第五十二课时--1.2.1-1.2.2充分条件与必要条件 [修复的]

1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间 的充分(必要、充要)性.
自主学习
知识探究
1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由 p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
即时训练1-1:(1)(202X·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β
内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交.故选 A.
方法技能一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为 “已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是 以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.
即时训练 2-1:(1)已知 x,y 都是非零实数,且 x>y,求证: 1 < 1 的充要条件是 xy>0; xy
1b
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或 m>6. 所以是充要条件,④正确. 答案:(3)①③④
方法技能 充分、必要、充要条件的判断方法 若 p⇒ q,q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p q,q⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p⇒ q,q⇒ p,则 p 是 q 的充要条件; 若 p q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

1.2.1充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的定义．2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件.1.“若p ，则q ”为真命题，它是指当p 成立时，q 一定成立．换句话说，p 成立可以__________，即p ⇒q ，此时我们称p 是q 的充分条件．2．“若p ，则q ”为真命题是指：当p 成立时，__________.即p ⇒q ，q 必须成立，我们称q 是p 的必要条件．推出q 成立 q 一定成立思考探究若p是q的充分条件，则p唯一吗？提示：不唯一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>2都是x>0的充分条件．1.已知b不是a的必要条件，┐b是┐c的必要条件．则下列为真命题的是()A．若a，则b B．若b，则cC．若a，则c D．若┐c，则┐a解析：依题意a b，┐c⇒┐b，∴a b⇒c.答案：B2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析：若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．答案：B3．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是() A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3解析：x>2⇒x>1，但x>1x>2.答案：A4．若┐A是B的充分不必要条件，必要不充分则A是┐B的________________条件．解析：由题知┐A⇒B，则┐B⇒A，反之不成立．5．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：∠A≠60°，q：sin A≠3 2；(2)p：m>0，q：关于x的方程x2＋2x－m＝0有实根．解：(1)因为在△ABC 中，∠A ≠60°sin A ≠32，如当∠A ＝120°时，sin A ＝32；在△ABC 中，sin A ≠32⇒∠A ≠60°，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为m >0⇒关于x 的方程x 2＋2x －m ＝0的Δ＝4＋4m >0，即方程有实根；关于x 的方程x 2＋2x －m ＝0有实根，即Δ＝4＋4m ≥0m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．“若p，则q”为真命题指当p成立时，q一定也成立，换句话说，p成立可以推出q成立．在这种情况下，记作p ⇒q，并把p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．p⇒q 可以理解为一旦p成立，q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；换个角度思考，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．当命题“若p，则q”为假命题时，记p q.在这种情况下，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．例如：“若a＝b，则a2＝b2”是真命题，可写成a＝b ⇒a2＝b2.a＝b叫做a2＝b2的一个充分条件，a2＝b2是a＝b 的一个必要条件．而“若a2＝b2，则a＝b”是假命题，可写成a2＝b2a＝b，a2＝b2是a＝b的一个不充分条件，a＝b 是a2＝b2的一个不必要条件.充分条件与必要条件的判断例1判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；(2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．[分析]判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．[解](1) 当|a|≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根则必有a≤－2或a≥6可推出，|a|≥2，故p是q的必要不充分条件．(2)a＋b＝0D a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故p是q的必要不充分条件．(3)四边形的对角线相等D四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p是q的充分不必要条件．[点拨]关于充分条件、必要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．练1给出下列命题：(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．试分别指出p是q的什么条件．[解](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件.利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2已知p：关于x的不等式|2x－3|<m，q：x(x－3)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是什么？[分析]可借助集合间的关系进行判断．设|2x－3|<m，x(x－3)<0的解集分别为A，B，由于p是q的充分不必要条件，所以A B.[解] 由题意知B ＝{x |0<x <3}．当m ≤0时，A ＝Ø，符合题意；当m >0时，A ＝{x |3－m 2<x <3＋m 2}，因为3－m 2＝0，即m ＝3时，3＋m 2＝3，A ＝B ，所以要使A B ， 应有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 3－m 2>0，3＋m 2<3，m >0，得0<m <3. 综上，实数m 的取值范围是m <3.[点拨]根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．练2已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不必要条件，求m的值．[解] x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3∴p ＝{2，－3}．∵q 是p 的充分不必要条件，∴q p .又q ：x ＝－1m(m ≠0)． 当－1m ＝2时，m ＝－12；当－1m ＝－3时，m ＝13. 所以m ＝－12或m ＝13.充分条件与必要条件的实际应用例3在下面电路图(下图)中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？[分析]若p⇒q，则称p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件．我们把闭合开关A称为条件p，而把灯泡B亮称为结论q时，结合简单的电学知识，就可以得到正确的解答．[解]如图(1)，闭合开关A或闭合开关C，都可使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此，闭合开关A是灯泡B亮的充分不必要条件；如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，开关A必须闭合，说明闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件；如图(3)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．[点拨]“充分”即“有它即可”；“必要”即“无它不可”．有时候用某些日常生活中的现象来说明命题之间的关系，似乎更易于理解与接受．练3《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．[解]“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．一、选择题1．下列说法正确的是( )A. xy >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0y >0B. xy ＝0⇒x ＝0C. xy <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0y <0D. xy ≠0⇒x ≠0且y ≠0 解析：A 中，x 、y 同号即可；B 中，y 也可以为零；C 中，x ，y 异号即可．答案：D2．a<0，b<0的一个必要条件为() A. a＋b<0 B. a－b>0C. ab>1 D.ab<－1解析：a<0，b<0，则一定有a＋b<0. 答案：A3．“2x2－5x－3<0”的一个必要不充分条件是()A．－12<x<3 B．0<x<2C．－1<x<2 D．－12<x<4解析：2x 2－5x －3<0⇒－12<x <3， ∵(－12，3)(－12，4)． ∴－12<x <4是2x 2－5x －3<0的必要不充分条件．答案：D4．关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1 解析：因为方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，所以x 1x 2＝1a<0，即a <0，所以设A ＝{a |a <0}，当B A 时，B 是A 的充分不必要条件，故选C.答案：C5．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A. m∥β且l1∥αB. m∥l1且n∥l2C. m∥β且n∥βD. m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n ⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，应选B.答案：B6．一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋2＝0(a ≠1)有两个异号实根的一个充分不必要条件是( )A ．a <1B ．a <0C ．a >1D ．a >0 解析：一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋2＝0(a ≠1)有两个异号实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －1≠0x 1·x 2<0⇔a <1，结合选项，所求的一个充分不必要条件是a <0. 答案：B二、填空题7．“a >1”是“1a<1”的___________条件． 解析：a >1⇒1a <1，反之，a <0也满足1a<1，故为充分不必要条件．充分不必要8．“b2＝ac”是“a，b，c 成等比数列”必要不充分的____________条件．解析：由b2＝ac a，b，c成等比数列，例如：a＝0，b＝0，c＝5.若a，b，c成等比数列，由等比数列的定义知b2＝ac.9．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b2a<0；②若甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，则甲是乙的充分不必要条件．②解析：①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数，则必有a>0，－b2a≤0，从而①不正确；②若x＝1且y＝2，则x＋y＝3.从而逆否命题是充分不必要条件，所以②正确．三、解答题10．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：|x|＝|y|；q：x＝y；(2)p：0<x<3；q：|x－1|<2；(3)p：△ABC为直角三角形；q：△ABC为等腰三角形．解：(1)因为“p⇒q”为假命题，“q⇒p”为真命题，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．(2)0<x<3⇒|x－1|<2，|x－1|<20<x<3，所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)∵p q，q p，∴p、q互为既不充分又不必要条件．11．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x2－x－2>0⇒x>2或x<－1；4x＋p<0⇒x<－p4.当－p4≤－1，即p≥4时，有x<－p4≤－1⇒x<－1⇒x2－x－2>0，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．。

跟踪练习 3 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负 根的充要条件是 ac<0.
[证明] 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一负根． 所以 Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝ac<0(x1，x2 为方程的两根)，所以 ac<0. 充分性：由 ac<0，可推得 b2－4ac>0，及 x1x2＝ac<0.(x1，x2 为方 程的两根) 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相异实根，且两根异号．
[证明] 必要性：∵方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1，∴ x＝1 满足方程 ax2＋bx＋c＝0， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0. 充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程 ax2＋bx ＋c＝0 中可得 ax2－bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 故方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1.
条件 p 与结论 q 关系
结论
p⇒/ q，q⇒/ p
p 是 q 成立的既不充分也 不必要条件.
2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、 充要条件、既不充分也不必要条件的判定： 首先建立与 p、q 相应的集合，即 p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若 A⊆B，则 p 是 q 的充 分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件.
[答案] 必要不充分
[解析] sinx＝0⇔x＝kπ，当 k 为偶数时，cosx＝1， 当 k 为奇数时，cosx＝－1，∴sinx＝0⇒/ cosx＝1；cosx ＝1 时，x＝2kπ，k∈Z，∴sinx＝0，故 sinx＝0 是 cosx＝1 的必要不充分条件．
即 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b＝x1y2－x2y1＝0.

②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；
④“函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数 f(x)为奇函数”
的必要条件．
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
【解析】x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇏x＝1， 故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0⇏a＝0，故③是假命题；函 数f(x)的定义域关于坐标原点对称函数f(x)为奇函数，函数f(x)为 奇函数⇒函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题， 故选D. 【答案】D
2．在下列横线上填上“充分”或“必要”． (1)a>1是a>2的_必__要__条件． (2)a<1是a<2的_充__分__条件．
知识点2:充要条件 新知导学 1．如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，则 p 是 q 的__充__要__条__件__，记为 ___p_⇔__q____. 2．如果 p⇒/ q 且 q⇒/ p，则 p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要__条__件___． 3．如果 p⇒q 且 q⇒/ p，则称 p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件． 4．如果 p⇒/ q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的___必__要__不__充__分__条件．

跟踪训练
“a＋b>2c”的一个充分条件是( )
A．a>c或b>c
B．a>c或b<c
C．a>c且b<c
D．a>c且b>c
【解析】a>c 且 b>c⇒a＋b>2c，a＋b>2c⇒/ a>c 且 b>c，故选 D.