全等三角形的判定(总复习)

【分析】 (1)欲证 BF＝EC，只需要证明 BC＝EF，由△ABC≌△DEF 即 得到；(2)由△ABC≌△DEF 得到∠ACB＝∠DFE，从而得到∠ACF＝∠ DFC，即可得 AC∥DF.
命题高频点 2 全等三角形的判定 【例 2】在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)当点 D 在 AC 上时，如图①，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关 系？直接写出你猜想的结论； (2)将图①中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转一个锐角，到如图②所示的位置， 请问(1)的数量关系和位置关系是否还成立，请说明理由．
解：(1)BD＝CE，BD⊥CE.理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°.在△ABD 与
AB＝AC △ACE 中，∠BAC＝∠DAE＝90° ，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝
AD＝AE
CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＋∠AEC＝90°，∴∠ABD＋∠AEC＝90°， ∴BD⊥CE；
(2)BD、CE 的数量和位置关系不变．为说明理由，应延长 BD 交 AC 于点 G， 交 CE 于点 F.∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠ DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵∠AGB＝∠FGC，∴∠ABD＋∠AGB＝∠ACE ＋∠FGC＝90°，∴∠CFG＝90°，即 BD⊥CE.
，解得xy＝＝185 ，此
时 AC＝17，CD＝5，AD＝8,5＋8＜17，∴不符合题意，∴AD＝13cm，BC
＝10cm.
10．如图，∠AOB＝90°，OM 平分∠AOB，直角三角板的 顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交 于点 C、D，问 PC 与 PD 相等吗？试说明理由．

AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD

判定 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 2
全等三角形的判定方法
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为:
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
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三角形全等判定方法2
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
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三角形全等判定方法5
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(HL）。
在Rt△ABC和Rt△DEF中
A
D
AB=DE （已知 ） AC=DF（已知 ）
C ∴ △ABC≌△DEF（HL）
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B
F
E
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知识点
1.全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等, 周长、面积也相等。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
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例3. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
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▪例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'

3
6选3
边边边 (SSS)
两边一角
两角一边
角角角
两边和它的夹角(SAS)
两边和它一边的对角
两角和夹边(ASA)
两角和一角的对边(AAS)
×
×
*
三角形全等的4个种判定公理：
SSS（边边边）
SAS（边角边）
ASA（角边角）
AAS（角角边）
有三边对应相等的两个三角形全等.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
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A
B
O
D
C
*
11. 如图,M是AB的中点 ,∠1 = 2 ,MC=MD.试说明ΔACM ≌ ΔBDM
A
B
M
C
D
(
)
1
2
证明: ∵ M是AB的中点 (已知) ∴ MA=MB(中点定义) 在ΔACM 和ΔBDM中， MA=MB(已证) ∠1 = ∠2 (已知) MC=MD(已知) ∴ΔACM ≌ ΔBDM (SAS)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
二.角的平分线： 1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
\\
(一个角、一条边对应相等）
=
=
①
②
可见：要使两个三角形全等， 应至少有 组元素对应相等。