北师大版八年级数学下册第四章《探索三角形相似的条件》教案

第七课时●课题§4.6.1 探索三角形相似的条件（一）●教学目标（一）教学知识点1.掌握三角形相似的判定方法1.2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.（二）能力训练要求1.通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力；2.利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明，训练学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求1.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法.●教学重点相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算.●教学难点判定方法的运用●教学方法探索——总结——运用法●教具准备投影片三张第一张（记作§4.6.1 A）第二张（记作§4.6.1 B）第三张（记作§4.6.1 C）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法，即定义法.那么，除此之外，还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方面的探索.Ⅱ.新课［师］在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的.下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法，然后进行类比，好吗？［生］好全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL.［师］那么，相似三角形应该如何判断呢？1.做一做.投影片（§4.6.1 A）（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？（2）与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′,使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比C B BC C A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？ 改变∠α、∠β的大小，再试一试.［师］请大家按照要求动手画图，然后进行交流.［生］在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似. 根据（2）中的要求画出的三角形中，∠C 与∠C ′相等，对应边有C B BC C A AC B A AB '''''',,，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似.改变∠α、∠β的大小，这个结论还不变.［师］大家的结论都是如此吗？［生］是.［师］从这两个小题中，大家能得出什么？ ［生］（1）题告诉我们，只满足一对角相等不能判定两个三角形相似.从（2）中我们可知，如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似. ［师］其他同学同意吗？［生］同意.［师］经过大家的探索，我们得出了判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似.［师］下面我们进行运用.2.例题.投影片（§4.6.1 B ）如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C.图4－27（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段.［生］解：（1）（3）△ADE ∽△ABC AC AE BC DE AB AD ==⇒. 3.想一想 在上面例题的条件下，AE CE AD BD =吗？ 解：AECE AD BD =成立. 由DE ∥BC ，得ACAB AB AD = 根据比例基本性质得，AEAC AD AB = 即AECE AE AD DB AD +=+ 两边同时减去1，得AECE AE AD DB AD +=-+1－1 即AECE AD DB = Ⅲ.课堂练习1.随堂练习（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？（2）顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？解：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.因为是两个直角三角形，所以有一对直角相等，再加上一对锐角相等，根据判定方法1，得，这两个三角形相似.（2）顶角相等的两个等腰三角形相似.因为两个等腰三角形的顶角相等，所以它们的四个底角都相等.因此有三对角对应相等，所以这两个三角形相似.2.补充练习投影片（§4.6.1 C ） （1）已知△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠B =∠B ′=75°，∠C =50°，∠A ′=55°，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知一个三角形的两个角分别是70°和65°，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？［生］解：（1）在△ABC 中，∵∠B =75°，∠C =50°∴∠A =55°∴∠B =∠B ′,∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（2）先任作一条线段B C.分别以BC 为角的顶点，作∠MBC =70°，∠NCB =65°.图4－28BM 与CN 相交于点A .则△ABC 为与原三角形相似的三角形.Ⅳ.课时小结本节课主要探索了相似三角形的判定方法，即两角对应相等的两个三角形相似，并且利用这个判定方法进行有关证明和计算.Ⅴ.课后作业习题4.71.解：在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°∴∠C =50°∴∠A =∠D ，∠C =∠E .∴△ABC ∽△DFE .2.解：∵DC ∥AB∴∠CDB =∠DBA ，∠DCA =∠CAB .∴△CDO ∽△ABO .3.解：∵AB ⊥AO ，DB ⊥AB∴∠A =∠B =90°∵∠ACO =∠BCD∴△ACO ∽△BCD ∴BD AO CBAC = 即5060120AO = ∴AO =100（m ）所以峡谷的宽AO 为100 m.Ⅵ.活动与探究如图.图4－29AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？解：图中相似三角形共有六对，它们分别是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BE C.∵AD⊥BC,BE⊥AC∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°（1）在△ADC与△BEC中∵∠ADC=∠BEC=90°∠C=∠C∴△ADC∽△BEC（2）在△ADC与△AEF中∵∠ADC=∠AEF=90°∠DAC=∠EAF∴△ADC∽△AEF（3）在△BEC与△BDF中∵∠BEC=∠BDF=90°∠EBC=∠DBF∴△BEC∽△BDF.（4）在△BDF和△AEF中∵∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD=∠AFE∴△BDF∽△AEF.（5）由△BEC∽△ADC得∠DBF=∠DAC∵∠BDF=∠ADC=90°∴△BDF∽△ADC（6）由△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠EAF∵∠AEF=∠BEC∴△AEF∽△BEC●板书设计§4.6.1 探索三角形相似的条件一、1.做一做（通过自己画图推导相似三角形的判定方法1）2.例题3.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习1.已知：△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2,求证：△ABC∽△A2B2C2.2.已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =40°，∠B =70°，∠A ′=40°，∠C ′=70°. 求证：△ABC ∽△A ′C ′B ′.3.已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠B =25°，∠C =50°,∠B ′=105°,∠C ′=25°. 这两个三角形相似吗？参考答案1.证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1.∴∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1111111C A AC C B BC B A AB == 设11B A AB =k 1 则AB =k 1A 1B 1，BC =k 1B 1C 1,AC =k 1A 1C 1.同理可知∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2,∠C 1=∠C 2.A 1B 1=k 2A 2B 2,B 1C 1=k 2B 2C 2,A 1C 1=k 2A 2C 2∴∠A =∠A 2,∠B =∠B 2,∠C =∠C 2.22222122B A B A k k B A AB ==k 1k 2,22C B BC =k 1k 222C A AC =k 1k 2 ∴222222C A AC C B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A 2B 2C 22.证明：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∵∠A =∠A ′=40°，∠B =∠C ′=70°∴△ABC ∽△A ′C ′B ′.3.解：在△ABC 中∠B =25°,∠C =50°∴∠A =105°∴∠A =∠B ′=105°,∠B =∠C ′=25°∴△ABC ∽△C ′B ′A ′.第八课时●课 题§4.6.2 探索三角形相似的条件（二）●教学目标（一）教学知识点1.掌握三角形相似的判定方法2、3.2.会用相似三角形的判定方法2、3来判断、证明及计算.（二）能力训练要求1.通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2、3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力.2.利用相似三角形的判定方法2、3进行判断，训练学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形的判定方法2、3,体现数学活动充满着探索性和创造性.2.通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想.●教学重点相似三角形判定方法2、3的推导过程，掌握判定方法2、3并能灵活运用.●教学难点判定方法的推导及运用●教学方法探索——总结——运用法●教具准备投影片三张第一张（记作§4.6.2 A）第二张（记作§4.6.2 B）第三张（记作§4.6.2 C）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课投影片（§4.6.2 A）如图，AF∥CD,∠1=∠2,∠B=∠D,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说明相似的理由.图4－30［师］请大家观察图形，运用我们学过的判定方法，讨论得出结果.［生］有四对相似三角形，它们是△AEF∽△DEC，△AFB∽△ACD，△AEB∽△CED，△AEF∽△EBA.他们相似的理由都是用相似三角形的判定方法1.［师］现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定方法1，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题.Ⅱ.讲授新课［师］相似三角形的判定方法1是只从角的方面考虑的，下面我们只从边的方面去考虑.我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS公理.大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？［生］三边对应成比例的两个三角形相似.［师］下面我们就来验证一下.1.相似三角形的判定方法2：三边对应成比例的两个三角形相似.投影片（§4.6.2 B）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和AC CA ''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小、∠B 与∠B ′的大小、∠C 与∠C ′的大小.（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.［师］大家可以按照上面的步骤进行，这里的k 由自己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的k 值，不同的组取不同的k 值，好吗？［生］好.［师］经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？［生］结论为∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∠C =∠C ′△ABC ∽△A ′B ′C ′,理由是：∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′B A AB ''=C B BC ''=AC CA '' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′.［师］其他组的同学的结论相同吗？［生］相同.［师］经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的判定方法3.［师］前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑.还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA ，SAS ，AAS ，其中ASA 、AAS 我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法1、3，下面来验证SAS ，大家还是先猜想，然后再验证.［生］两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ［师］好，下面我们还是由大家自己推导吧.请看投影片（§4.6.2 C ）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和C A AC ''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？（2）改变k 值的大小，再试一试.［师］请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的k 值法.［生］按照要求作出的△ABC 与△A ′B ′C ′中，有∠B =∠B ′，∠C =∠C ′，因此根据判定方法1可知，△ABC ∽△A ′B ′C ′.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.3.想一想［师］下面验证SSA ，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中SSA 就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？图4－31［生］从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似.4.做一做［师］在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法.［生］一共有四种方法.第一种：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.第二种：即判定方法1两角对应相等的两个三角形相似.第三种：即判定方法2三边对应成比例的两个三角形相似.第四种：即判定方法3两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.［师］从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用.如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果已知条件只涉及边，就用第三种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第四种方法判断.5.议一议如图4－32，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？图4－32［生］解：△ABC∽△A′B′C′.判断方法有.1.三边对应成比例的两个三角形相似.2.两角对应相等的两个三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等.4.定义法.Ⅲ.课堂练习下面每组的两个三角形是否相似？为什么？图4－33［生］解：（1）△ABC ∽△DEF ∵EFBC DF AC DE AB ===2 ∴△ABC ∽△DEF（2）在△ABC 中AB =2，AC =6 ∵2163,21===AC AF AB AE ∴=AB AE AC AF ∵∠A =∠A∴△ABC ∽△AEF补充练习依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么.（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm.解：（1）∵C A AC B A AB ''='',37=37614= ∴C A AC B A AB ''='' 又∵∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）（2）∵B A AB ''=124= 31，C B BC ''=186= 31,C A AC ''=248= 31 ∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似）Ⅳ.课时小结本节课主要探讨了相似三角形的另两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明.Ⅴ.课后作业习题4.8Ⅵ.活动与探究要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？解：选法不唯一.因为另一个三角形的一边长2究竟对应哪一条边，在已知条件中并没有规定，因此2有可能对应每一条边，即2对应4，2对应5，2对应6，所以有三种情况.设另一个三角形中两边长为x 、y .当2对应4时，有2∶4=x ∶5=y ∶6解，得x =25，y =3 当2对应5时，有2∶5=x ∶4=y ∶6解，得x =58,y =512 当2对应6时,有2∶6=x ∶4=y ∶5解,得x =34,y =35. 所以框的另两边长可选25、3或58、512,或34、35. ●板书设计 §4.6.2 探索三角形相似的条件（二）一、1.探索相似三角形的判定方法22.探索相似三角形的判定方法33.想一想4.做一做5.议一议二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业。