河北省邢台市桥东区八年级数学上册16轴对称和中心对称16.2线段的垂直平分线(2)导学案冀教版

线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.

第16章 轴对称和中心 对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理
1B 2A 3D 4B 5 10
提示：点击 进入习题
6C 7D 8 见习题 9A 10 D
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11 C 12 见习题 13 见习题 14 见习题
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1．关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条
【答案】10
6．如图，位于P处的快递公司准备在AB，AC这两条街上各设 置一个快递投放点M，N，若使得PM＋MN的值最小，下 列作法中正确的是( C )
A．作PM垂直AB于点M，MN垂直AC于点N B．作PM垂直AB于点M，PN垂直AC于点N C．作点P关于AB的对称点Q，作QN垂直AC于点N，交AB于
【答案】D
11．如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，E是BC的中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数 为( C )
A．16° B．28° C．31° D．62°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点， 且DE⊥AB，△BCE的周长为8 cm，且AC－BC ＝2 cm，求AB，BC的长．
13．【2020·河北保定竞秀区期末】如图，点P在∠AOB的内 部，连接OP，CP，DP，OA是线段CP的垂直平分线， OB是线段PD的垂直平分线，连接CD交OA于点M，交 OB于点N.
(1)①若∠AOB＝60°，则∠COD＝__1_2_0_°___；
②若∠AOB＝α，求∠COD的度数． 解：设OA交CP于点E，OB交PD于点F. ∵OA是线段CP的垂直平分线，∴OC＝OP，CE＝PE. 又∵OE＝OE，∴△COE≌△POE(SSS)， ∴∠AOC＝∠AOP， 同理可得△POF≌△DOF，∴∠BOP＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOC＋∠AOP＋∠BOP＋∠BOD＝ 2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB＝2α.

例题讲解
已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点, 在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图所示,作点A关于
直线l的对称点A',连接
A'B,交直线l于点P,则
P
AP+BP最短.
A'
【提出问题】
(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把
PA和PB这两条线段转化到一条线段上?
(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点 之间线段最短”加以证明.
解析:∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∴ΔABD的周长为 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4 cm，
∴AC=2AE=2×4=8(cm)，∴ΔABC的周长为 AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.
5.如图所示，四边形ABCD中，AC垂直平分
BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(提
示:等腰三角形的两个底角相等)( C ) A.AB=AD B.∠ABC=∠ADC C.AB=BD D.ΔBEC≌ΔDEC
解析:∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，∴∠ABD=∠ADB，
∠DBC=∠BDC，
∴∠∴∠ARBtAΔCBB=DC∠+EA∠≌DDRCBt,ΔECDB==C∠DEAE(HD,在LB)+R.故∠tΔ选BBDCCCE.和，R即tΔDCE中， BB
[知识拓展]
(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有 点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个 点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每 一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一 点作代表即可. (3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方 法.（说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有 关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判 定方法.）

16.2线段的垂直平分线（3）教学目标【知识与能力】1.使学生会用尺规作已知线段的垂直平分线.2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.【过程与方法】1.学会使用精练准确的语言叙述作图过程.2.学生用尺规作较简单的图形.【情感态度价值观】通过尺规作图的学习,培养学生的作图能力、语言表达能力和逻辑思维能力.教学重难点【教学重点】1.用尺规作线段的垂直平分线.2.会用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.【教学难点】用尺规作图:经过一已知点作已知直线的垂线.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【提出问题】1.什么叫尺规作图?只用直尺(没有刻度)和圆规画图的方法叫做尺规作图.2.我们学过哪些基本的尺规作图?(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一角等于已知角.(3)用尺规作三角形.3.什么叫做线段的垂直平分线?经过线段的中点并且垂直线段的直线,叫做线段的垂直平分线.教师说明:我们学习了线段的垂直平分线的定义,那么怎样作一条线段的垂直平分线,又如何过一点作出已知直线的垂线呢?这节课我们就研究这两个问题.[设计意图]通过导入,让学生温习以前学过的知识,从而利用知识迁移引出本节课要研究的内容,激发学生探究的欲望和学习的信心.导入二:【课件1】如图所示,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处?请画示意图,并说明理由.〔解析〕因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在AB,BC的中垂线的交点处.说明:那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?(导出课题)[设计意图]重新审视线段垂直平分线性质定理的逆定理,让学生明确到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,从而引出本节课的学习内容.二、新知构建：活动一:作线段的垂直平分线思路一我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们一同来写出已知、求作、作法,体会作法中每一步的依据.【课件2】如图所示,已知线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.〔解析〕由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知,只要作出到这条线段端点距离相等的两点,连接这两个点,即得所求作的直线.作法:如图所示.AB)为半径,在线段AB的两侧画弧,分别相交于点C,D.(1)分别以点A和点B为圆心,a(a>12(2)连接CD.直线CD即为所求.师:根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线CD就是所求作的垂直平分线?请与同伴进行交流.生:从作法知AC=BC=AD=BD,∴C,D都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定).CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).师:我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,一旦垂直平分线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的中点.思路二【课件3】如图所示,已知PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线吗?为什么?生:是.由题意可知ΔAPQ≌ΔBPQ,所以∠APQ=∠BPQ,设AB与PQ的交点为O,所以ΔAPO≌ΔBPO,所以∠AOP=∠BOP,AO=BO,即得PQ是线段AB的垂直平分线.师:对于PA=PB,QA=QB,我们都可以用圆规比较容易地实现,从这里你是否已经看出线段的垂直平分线的作法了呢?画一条线段,用尺规作出它的垂直平分线.明确线段垂直平分线的画法.[知识拓展]任意作出两条连接圆上不同点的线段,再分别作出它们的垂直平分线,则两条垂直平分线的交点即为圆心,这个圆心与圆上任意一点的距离即为半径.[设计意图]通过对线段垂直平分线的证明,让学生探索、发现线段垂直平分线的作法.活动二:经过一点作已知直线的垂线经过一点作已知直线的垂线,这一点与已知直线有两种不同的位置关系:点在直线外,点在直线上.因此要分别按这两种情况作图.【课件4】如图所示,已知直线AB及AB外一点P.求作:经过点P,且垂直于AB的直线.〔解析〕在直线AB上作出一条线段CD,使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C,D距离相等的点Q,连接PQ,直线PQ即为所求.作法:如图所示,以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线AB于点C,D.(2)分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧相交于点Q.(3)连接PQ.直线PQ即为所求.说明:学生自己探索作法,然后师生共同操作,检验自己所作的步骤是否正确.已知:如图所示,点P在直线AB上.求作:经过点P,且垂直于AB的直线.指导学生仿照例2完成,然后展示画法.[设计意图]体会线段垂直平分线性质定理的逆定理在作图中的应用,让学生明确作图的方法和依据,理解知识之间的相互联系.三、课堂小结：1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:①点在直线外;②点在直线上,因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.说明:根据作线段垂直平分线的方法,我们可以把一条线段平分;根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法,我们可以作出三角形的高.。