北京四中八年级下册数学一元一次不等式与不等式组全章复习与巩固(提高)知识讲解

《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a≤等；另一种是>，x a用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．方程ax b +＝0（a ≠0）的解值为0？（即直线y ＝0）交点的横坐标.求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标.求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集 x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.【典型例题】 类型一、不等式1.用适当的语言翻译下列小题： （1）x 与9的差是正数或0；（2）b 与-5的和既不是正数也不是负数； （3）y 的5倍既大于x 又小于3x+2； （4）a 的2倍与-4的差小于5或大于7；（5）102y x -≥； （6）12302x -<-<；（7）（8） 【答案与解析】解：（1）x -9≥0； （2）b+(-5)=0； （3）x<5y<3x+2；（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7； （5）y 的一半与x 的差非负；（6）x 的一半与3的差既大于-2又小于0； （7）x>-3或写作：大于-3的数；（8）2<x ≤3或写作：既大于2又小于等于3的数. 【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法． 【答案与解析】解：可利用作差比较法比较大小．-(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y ．∵x>y ，∴10x>10y ，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．∴45x >． ∴x 的最小正整数值是1．【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①0a b a b >⇔->； ②0a b a b =⇔-=； ③0a b a b <⇔-<． 举一反三：【变式】己知：x<0.5，比较2-4x 和18x-9的大小. 【答案】解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x而又∵x<0.5，∴-22x>-11，即11-22x>0． ∴2-4x>18x-9． 类型二、一元一次不等式3. 已知关于x 的不等式()()1151222x ax -->+的解集是12x >，求a 的取值范围. 【答案与解析】解：解法一：522x ax -->+，(1)9a x ∴->，∵它的解集为12x >， 109112a a ->⎧⎪∴⎨=⎪-⎩， 17a ∴=-.解法二：12x =是关于x 方程()()1151222x ax --=+ 的解， 1111(5)1(2)2222a ∴--=+，解得17a =-． 17a ∴=-.【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三：【变式1】如果关于ｘ的不等式06>+--x k 正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?【答案】解不等式得：6+-<k x ．∵ｋ为正整数且6+-<k x 中的正整数解为1，2，3， ∴46=+-k ． ∴2=k ．【变式2】已知x=-4是不等式ax>9的解集中的一个值,试求a 的取值范围. 【答案】将x=-4代入不等式ax>9中，得﹣4a ＞9，解得94a <-. 所以a 的取值范围94a <-. 类型三、一元一次不等式组4. 求不等式组()2x 731x 42x 31x 332513x x ⎧⎪⎪⎪≥⎨⎪-⎪<-⎪⎩－＜－＋－的整数解.【思路点拨】分别解出各不等式，取所有解集的公共部分. 【答案与解析】解：()2x 731x 42x 31x 332513x x ⎧⎪⎪⎪≥⎨⎪-⎪<-⎪⎩－＜－＋－①②③解不等式①得：x ＜2 ．解不等式②得：x ≥－1 ． 解不等式③得：x ＞-2 ．∴不等式组的解集为－1≤x ＜2 ． 故不等式组的整数解为－1，0,1 ． 【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解． 举一反三：【变式】若关于不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有四个整数解，求a 的取值范围.【答案】解：由1532x x +>-，得21x <， 由223x x a +<+，得32x a >-+，∴不等式组的解集为3221a x -+<<，∵只有四个整数解，∴163217a ≤-+<，即1453a -<≤-， ∴a 的取值范围：1453a -<≤-. 5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：价格 种类进价（元/台）售价（元/台）电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机16001700(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为(15-2x )台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x 的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴． 【答案与解析】解：(1)设购进电视机、冰箱各x 台．依题意，得11522200024001600(152)32400x xx x x ⎧-≤⎪⎨⎪++-≤⎩ 解这个不等式组得，6≤x ≤7∵ x 为正整数．∴ x ＝6或7．方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台； 方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台． (2)方案1需补贴：(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)． 方案二需补贴：(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)． ∴ 国家财政最多需补贴农民4407元．【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案． 类型四、一次函数与一元一次方程、不等式（组）6.如图，直线y kx b =+经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组102x kx b <+< 的解集为 ．【答案】32x -<<-；【解析】从图象上看，y kx b =+的图象在x 轴下方，且在12y x =上方的图象为画红线的部分，而这部分的图象自变量x 的范围在32x -<<-.【总结升华】也可以先求出y kx b =+的解析式，然后解不等式得出结果. 举一反三：【变式】如图所示，直线y kx b =+经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线2y x =过点A ，则不等式2x ＜kx b +＜0的解集为( ) .A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜－1C ．－2＜x ＜0D ．－1＜x ＜0 【答案】B ；提示：由图象可知A(－1，－2)是直线y kx b =+与直线2y x =的交点，当x ＜－1时2x ＜kx b +，当x ＞－2时，kx b +＜0，所以－2＜x ＜－1是不等式2x ＜kx b +＜0的解集．类型五、综合应用7.已知不等式组134(1)1xmn x+⎧-≥⎪⎨⎪--<⎩的解集为322x<≤，试求m，n的值．【答案与解析】解：解不等式13xm+-≥，得31x m≤-．解不等式n-4(x-1)＜1，得34nx+ >．因为不等式组的解集为32 2x<≤，所以有3123342mn-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴13mn=⎧⎨=⎩．答：m、n的值分别1和3．【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．8.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植种植户种植A类蔬菜面积(单位：亩)种植B类蔬菜面积(单位：亩)总收入(单位：元)甲 3 1 12500乙 2 3 16500(1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?(2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．【答案与解析】解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．由题意得：3125002316500x yx y+=⎧⎨+=⎩解得30003500xy=⎧⎨=⎩答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．(2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩．由题意得：30003500(20)63000 20a aa a+-≥⎧⎨>-⎩解得：10＜a≤14．∵a取整数为：11、12、13、14．∴租地方案为：类别种植面积单位：（亩）【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键． 举一反三：【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？ 【答案】解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x 元和y 元．由题意得：⎩⎨⎧=+=+15003170032y x y x ， 解得：⎩⎨⎧==300400y x ．（2）设种植甲种花木为a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株．则有：400300(310)30000,(760400)(540300)(310)21600.a a a a ++≤⎧⎨-+-+≥⎩解得：132709160≤≤a ． 由于a 为整数，∴a 可取18或19或20，所以有三种具体方案： ①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株； ②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株； ③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.。