2013届高考【数学理新思路考场】特训七含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则MN =( ）（A ）{}0 （B){}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2- 【答案】D【解析】易得{}2,0M =-，{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-，故选D ．（2)【2013年广东，理2，5分】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ）（A ）4 (B)3 （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】3y x =，2sin y x =为奇函数；21y x =+为偶函数；2x y =为非奇非偶函数．∴共有2个奇函数，故选C ．（3）【2013年广东，理3,5分】若复数z 满足i 24i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）（A ）()2,4 （B ）()2,4- (C)()4,2- （D ）()4,2 【答案】C【解析】由i 24i z =+，得24i (24i)(i)42i i i (i)z ++⋅-===-⋅-，故z 对应点的坐标为(4)2-，，故选C ． （4)【2013年广东,理4 X 1 2 3P35310110则X 的数学期望EX =（A ）32（B ）2 （C ）52(D ）3【答案】A【解析】33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==，故选A ． (5）【2013年广东,理5，5分】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）（A)4 （B ）143 （C ）163（D ）6 【答案】B【解析】解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示, 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方形,且1DD ⊥面ABCD ，上底面面积2111S ==,下底面面积2224S ==．又∵12DD =,∴()1122111411()442333V S S S S h =++=+⨯+⨯=台,故选B ．解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形，2AB =,111A B =,且1D D ⊥平面ABCD ，12D D =． 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设1OD x =，因为11OD C ODC ∆∆∽,所以111OD D C OD DC=, 即122x x =+，解得2x =．111111111114224112333ABCD A B C D O A A B B C O D CD V V V ---=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=棱锥棱锥，故选B ．（6）【2013年广东,理6，5分】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）（A ）若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ (B ）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n （C ）若m n ⊥,m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ （D ）若m α⊥，//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确;选项B 中，m 与n 还可能异面,故不正确；选项C 中,α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中,∵m α⊥，//m n ，n α∴⊥． 又//n β，αβ∴⊥，故选D ． （7）【2013年广东，理7,5分】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ ）（A)2214x -= （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= (D)2212x = 【答案】B【解析】由曲线C 的右焦点为0(3)F ，，知3c =．由离心率32e =，知32c a =，则2a =，故222945b c a =-=-=,所以双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B ．（8）【2013年广东，理8，5分】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =．令集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，,y z x z x y <<<<，}恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）（A)(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ 【答案】B【解析】解法一：特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ． 解法二:由()x y z S ∈，，，不妨取x y z <<，要使()z w x S ∈，，，则w x z <<或x z w <<．当w x z <<时, w x y z <<<,故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．当x z w <<时，x y z w <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．综上可知，()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一）必做题（9～13）（9）【2013年广东，理9,5分】不等式220x x +-<的解集为 ． 【答案】()2,1-【解析】220x x +-<即()()210x x +-<，解得21x -<<，故原不等式的解集为1{|}2x x -<<． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = ． 【答案】1-【解析】1y xk '=+．因为曲线在点(1)k ，处的切线平行于x 轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得10|x y ='=，故10k +=，即1k =-．（11）【2013年广东,理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4,则输出s 的值为 ． 【答案】7【解析】第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后：2,3s i ==；第三次循环后：4,4s i ==;第四次循环后:7,5s i ==；故输出7．（12）【2013年广东,理12，5分】在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=,则573a a += ． 【答案】20【解析】依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 或：()57383220a a a a +=+=．(13）【2013年广东，理13,5分】给定区域D ：4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定 条不同的直线．【答案】6【解析】画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1，取得最大值时的整点为()0,4,()1,3，()2,2,()3,1及()4,0共5个整点．故可确定516+=条不同的直线．（二)选做题（14—15题,考生只能从中选做一题） (14)【2013年广东,理14,5分】（坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．【答案】sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC= ．【答案】23【解析】依题意易知ABC CDE ∆∆，所以AB BCCD DE=，又BC CD =，所以212BC AB DE =⋅=，从而23BC =．三、解答题：本大题共6题,共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (16）【2013年广东，理16，12分】已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值;(2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解：（1)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以4sin 5θ=-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos2cos sin 25θθθ=-=-，所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭． （17）【2013年广东，理17，12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值;（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解:(1）样本均值为1719202125301322266+++++==．(2）由（1)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人（3)设事件A ：从该车间12名工人中,任取2人，恰有1名优秀工人，则()P A =1148212C C C 1633=．（18）【2013年广东,理18，14分】如图1，在等腰直角三角形ABC中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，2CD BE ==，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=．（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角D AF E －－的余弦值． 解：（1）在图1中，易得3,32,22OC AC AD ===，连结,OD OE ，在OCD ∆中,由余弦定理可得222cos 455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=,由翻折不变性可知22A D '=，所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥，理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =，所以A O '⊥平面BCDE ．（2）解法一：过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ，连结A H '，因为A O '⊥平面BCDE ，所以A H CD '⊥，A HO '∴∠为二面角A CD B '--的平面角．由图1可知，H 为AC 中点，故322OH =，2230A H OH OA ''+， 所以15cos OH A HO A H '∠='，所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15． 解法二:以O 点为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(3A '，()0,3,0C -,()1,2,0D -，所以()0,3,3CA '=，(3DA '=-，设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即330230y z x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y xz x=-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =，得(1,1,3n =-由（1)知，(3OA '=为平面CDB 的一个法向量，所以15cos ,35n OA n OA n OA '⋅'==='⋅， 即二面角A CD B '--15． （19）【2013年广东，理19,14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N ．（1)求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3)证明:对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<． 解：（1)依题意，12122133S a =---，又111S a ==，所以24a =．（2)当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---，整理得()()111n n n a na n n ++=-+， 即111n n a a n n +-=+，又21121a a -=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列, 所以()111n an n n=+-⨯=，所以2n a n =．（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---，此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<．（20）【2013年广东,理20,14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24xcy =,2=结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =，求导得12y x '=，设()11,A x y ，()22,B x y (其中221212,44x x y y ==）， 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ，212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以()()1122,,,x y x y为方程00220x x y y --=的两组解．所以直线AB 的方程为00220x x y y --=． （3）由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+， 又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．（21）【2013年广东，理21，14分】设函数()()21x f x x e kx =--（其中k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M ．解：（1)当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-, 令()0f x '=，得0x =，ln 2x =，当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表：f x 0,ln 2,0-∞)ln 2,+∞．（2）()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈，所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---,令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3k k e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<，所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭，所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x上单调递减．17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =，()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“="．综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--．。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013 年高考新课标1（理））如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为（）A．50033cm B．86633cm C．137233cm D．204833cm【答案】 A2 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）A．若, m , n , 则m n B．若// , m , n , 则m // nC．若m n , m , n , 则D．若m , m // n, n // , 则【答案】 D3 ．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）A．1: 2 B．1: 4 C．1: 8 D．1:16【答案】 C4 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱A BCD ABC D 中AA1 2AB , 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于（）1 1 1 1A．23B．33C．23D．13【答案】 A5 ．（2013 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16【答案】 A6 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为V1 , V2 , V3 , V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A．V1 V2 V4 V3 B．V1 V3 V2 V4 C．V2 V1 V3【答案】 C7 ．（2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可．能．．等于（）A．1 B． 2 C．2-12D．2+12【答案】 C8 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是122正视图侧视图11第5 题图俯视图（）14 16A．4 B．3 C．3 D．6【答案】 B9 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n为异面直线, m 平面, n 平面. 直线l 满足l m,l n,l ,l , 则（）A．// , 且l // B．, 且lC．与相交, 且交线垂直于l D．与相交, 且交线平行于l【答案】 D10．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱9ABC A B C1 1 1的侧棱与底面垂直, 体积为4, 底面是边长为 3 的正三角形. 若P 为底面A1B1C1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）5A．12 B．3 C．4 D．6【答案】 B11．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5 图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200 D．240【答案】 C12．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A B C的 6 个顶点都在球O 的球面上, 若1 1 1AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12, 则球O 的半径为（）A．3172B．210 C．132D．310【答案】 C13．（2013 年高考江西卷（理））如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且AB CD , 正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n , 那么m n（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】 A14．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),,(画0,该0,四0)面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】 A15．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中, 不是公．理．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】 A16．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中, 过点A 作平面的垂线, 垂足为B , 记B f ( A). 设, 是两个不同的平面, 对空间任意一点P , Q1 f [ f ( P)], Q2 f [ f ( P)] , 恒有PQ1 PQ2 , 则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的( 锐) 二面角为045C．平面与平面平行D．平面与平面所成的( 锐) 二面角为060【答案】 A17．（2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】 D二、填空题18．（2013 年高考上海卷（理））在xOy 平面上, 将两个半圆弧 2 2( x 1) y 1(x 1) 和2 2(x 3) y 1(x 3)、两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, y )(| y | 1) 作的水平截面, 所得截面面积为 24 1 y 8 , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为__________【答案】 22 16 .19．（2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.3 2111【答案】320．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径,3OK , 且圆O与圆K 所2在的平面所成的一个二面角为60 , 则球O的表面积等于______.【答案】1621．（2013 年高考北京卷（理））如图, 在棱长为 2 的正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E为BC的中点, 点P在线段D1E上, 点P到直线CC1 的距离的最小值为__________.D 1 C 1A1D PB1CEAB2 5 【答案】522．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图, 在三棱柱 A B C ABC1 中, D，E，F 分别是AB，AC，AA1 的中点, 设三棱1 1锥 F ADE 的体积为V , 三棱柱A1B1C1 ABC 的体积为V2 , 则1V1 :V____________.2CBAFCEA D【答案】1: 24B23．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图( 单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积等于________ 2cm .4332正视图侧视图3俯视图（第12 题图）【答案】2424．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图, 正方体ABCD ABC D 的棱长为1,P 为BC的中点,Q 为线段CC1 上的动点, 过点A,P,Q 的平1 1 1 1面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当01 1 3CQ 时,S 为四边形; ②当CQ 时,S 为等腰梯形; ③当CQ 时,S 与2 2 41C D 的交点R满足 1 1C R ; ④当1 13 34CQ 1时,S 为六边形; ⑤当CQ 1时,S 的面积6为. 2【答案】①②③⑤25．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是____________.【答案】16 1626．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图. 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是_______________【答案】1227．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）在如图所示的正方体A BCD ABC D 中,1 1 1 1异面直线A1B 与B1C 所成角的大小为_______D1 C1A1B1D CA B【答案】3WORD格式三、解答题28．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I) 求证: 平面PAC 平面PBC；(II) 若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值.【答案】WORD格式29．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为PC 的中3 点, AF PB .(1) 求PA 的长; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 °. AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦, 轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.( Ⅰ) 证明: 平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; ( Ⅱ) 求cos COD .【答案】解: ( Ⅰ) 设面面直线且面面PAB PCD m, AB/ /CD CD PCD AB/ / PCDAB / /直线m AB 面ABCD 直线m // 面ABCD .所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD .( Ⅱ)PO设底面半径为.r,线段CD的中点为F，则OPF 60 .由题知tan 22.5r, tan 60 OFPOtan 60 tan 22.5OFrcosCOD2, tan 4512 t antan22 .5222.5.cos COD 2 2 COD cos CODcos 1 tan 22.5 2 -1,2 2 1[ 3( 2 - 1,)] 2 3(3 2 2 )cos COD 17- 12 2.所以cos COD 17 -12 2 . 法二:1．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图, 在四面体A BCD 中, AD 平面BCD , BC CD, AD 2, BD 2 2 . M 是AD 的中点, P是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ 3QC .(1) 证明: PQ // 平面BCD ;(2) 若二面角 C BM D 的大小为060 , 求BDC 的大小.AMPQDBC（第20 题图）【答案】解: 证明( Ⅰ) 方法一: 如图6, 取MD 的中点 F , 且M 是AD 中点, 所以AF 3 FD . 因为P 是BM 中点, 所以PF / /BD ; 又因为( Ⅰ)AQ 3QC 且AF 3FD , 所以QF / / BD , 所以面PQF / / 面BDC , 且PQ 面BDC , 所以PQ / / 面BDC ;方法二: 如图7 所示, 取BD 中点O , 且P 是BM 中点, 所以1PO/ / MD ; 取CD 的三等2分点H , 使DH 3CH , 且AQ 3QC , 所以/ / 1 / / 1QH AD MD , 所以4 2P O// Q H P /Q/ ,O且H OH BCD , 所以PQ / / 面BDC ;( Ⅱ) 如图8 所示, 由已知得到面ADB 面BDC , 过C 作CG BD 于G , 所以CG BMD , 过G 作GH BM 于H , 连接CH , 所以CHG 就是C BM D 的二面角; 由已知得到BM 8 1 3, 设BDC , 所以CD CG CBcos ,sin CD 2 2 cos ,CG 2 2 cos sin , BC 2 2 sin , BD CD BD,在RT BCG 中, BCG sin BG BG 2 2 sin2BC, 所以在RT BHG中,HG22 2 sin21 2 2 sinHG , 所以在RT CHG 中3 3tan CHG tan60 3 CGHG2 2 cos sin22 2 sin3tan 3 (0,90 ) 60 BDC 60 ;2．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）如图, 在正三棱锥ABC A1B1C1 中, AA1 6 ,异面直线B C 与1 AA 所成角的大小为1 6, 求该三棱柱的体积.A1 C1B1A CB【答案】[ 解] 因为C C1 AA1 .所以B CC 为异面直线BC1 与AA1 . 所成的角, 即BC1C =1 6 .在Rt BC C 中,13BC CC tan BC C 6 2 3 ,1 13从而32S BC 3 3 , ABC4因此该三棱柱的体积为V S ABC AA1 3 3 6 18 3 .3．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14 分.如图, 在三棱锥S ABC 中, 平面SAB 平面SBC , AB BC , AS AB , 过A 作AF SB , 垂足为 F , 点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证:(1) 平面EFG // 平面ABC ; (2) BC SA.SE GFCAB【答案】证明:(1) ∵AS AB , AF SB∴F分别是SB的中点∵E.F 分别是SA.SB的中点∴EF∥AB又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面EFG // 平面ABC(2) ∵平面SAB 平面SBC平面SAB 平面SBC =BCAF 平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC∴AF⊥BC又∵AB BC , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA4．（2013 年高考上海卷（理））如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A 1A=1, 证明直线BC1 平行于平面DA1C,并求直线BC1 到平面D1AC的距离.D CABA1D1B1C1【答案】因为ABCD-A1B1C1D1 为长方体, 故AB// C1D1, AB C1D1 ,故ABC1D1 为平行四边形, 故B C1 // AD1, 显然 B 不在平面 D1AC上, 于是直线BC1 平行于平面DA1C;直线BC1 到平面D1AC的距离即为点 B 到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1 的体积, 以ABC为底面, 可得V1 1 1( 1 2) 13 2 3而ADC 中, AC D1C5, AD1 2 , 故1 SAD C1321 3 12 2所以, V h h , 即直线BC .1 到平面D1AC的距离为3 2 3 3 35．（2013 年高考湖北卷（理））如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A,B 的点, 直线PC 平面ABC , E , F 分别是PA, PC 的中点.(I) 记平面BEF 与平面ABC 的交线为l , 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系, 并加以证明;(II) 设(I) 中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D , 且点Q 满足 1DQ CP . 记直线PQ2 与平面ABC 所成的角为, 异面直线PQ 与EF 所成的角为, 二面角 E l C 的大小为, 求证: sin sin sin .第19 题图【答案】解:(I) EF AC , AC 平面ABC , EF 平面ABC EF 平面ABC又EF 平面BEFEF ll 平面PAC(II) 连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)WORD格式6．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB 上的点, CD BE 2, O 为BC 的中点. 将ADE 沿DE 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE , 其中A O 3 .( Ⅰ) 证明: A O 平面BCDE ; ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值.CO.BAD ECO BA DE 图1 图2【答案】( Ⅰ) 在图 1 中, 易得O C 3, AC 3 2, AD 2 2ACO BDEH连结OD ,OE , 在OCD 中, 由余弦定理可得2 2 2 cos45 5 ODOC CD OC CD由翻折不变性可知 A D 2 2 ,所以 2 2 2A O OD A D , 所以A O OD ,理可证 A O OE , 又OD OE O , 所以 A O 平面BCDE . ( Ⅱ) 传统法: 过O作OH CD 交CD 的延长线于H , 连结A H , 因为A O 平面BCDE , 所以 A H CD ,所以 A HO 为二面角 A CD B 的平面角.结合图 1 可知, H 为AC 中点, 故3 2OH , 从而22 2 30A H OH OA2cos A HO 所以O HA H155, 所以二面角 A CD B 的平面角的余弦值为15z5A.向量法: 以O 点为原点, 建立空间直角坐标系O xyz如图所示,则A 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D 1, 2,0 所以CA 0,3, 3 , DA 1,2, 3 CDxO向量法图EBy设n x, y,z 为平面A CD 的法向量, 则n CA n DA 0, 即3y 3z 0x 2y3z 0, 解得y xz 3x, 令x 1, 得n 1, 1, 3由( Ⅰ) 知, OA 0,0, 3 为平面CDB 的一个法向量,所以cos n, O An OAn OA3 1553 5, 即二面角 A CD B 的平面角的余弦15 值为. 57．（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB// DC, AB⊥AD, AD= CD= 1, AA1 = AB= 2, E 为棱AA1 的中点.( Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;( Ⅱ) 求二面角B1- CE- C1 的正弦值.( Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1 所成角的正弦值为的长.26, 求线段AM【答案】8．（2013 年高考新课标1（理））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BA A1=60° .( Ⅰ) 证明AB⊥A1C;( Ⅱ) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】 ( Ⅰ) 取 AB 中点 E,连结 CE, A B , 1A E ,1∵AB=AA 1 , BAA 1 =60 , ∴ BAA 1是正三角形 , ∴ A E ⊥AB, ∵CA=CB,∴CE ⊥AB,∵C EA 1E =E, ∴AB ⊥面CEA 1 ,1∴AB ⊥ A C ;1( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 EC ⊥AB, EA 1 ⊥AB,又∵面 ABC ⊥面 A BB A , 面 ABC ∩面 ABB 1A 1 =AB, ∴EC ⊥面ABB 1 A 1 ,∴EC ⊥EA 1,1 1∴EA,EC, E A 两两相互垂直 , 以 E 为坐标原点 , EA 的方向为 x 轴正方向 ,| EA | 为单位1长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ,有 题 设 知A(1,0,0),A (0,3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则1BC =(1,0, 3 ), BB 1 = AA 1 =(-1,0, 3 ), A 1C =(0,- 3 , 3 ),设 n =(x, y, z) 是平面 CBB C 的法向量 , 1 1则nn B C BB 10 0, 即 x 3z 0 x 3y 0, 可取 n =(3,1,-1),∴cos n , A C =1n | n ||A C 1 A 1C |10 5,∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为1059．（2013 年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,AB AA1 2 .( Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;( Ⅱ) 求平面OCB1 与平面BB1 D1D的夹角的大小.D1C1A1B1DCOAB【答案】解:( Ⅰ) A1O 面ABCD,且BD 面ABCD, A O BD ; 又因为, 在正1方形AB CD 中, AC BD；且A1O AC A,所以BD 面A1 AC且A1C 面A1AC，故A1C BD .在正方形AB CD中,AO = 1 . RT A1OA中，A O 1.在1设.B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C E1O又BD BB1 D1D,E1O BB1 D1D . BD E1O O面面，且，所以由以上三点得A1C 面BB1 D1D .( 证毕)( Ⅱ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题.以O为原点, 以OC为X 轴正方向, 以OB为Y轴正方向. 则B（0,1, 0）,C (1，0，0), A1(0，0，1), B1(1,1,1) A1C (1, 0, 1) .由( Ⅰ) 知, 平面BB 1 A C OB OC （）1D1D的一个法向量n (1,0, 1), (1,1,1) ,1,0, 0 .1 1设平面OCB1 的法向量为D1C1 ,则0, 0，n2 n OB n OC2 1 2A1B1解得其中一个法向量为n2 ( 0,1, -1).DCOcos | cos| n n | 1 11 2n ,n| .1 12| n | | n | 2 21 2A B所以, 平面OCB1 与平面BB1D1D的夹角为310 ．（2013 年高考江西卷（理））如图, 四棱锥P A B C中, PA 平面ABCD, E为BD的中点, G为PD的中点，3DAB DCB ,EA EB AB 1，PA , 连接CE 并延长交AD 于F .2(1) 求证: AD 平面CFG ;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1) 在ABD 中, 因为E 是BD 的中点, 所以EA EB ED AB 1,故,BAD ABE AEB ,2 3因为DAB DCB , 所以EAB ECB ,从而有FED FEA ,故E F AD, AF FD , 又因为PG GD,所以FG ∥PA .又PA 平面ABCD ,所以GF AD,故AD 平面CFG .(3) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则3 3A(0,0,0), B(1,0,0), C( , ,0), D (0, 3,0) ,2 2(4)3P (0,0, ) , 故21 3 3 3 3 3 3 BC ( ，，0), CP ( ，, ), C D ( , ,0)2 2 2 2 2 2 21 3y12 2设平面BCP 的法向量n (1, y , z ),则1 1 1,3 3 3y z1 12 2 2解得y1z12333 , 即 3 2n (1, , ).13 3设平面DCP 的法向量n2 (1, y2 ,z2 ) , 则3 3y22 23 3 3y z2 22 2 2y, 解得 2z223,即n2 (1, 3,2) . 从而平面 B C P与平面 D C P的夹角的余弦值为cos n n1 2n n1 243169824.11 ．（2013 年高考四川卷（理））如图, 在三棱柱A BC A B C中, 侧棱1 1 AA 底面1ABC , A B AC 2AA , BAC 120 , D,D1分别是线段BC, B1C1 的中点, P 是线1段AD 的中点.( Ⅰ) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A BC 平行的直线l , 说明理由, 并证明直线1l 平面ADD1A1;( Ⅱ) 设( Ⅰ) 中的直线l 交AB 于点M , 交AC 于点N , 求二面角 A A M N 的余弦1值.CDA PBC1D1A1B1【答案】解: 如图, 在平面ABC 内, 过点P 做直线l // BC , 因为l 在平面ABC 外,1BC 在平面A BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l // 平面A1BC .1由已知, AB AC , D 是BC 的中点, 所以, BC AD , 则直线l AD .因为AA1 平面ABC , 所以AA1 直线l . 又因为AD, AA1 在平面ADD1A1 内, 且AD与A A 相交, 所以直线平面ADD1A11解法一:连接A1P , 过A 作AE A1P于E , 过E 作EF A1M 于F , 连接AF .由知, MN 平面AEA, 所以平面AEA1 平面A1MN .1所以AE 平面AMN , 则A1M AE.1所以A M平面AEF , 则A1M AF .1故AFE 为二面角 A AM N 的平面角( 设为).1设A A1 1 , 则由 A B 2A 1 C , A BAC A 120 , 有BAD 60 , AB 2, AD 1 .又P 为AD 的中点, 所以M 为AB 的中点, 且1AP , AM 1 ,2在5Rt AAP 中, A1P ; 在Rt A1AM 中,12A1M 2 .AA AP从而,1AEA P11 5,AFAA AM 1A M11 2, 所以 sinAE AF 2 5. 所以222 15 cos 1 sin155.故二面角 AA 1M N 的余弦值为155解法二 :设A A 1 1. 如图 , 过 A 1 作 A 1E 平行于B 1C 1 , 以 A 1 为坐标原点 , 分别以 A 1E,A 1D 1 , AA 1 的 方向为 x 轴, y 轴, z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz ( 点O 与点A 重合).1则 A 1 0,0,0 , A 0,0,1 .因为 P 为 AD 的中点 , 所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点 , 故3 13 1 M, ,1 ,N , ,1 , 2 22 2所以3 1A M, A 1A0,0,1 , NM 3,0,0 ., ,112 2设平面 A AM 的一个法向量为n 1 x 1,y 1,z 1 , 则1nA M 11n A A,11,n A M0,11即故有n A A0,113 1x , y,z, ,1 0,1 1 12 2x , y,z0,0,1 0,1 1 13 1x y z从而 1 1 12 20,z122.6取x1 1, 则y1 3 , 所以n1 1, 3,0 .设平面A MN 的一个法向量为n2 x2 , y2,z2 , 则1n A M 2 1n NM2 ,,即n A M2 1n NM20,0,故有3 1x , y , z , ,1 0,2 2 22 2x , y ,z3,0,0 0,2 2 2从而3 1x y z2 2 22 20,3x 0.2取y2 2, 则z2 1, 所以n2 0,2, 1 . 设二面角A A1M N 的平面角为, 又为锐角,则cos n n1 2n n1 21, 3,0 0,2, 1 152 5 5.故二面角A A1M N 的余弦值为15 512．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10 分.如图, 在直三棱柱A B C ABC中, AB AC , AB AC 2 , AA1 4 , 点D 是1 1 1BC 的中点(1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值(2) 求平面A DC 与ABA1 所成二面角的正弦值.1【答案】 本题主要考察异面直线 . 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算 , 考察运用空间向量解决问题的能力 .解:(1) 以 A B, AC, AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,1则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C ( 0,2,0) ,A (0,0,4) , D (1,1,0) , C 1 (0,2,4)1∴ A 1B (2,0, 4) , A 1 B (1, 1, 4) ∴cos A B, 1C D1A B 1A 1BCD1C D118 20 183 10 10∴异面直线 A 1 B 与C 1D 所成角的余弦值为3 10 10(2)AC (0,2,0)是平面ABA 的的一个法向量1设平面 ADC 1 的法向量为m (x, y, z) , ∵ AD (1,1,0), AC 1(0,2,4)由 mAD, m AC1∴x2y y 4z 0 0取 z 1, 得 y2, x 2 , ∴平面ADC 的法向量为 m (2, 2 ,1)1设平面 ADC 1 与A BA 1 所成二面角为∴cos cosAC m 4 2AC, m , 得2 3 3AC msin53∴平面ADC 与ABA1 所成二面角的正弦值为15 313．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图, 四棱锥P ABCD 中, ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都是等边三角形.(I) 证明: PB CD ; (II) 求二面角 A PD C 的大小.【答案】14．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示, 在三棱锥P ABQ 中, PB 平面ABQ , BA BP BQ , D,C, E, F 分别是A Q,B ,Q A,P的中B点P, AQ 2BD , PD 与EQ 交于点G , PC 与FQ 交于点H ,连接GH .( Ⅰ) 求证: AB GH ; ( Ⅱ) 求二面角 D GH E 的余弦值.【答案】解:( Ⅰ) 证明: 因为D,C,E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点,所以EF ∥AB , DC ∥AB , 所以EF ∥DC ,又EF 平面PCD , DC 平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF 平面EFQ , 平面EFQ 平面PCD GH ,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .( Ⅱ) 解法一: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ=90 , 即A B BQ , 因为PB 平面ABQ , 所以AB PB ,又BP BQ B, 所以AB 平面PBQ , 由( Ⅰ) 知AB ∥GH ,所以GH 平面PBQ , 又FH 平面PBQ , 所以GH FH , 同理可得GH HC , 所以FHC 为二面角 D GH E 的平面角, 设BA BQ BP 2 , 连接PC ,在Rt △FBC 中, 由勾股定理得, FC 2 ,在Rt △PBC 中, 由勾股定理得, PC 5 ,又H 为△PBQ 的重心, 所以1 5 HC PC3 3FH5 3同理,在△FHC 中, 由余弦定理得cos FHC5 5249 95 529,4即二面角 D GH E 的余弦值为5.解法二: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ 90 , 又PB 平面ABQ , 所以BA, BQ, BP 两两垂直,以B 为坐标原点, 分别以BA, BQ, BP 所在直线为x 轴, y 轴, z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设BA BQ BP 2 , 则E (1,0,1) , F (0,0,1) , Q (0,2,0) , D (1,1,0) , C (0,1,0) P (0,0, 2) ,, 所以EQ ( 1 , 2 ,, FQ (0,2, 1) , DP ( 1,1,2) , CP (0, 1,2) ,设平面EFQ 的一个法向量为m(x , y ,z)1 1 1,由m EQ 0, m FQ 0 ,x 2y z 01 1 1得2y z 01 1取y1 1, 得m (0,1,2) .设平面PDC 的一个法向量为n (x2 , y2 ,z2) 由n DP 0, n CP 0 ,x y 2z 02 2 2得y2z 0 2 2取z2 1, 得n (0,2,1). 所以cos m, nm nm n454因为二面角 D GH E 为钝角, 所以二面角 D GH E 的余弦值为5. 15．（2013 年高考湖南卷（理））如图5, 在直棱柱ABCD A1B1C1D 中，AD / /BC , BAD 90 ,AC BD, BC 1, AD AA1 3.1(I) 证明: A C B D ; (II) 求直线1 B C与平面ACD 所成角的正弦值.1 1 1【答案】解: ( Ⅰ) ABCD A1B1C1D1是直棱柱BB1 面ABCD,且BD 面ABCD BB1 AC又.AC BD,且BD BB1 B, AC 面BDB1。

2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a项和为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B AABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(，则ba)1(+的最大值为2e.22、证明：(Ⅰ) ∵D，E分别为ABC△边AB，AC的中点，∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD，又∵D为AB的中点，CF AD∴ 且=CF AD，CD AF∴=.//CF AB，BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF，GB CF BD∴==，BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-；(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ，则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。

(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列和数学期望．
Tn.证明：对于任意的
2013 江西理科数学 第 3 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。