2015年1月浙江省普通高中学业水平考试(数学)

2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1.（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A.[0，1）B. (0，2]C. (1，2）D. [1，2]解析：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），答案：C.2.（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A. 8cm3B.12cm3C.D.解析：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=.答案：C3.（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A.a1d＞0，dS4＞0B.a1d＜0，dS4＜0C.a1d＞0，dS4＜0D.a1d＜0，dS4＞0解析：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：.∵d≠0，∴，∴，=＜0. 答案：B4.（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A.∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB.∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC. ∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D. ∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n解析：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，答案：D5.（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A.B.C.D.解析：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，答案：A6.（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立解析：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，答案：A7.（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+xC.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|解析：A.取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B.取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C.取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D.令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确.答案：D（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，8.（5分）所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α解析：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在OE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是. 解析：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x.答案：2；y=±x（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，10.（6分）f（x）的最小值是.解析：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1）＜lg2无最小值，故f（x）的最小值是.答案：0；.11.（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是.解析：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）答案：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）12.（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a= .解析：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=.答案：13.（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 .解析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===.答案：14.（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是.解析：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3.综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3.答案：315.（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= .解析：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2答案：1；2；2三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值.解析：(1)由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2.可得，a=.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=，即可得出tanC=. (2)由=×=3，可得c，即可得出b.答案：(1)∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b= c.可得，∴a2=b2﹣=，即a=.∴cosC===.∵C∈（0，π），∴sinC==.∴tanC==2.(2)∵=×=3，解得c=2.∴=3.17.（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.解析：(1)以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可.答案：(1)证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；(2)设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣.18.（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值.(1)证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；(2)当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.解析：(1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；(2)讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值.答案：(1)由已知可得f(1)=1+a+b，f(-1)=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；(2)当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1].有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3.19.（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解析：(1)由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）.可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出.(2)直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出.答案：(1)由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则.x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m.(2)直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为.20.（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）(1)证明：1≤≤2（n∈N*）；(2)设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）.解析：(1)通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；(2)通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论.答案：(1)由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；(2)由已知，=a n﹣a n+1，=a﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=.下面证明：≥a n≥（n≥2）.易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

（Ⅱ）由题意得 l 不垂直两坐标轴，故设 l 的方程为 y=k(x+1)(k≠0)
于是直线
l
与直线
x=－
1 2
交点
Q
的纵坐标为
yQ
=
k 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然 x1，x2≠1，
所以直线
F2A
的方程为
y
=
y1 (x x1 −1
−1)
故直线
F2A
与直线
x=－
1 2
交点
P
的纵坐标为
∵g(x)=
sin2x+
sin(2x+
2
)=
sin2x+cos2x=
2 sin(2x + ) 4
∴当
x
=
k
+
8
,
k∈Z 时，函数 g(x)的最大值为
2
24.解： （Ⅰ）因为椭圆的长轴长 2a=2 2 ，焦距 2c=2.
又由椭圆的定义得 |AF1|+|AF2|=2a
所以△AF1F2 的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2 2 +2
+
1 −x −1
=－(
ax
+
x
1 +
1
+
x
1 −1
)=－f(x)
又因为 f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1 且 x≠1}
所以函数 f(x)为奇函数。
（Ⅱ）证明：任取 x1，x2∈(0，1)，设 x1<x2，则
f(x1)－f(x2)=a(x1－x2)+
x2 − x1 + x2 − x1 (x1 −1)(x2 −1) (x1 +1)(x2 +1)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P=（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q =，故选A.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D中，//αβ时，,l m也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.5、函数()1cosf x x xx⎛⎫=-⎪⎝⎭（xππ-≤≤且0x≠）的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为11()()cos()cos()f x x x x x f xx x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B；取xπ=，则11()()cos()0fππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且x y z<<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且a b c<<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax by cz++ B．az by cx++ C．ay bz cx++ D．ay bx cz++【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t+==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t+==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：22log 2=，24log 3log 32+= ．【答案】1,332-考点：对数运算10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d = ．【答案】2,13-【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=.考点：1.等差数列的定义和通项公式； 2.等比中项.11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】32,2π-【解析】试题分析：()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+23sin(2)242x π=-+，所以22T ππ==；min 32()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】1;2662--考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.13、已知1e，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．【答案】23【解析】试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e =，213(,)22e =，设(,)b x y =，则11b e x ⋅==，213122b e x y ⋅=+=，所以3(1,)3b =，所以123133b =+=. 考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15 【解析】试题分析：22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x +-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩ 由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y xc =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】22考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.17. （本题满分15分）已知数列na 和nb 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n +++++=-∈.（1）求na 与nb ;（2）记数列n n a b 的前n 项和为nT ，求nT .【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈【解析】试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.18. （本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCA B C 中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A 平面； (2)求直线1A B和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)7(2)作1A F DE⊥，垂足为F，连结BF.因为AE⊥平面1A BC，所以1BC A E⊥.因为BC AE⊥，所以BC⊥平面1AA DE.所以11,BC A F A F⊥⊥平面11BB C C.所以1A BF∠为直线1A B与平面11BB C C所成角的平面角.由2,90AB AC CAB==∠=，得2EA EB==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,14A A A B A E ===.由1114,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=，得172A F =.所以17sin 8A BF ∠=考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.19. （本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x ：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，21AP t =+，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221d t =+.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.20. （本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)当214a b时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式；(2)已知函数()f x在[1,1]上存在零点，021b a≤-≤，求b的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24aa ag a aaa a⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,945]--考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.。

目录2018年4月浙江省学业水平考试 (1)2018年4月浙江省学业水平考试 (5)2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (7)浙江省2016年10月普通高中学业水平考试 (13)2016年4月浙江省普通高中学业水平考试 (19)2016年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (26)2015年1月浙江省普通高中学业水平数学试题 (34)2014年7月浙江省普通高中学业水平测试数学试题 (40)2014年1月浙江省普通高中学业水平考试 (50)2013年浙江省普通高中学业水平考试 (58)2012年普通高中学业水平考试数学试题 (68)2018年4月浙江省学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}32≤≤=x x Q .记Q P M =，则 A .{}M ⊆2,1,0 B .{}M ⊆3,1,0C .{}M ⊆3,2,0D .{}M ⊆3,2,1 2. 函数xx x f 1)(+=的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}0≠x x D .R 3. 将不等式组⎩⎨⎧≥-+≥+-01,01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是A .)1,3(-B .)3,1(-C .)3,1(D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(fA .1B .6log 2C .3D .9log 25. 双曲线1322=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±= B .x y 33±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是A .31B .33C .32D .367. 若锐角α满足53)2πsin(=+α，则=αsinA .52 B .53 C .43 D .548．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则=AD A .OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++2121 C .OA OC OB -+2121 D . OA OC OB ++2121ABCD 1A1D 1C1B（第6题图）9. 设{}n a ，{}n b )N (*∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是A .{}n n b a ⋅B .{}n n b a +C .{}1++n n b aD .{}1+-n n b a 10.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-313x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-331x x C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<31,3x x x 或 D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3,31x x x 或11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则A .)2(+x f 为奇函数B . )2(+x f 为偶函数C .)2(-x f 为奇函数D . )2(-x f 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .01222=++-+y x y x B .012222=+-++y x y x C .01222=-+-+y x y x D .012222=-+-+y x y x13. 设a 为实数，则“21aa >”是“a a 12>”的A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .41 B .43 C .1 D .3415. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则ABCDxy o(第12题图)aa a aa a 15题图①）a aa aaa 侧视图15题图②）A .乙甲乙甲，V V S S >>B . 乙甲乙甲，V V S S <>C .乙甲乙甲，V V S S ><D . 乙甲乙甲，V V S S <<16．如图，F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF 面积的25倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53B .51或54C . 510或515D .55或55217．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是A .1或3B . 2或3C . 2或4D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A . C AB F -- B . D EF B --C . C BF A --D . D AF B --二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3π2sin(2)(++=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .20. 若平面向量b a ,满足)6,1(2=+b a ，)9,4(2-=+b a ，则=⋅b a ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n an ，求数列{}n b 的前n 项和.ABCDEF（第18题图）（第16题图）24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点.(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =)20(<<t 将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω.设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b - 的最大值；若不存在，说明理由.ABxoyt x =(第25题图)xyO ABPD（第24题图）2018年4月浙江省学业水平考试数学试题答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,35[ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122+==n a n nb .由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n qq b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则11121-=+-=t t t k ，11122+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=⋅t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=t .得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ⎩⎨⎧+-=-+=),1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22,22(-D . 所以△PAD 的面积22121+=-⋅⋅=D P y y AB S .25.解：（Ⅰ）当10≤<t 时，多边形Ω是三角形（如图①），边长依次为 t t t 2,3,；当21<<t 时，多边形Ω是四边形（如图②），边长依次为 2),1(2),2(3,--t t t .所以，⎩⎨⎧<<+-≤<=,21,20208,10,8)(22t t t t t t f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t tt tt g（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)45,1(，所以 )45,1(),(⊆b a .另一方面，任取)45,1(,21∈t t ，且21t t <，则)()(21t g t g -])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<<t t 知，1625121<<t t , 81)1)(1(2021<--<t t ,1639)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,即0)2)(2(31)1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)45,1(上也单调递减.证得 )45,1(),(=b a .所以，存在区间)45,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且a b -的最大值为41.(第25题图②)2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题满分100分，考试时间80分钟一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知全集U ={1，2，3，4}，若A ={1，3}，则C u A = （ ）A .{1，2}B .{1，4}C .{2，3}D .{2，4}2. 已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为 （ ）A .2B .3C .4D .53.计算lg 4+lg 25= （ ）A .2B .3C .4D .104. 函数y =3x 的值域为 （ ）A .(0，+∞)B .[1，+∞)C .(0，1]D .(0，3]5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =3，A =60°，B =45°，则b 的长为 （ ）A .22B .1C .2D .26. 若实数x ，y 满足⎩⎨⎧<->+-0201y x y x ，则点P (x ，y )不可能落在 （ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7. 在空间中，下列命题正确的是 （ ）A.若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则l∥αB.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC.若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l⊥αD.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β8. 已知θ为锐角，且sinθ=53，则sin (θ+4π)= （ ）A.1027 B.1027- C.102 D.102-9. 直线y =x 被圆(x −1)2+y 2=1所截得的弦长为 （ ）A.22B.1C.2D.2 10. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1=2a n +1，n ∈N *，则a 3= （ ）A .3B .2C .1D .011.如图在三棱锥A−BCD 中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，AB=AD=4，BC=6，BD=43，该三棱锥三视图的正视图为 （ ）12.在第11题的三棱锥A−BCD 中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为 （ ）A.30°B.45°C.60°D.90°13设实数a ，b 满足|a|>|b|，则“a−b>0”是“a+b>0”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.过双曲线12222=-b y a x (a>0，b>0)的左顶点A 作倾斜角为4π的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐近线于点C ，若BC =AB ，则该双曲线的离心率为 （ ）A.5B.5C.3 D.2515.若实数a ，b ，c 满足1<b<a<2，0<c<18，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0 （ ） A.在区间(−1，0)内没有实数根B.在区间(−1，0)内有一个实数根，在(−1，0)外有一个实数根C .在区间(−1，0)内有两个相等的实数根D .在区间(−1，0)内有两个不相等的实数根16. 如图1，把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到如图2所示几何体，该几何体的体积为 （ ）A .43B . 2417C .32 D .21 17.已知直线2x +y +2+λ(2−y )=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S (λ)，当λ∈(1，+∞)时，S (λ)的最小值是 （ ）A .12B .10C .8D .618. 已知)(x f =2x +ax +b (a ，b ∈R )，记集合A={x ∈R |)(x f ≤0}，B ={x ∈R |)1)((+x f f ≤0}，若A =B ≠∅，则实数a 的取值范围为 （ ）A .[−4，4]B .[−2，2]C .[−2，0]D .[0，4]二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19. 设向量a =(1，2)，b =(3，1)，则a +b 的坐标为________，a •b =____________20. 椭圆32x +y 2=1两焦点之间的距离为____________________________21. 已知a ，b ∈R ，且a ≠−1,则b a b a -+++11的最小值是_______________ 22. 设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则)PC +PB (PA ⋅的取值范围为______三、解答题(本大题共3小题，共31分)23.（本题10分）已知函数R x x x f ∈-=,1cos 2)(2①求)6(πf 的值②求)(x f 的最小正周期 ③设x x f x g 2cos 3)4()(+-=π，求)(x g 的值域24.(本题10分)已知抛物线C ：y 2=2px 过点A(1，1) ①.求抛物线C 的方程②.过点P(3，−1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值25.(本题11分)已知函数)(x f =3|x−a|+|ax−1|，其中a∈R ①当a=1时，写出函数)(x f 的单调区间 ②若函数)(x f 为偶函数，求实数a 的值③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式)(x f ≥3x|x−a|恒成立，求实数a 的取值范围2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案一． 选择题23.解：①x x f 2cos )(=由已知可得213cos )6(==∴ππf②T =ππ=22③x x f x g 2cos 3)4()(+-=π)32sin(22cos 232sin 21(22cos 3)22cos()(ππ+=+=+-=∴x x x x x x g]2,2[)(-∈∴x g 24.解：①∵A 在抛物线上∴1=2p 即p=21∴抛物线C 的方程为x y =2 ②令M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2)MN:m(y+1)=x-3代入x y =2可得032=---m my y∴y 1+y 2=m, y 1*y 2=-m-3, x 1+x 2=m 2+2m+6, x 1*x 2=(m+3)2又k 1•k 2=1)(1)(1111212121212211++-++-=--*--x x x x y y y y x y x y =24422162)3(1322-=+--=+---++---m m m m m m m 为定值 25.(本题11分)已知函数)(x f =3|x−a|+|ax−1|，其中a∈R ①当a=1时，写出函数)(x f 的单调区间 ②若函数)(x f 为偶函数，求实数a 的值③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式)(x f ≥3x|x−a|恒成立，求实数a 的取值范围 25.解：（1）当a=1时⎩⎨⎧<--≥-=-=-+-=1)1(41)1(414113)(x x x x x x x x f ∴的单调增区间是)(),1[x f x +∞∈，()的单调减区间是，)(1-x f x ∞∈（2）∵)(x f 是偶函数∴)1()1(f f =-∴113113-+-=--+--a a a a 即a a -=+11 ∴0=a (3)浙江省2016年10月普通高中学业水平考试数学试卷选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。