 ( ) A. 命题"若 ，则"的逆否命题是："若，则"B. ""是""的充分不必要条件C. 若 且 为假命题，则 、 均为假命题D. 命题 "，使得"，则"，均有"4. 函数的图象xxy +-=22log 2的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 C. 关于 轴对称 D. 关于直线对称5. 已知公差不为零的等差数列}{n a ，若1595,,a a a 成等比数列，则1915a a 等于（ ） A.32 B.43C. 34D. 236. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A. 21B. 1C. 23D. 27. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 7>kB. 6>kC.5>k D. 4>k8. 设γβα，，为不同的平面，l n m ，，为不同的直线，则β⊥m 的一个充分条件为（ ）A. ，，B.，，C.，，D.，，9. 将4名大学生分配到A 、B 、C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有 （ ） A.种 B.C.种D.种10. 若33)24cos(,31)4cos(,0220=-=+<<-<<βπαπβππα，，则)2cos(βα+=（ ）A.33B. 33-C.935 D. 96-11. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，点)(y x P ，为该抛物线上的动点，若点)01(，-A ，则||||PA PF 的最小值为（ ）A.21 B.22 C.23 D.32212. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ,设其导函数为)(x f '.当]0(，-∞∈x 时,恒有)()(x f x f x -<'⋅,令)()(x f x x F ⋅=，则满足)12()3(->x F F 的实数x 的取值范围是 ( )A. )21(，-B. )211(，- C. )221(，D. )12(，-第II 卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 等腰ABC Rt ∆中，2||||==AC AB 则=⋅BC AB ．14. 已知正数y x ，满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z +⎪⎭⎫⎝⎛=221的最小值为 ．15. 数列}{n a 的前n 项和n S 满足An n S n +=221，若22=a ，则A= ，数列}1{1+n n a a 的前n 项和n T = ． 16. 在锐角三角形ABC 中，若C B A sin sin 2sin =，则C B A tan tan tan 的最小值是 ．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某同学用“五点法”画函数)2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0 2π π23π π23π 65π5-5（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数)(x f 的解析式；（2）将)(x f y =图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到)(x g y =的图象．求)(x g y =的图象离原点O 最近的对称中心．18. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，1BB BC AC ==，点D 是BC 的中点．（1）求证：D AB C A 11//平面； （2）求二面角B AD B --1的余弦值；（3）判断在线段1BB 上是否存在一点M ，使得D B M A 11⊥? 若存在，求出BB M B 11的值；若不存在，请说明理由．19. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为32． （1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．20. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x E ：的半焦距为c ，原点O 到经过两点),0()0,(b c ，的直线的距离为c 21．（1）求椭圆E 的离心率；（2）如图，AB 是圆25)1()2(22=-++y x M ：的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．21. 已知函数bx ax x f x g x x f ++==2)()(,ln )(，其中函数)(x g y =的图象在点），（)1(1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定 a 与 b 的关系；（2）若0≥a ，试讨论函数)(x g 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数)(x f y =的图象交于两点)()()(212211x x y x B y x A <，，，，,求证：1211x k x <<．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。