五、数列
（一）填空题 1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n
－1）个，即22n n -个，因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22
n n
-＋3个，即为
262
n n -+． 2、（2009江苏卷14）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，
若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为
3
2
q =-，6q = -9
3、（2010江苏卷8）函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：2
2(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2
k
a x =
， 所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=。 4、（2011江苏卷13）设1271a a a =≤≤
≤，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，
642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.
【解析】由题意：23
1222112a a q a q a q =≤≤≤+≤≤+≤，
222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+
3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++的最小值分别为1，2，3；3min 3q ∴=
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.
5、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
5
3. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.
6、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 。
答案： 14．12
（二）解答题
1、（2008江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,
,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公
差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求
1
a d
的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d =0。
若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2
111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得
1
4a d =- 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2
111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d
=
综上，得14a d
=-或11a
d =。
②当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项。
若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得2
30d =，因
为0≠d ，所以3a 不能删去；
当n ≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --中，
由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删
去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,
,n a a -中任意一个，则必有
121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾。(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必
有连续的三项)
综上所述，4n =。
（2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21，其中
111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2111y x z b b b +++=⋅，即
2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+- （*）
由10b d ≠知，2
y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0
当2
y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾。
故2
y xz -与2x z y +-同时不为0，所以由（*）得212b y xz
d x z y
-=+-
因为01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1
b d
为有理数。 于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要
1
b d
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。 例如n 项数列1，12+，122+，……，1(1)2n +-满足要求。
2、（2009江苏卷17）（本小题满分14分）
设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222
23457,7a a a a S +=+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。
（1）设公差为d ，则2
222
2543
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176
772
a d ⨯+
=，解
得
15
a =-，
2d =,
(2)
（方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)
23
m m m ---,设23m t -=， 则
12m m m a a a ++=
(4)(2)8
6t t t t t
--=+-, 所以t 为8的约数
