知识点复习
知识点梳理
（一）正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R
C =
②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R =
③ sin sin sin a b c
A B C
++++=2R
④::sin :sin :sin a b c A B C =
（二）余弦定理：2b =B ac c a cos 22
2-+（求边），cosB=ac
b c a 2222-+（求角）
适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。
（三）三角形的面积：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 2
1
；
③C B A R S sin sin sin 22=； ④R
abc
S 4=；
⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2
a b c
p ++=，r 为内切圆半径）
（四）三角形内切圆的半径：2S r a b c
∆
=++，特别地，2a b c r +-=斜直
（五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… （六）三角边角关系：
（1）在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
cos 2A B +=sin 2C ； 2
cos 2sin C
B A =+
（2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）大边对大角：B A b a >⇔> 考点剖析
（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用
例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.
例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴C
c
C a sin 2sin =
∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c
c
cocC 28-= ①
由余弦定理，得 C C c C
ab b a c 2
22222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②
入②，得 )舍(44或524516⎩⎨⎧==⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ，
例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB
于M ，交AC 于N ，求22
11
OM ON +
的最大值和最小值． 例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3
3
AO a =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233
ππ
α≤≤
， 在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6
OM OA
MAO ππα=
∠-+， ∴36sin()6a OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：36sin()
6
a ON πα=-，
∴2211OM ON +22
2
12[sin ()sin ()]66
a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时22
11
OM ON
+取得最大值218a ， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时22
11
OM ON
+取得最小值215a ． 变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=222,且， （１）求∠Ａ的大小；
（２）求c
B
b sin 的值
变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=222,∴bc a c b =-+222 在△ABC 中，由余弦定理得
2
1
22cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060
（２）在△ABC 中，由正弦定理得a
b B 0
60sin sin =
∵0
260,=∠=A ac b ∴2
360sin 60sin sin 002===ca b c B b
变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I ）求的值； （II ）若，求的值。 变式2、解（I ）∵为锐角， ∴ ABC ∆A B 、A B C 、、a b c 、、510
sin 510
A B ==A B +21a b -=-a b c 、、A B 、510sin A B =
=2
225310
cos 1sin 1sin A A B B =-=
=-=253105102
cos()cos cos sin sin 5105102
A B A B A B +=-=
-=
