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10.椭圆大题综合归类基础过关练 ......................................................................................................................... 1 能力提升练 ......................................................................................................................... 9 培优拔尖练 .. (18)基础过关练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,. （2）以点1(1,0)F -，2(1,0)F为焦点，经过点P ⎛ ⎝⎭.【答案】（1）22143x y +=；（2）22154x y +=.【解析】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，代入所过的点后求出,a b 可得所求的椭圆方程．（2）根据椭圆的定义可求2m ，再求出n 后可求椭圆的标准方程．【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意有221914a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）设椭圆的标准方程为22221(0)x y m n m n +=>>，焦距为02c .由题意有01c =，1PF =2PF ==有125522PF PF m +===2n ==， 2.已知点(),P x y4=，求点P 的轨迹C 的方程.【答案】22143x y +=.【分析】根据两点间距离公式和椭圆的定义即可求出P 的轨迹方程. 【详解】()P x y ，42=>，∴点P 的轨迹是以()1,0-，()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，1c ∴=，2,a b ==∴所求点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=.3.椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>左右焦点为1F，2F ，点M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)经过点()2,3A ，倾斜角为π4直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求BC ． 【答案】(1)2214x y +=(2)BC =【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点M ⎛ ⎝⎭，及222a b c =+，列方程解出,a b 即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.（1）解：由题意得222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得224a b =，又因为点2M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上， 带入222214x y b b +=得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）解：易得直线l 的解析式为1y x =+，设()11,B x y ，()22,C x y 联立椭圆的方程22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2580x x +=1285x x +=，120x x =12BC x=-所以BC = 4.已知椭圆C ：22221(>0)>x y a b a b +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-.求椭圆C 的标准方程；【答案】2212x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线AB 的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出,,c a b 得椭圆标准方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减得22221212221x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，将1243x x +=-，1223y y +=代入上式，得2221()12AB b k e a ⋅-=-=-，又2=e ，∴=1AB k ，∴直线l 的方程为1233y x -=+，即1y x =+，即()11,0F -，∴1c =，1a b ==，∴椭圆C 的标准方程2212x y +=；5.．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与椭圆22198x y +=有相同的焦点1F ，2F ，且右焦点2F(1)求椭圆E 的方程；(2)若过椭圆E 左焦点1F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求2F MN 的面积． 【答案】(1)2212x y +=(2)43【分析】()1根据题意可得1c =，a =2221b a c =-=，即可求得椭圆E 的方程；()2设()11,M x y ，()22,N x y ，过1F 且斜率为1的直线l 方程为：1x y =-，直线与椭圆方程联立，消x 得y 的一元二次方程23210y y --=，结合韦达定理，即可求2F MN 的面积．（1）椭圆22198x y +=的焦点为()11,0F -，()21,0F ，∴半焦距1c =，椭圆的右焦点2F a ==，2221b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，过1F 且斜率为1的直线l 方程为：1x y =-，代入椭圆E 的方程2212x y +=，化简可得23210y y --=，121221,33y y y y ∴+=⋅=-，则1243y y -==，221211212114422233F MN F F M F F N S S S F F y y =+=⨯⨯-=⨯⨯=V V V .6.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>左顶点为A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)2214x y +=.(2)()40，. 【分析】（1）利用等面积法求得,a b 的关系，再利用离心率得到2a b =.即可得到答案. （2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，分别求出,P Q 的坐标，根据斜率公式求出直线方程，则可得22(4)43ty x t =--+，即可求出定点坐标. （1）ABC的内切圆的半径为4-，2,,,AB a AO a OC b CB AC =====11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯,111222222r ar ab ⨯⨯+⨯=⨯，，2222c a b c a ==+解得2a b =111222222r ar ab ⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t ttt t t t t t t -++=--+-+-++，所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭22(4)43ty x t =--+故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点E 与其左、右焦点12F F 、构成面积为1的直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，P 是C 上的动点，当12113x x +=时，求PAB △面积的最大值．【答案】(1)2212x y +=(2)max S =【分析】（1）根据题意由tan 41212bcc b π⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩求解；（2）易知斜率存在，由2(1,0)F ，设:(1)AB y k x =-，与曲线C 方程联立，由12113x x +=结合韦达定理，求得k ，再由当P 为与AB 平行的切线的切点时，PAB △面积最大求解.（1）解：由题意得tan 41212b c c b π⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解得1,==∴b c a ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，2(1,0)F ，设:(1)AB y k x =-，代入C 方程整理得()2222214220k x k x k +-+-=，22121222422,1212k k x x x x k k -∴+==++，2122121211231x x k x x x x k +∴+===-，解得k =显然k =PAB △面积最大值相同，||AB =当P 为与AB 平行的切线的切点时，PAB △面积最大，不妨设与AB平行的切线方程为y m =+，代入C方程整理得227220x m ++-=， ()22485610m m ∆=--=，解得m =m =d =，max 1||2S AB d ∴=． 8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴的两个端点分别为()()2,0,2,0A B -．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)M 为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，直线AM 交直线4x =于点N ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BN 垂直的直线记为l ，直线BM 交y 轴于点P ，交直线l 于点Q ，求证：||||BP PQ 为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析．【分析】（1）由顶点坐标求得a ，由离心率求得c ，再求出b 得椭圆方程；（2）设11(,)M x y ，写出直线AM 方程求得N 点坐标，求出直线BN 的斜率，得直线l 斜率及方程，再求得直线BM 的方程可得其与y 轴交点P 的坐标，求出两直线交点Q 坐标，由P B Q PBP x xPQ x x -=-可得结论． （1）由已知2a =，又2c c e a ===c =1b ==， 椭圆标准方程为2214x y +=；（2）设11(,)M x y ，10y ≠，则221114x y +=，221144x y +=， 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =得1162y y x =+，即116(4,)2y N x +， 1111623422BNy x y k x +==-+, l BN ⊥,1123l x k y +=-，直线l 的方程是1123x y x y +=-， 直线BM 的方程为11(2)2y y x x =--，令0x =得1122y y x =--，即11(0,2)2y x P --， 由111123(2)2x y x y y y x x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，因为221144x y +=，故解得1162(2)x x y y =-⎧⎪+⎨=⎪⎩，即()11226,x Q y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以021603P B Q PBP x x PQ x x --===---， 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ，，过点(30)B ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值【答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意结合椭圆的几何性质，列出方程组，求得答案;（2）设直线l 的方程为(3)y k x =-并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，代入化简AM AN k k +的表达式，可得结论.（1）由题意椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ，，离心率为，可得222224112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a b =C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)121860k x k x k +-+-=， 由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<，设1122(,),(,)M x y N x y ,则2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++，11(3)y k x =-22(3)y k x =-， 故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--， 即AM AN k k +为定值.10.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一。
2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。
2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5或m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．± 3 解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a .∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2，的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－23 3D ．以上都不对解析：由题意知yx －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点 (2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，yx －2＝k 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意． 答案：C5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)． 由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝－2＋n 2＝1＋1＝ 2.故选A. 答案：A6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，那么椭圆的方程是________．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ， 又a －c ＝3， 故c ＝3，a ＝23， ∴b 2＝(23)2－3＝9， 椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50， 即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2. 答案：6 28．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3.答案： 39．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1， ∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53. [B 组 能力提升]1．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.3－ 2 C.3－1 D.2－1解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m . 又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m . 所以椭圆的离心率e ＝2c2a ＝621＋22＝6－ 3.答案：A2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0， 可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74<2， ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A. 答案：A3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：64．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e＝22. 答案：225．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，① ax 22＋by 22＝1.②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， 则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b. ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程． 解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1， 所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2. 设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c 2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0，Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是方程的两个根．得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2，当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1。
3.1.1 椭圆及其标准方程基础练习一、单选题1．已知P 是椭圆2212516x y +=上的一个点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若13PF =，则2PF 等于（ ） A ．10 B ．7 C ．5 D ．22．以()11,0F -，()21,0F 为焦点，且经过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．2214x y +=3．已知椭圆143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于M ，N 两点，若1F MN△的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．84．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点，若12||||6PF PF +=，则12PF F △的周长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．已知椭圆C ：21y x k+=的一个焦点为（0，-2），则k 的值为（ ）A ．5B ．3C ．9D ．25标准方程是（ ）A ．221168x y +=B ．221168y x +=C ．2212416x y +=D ．221249x y +=7．已知椭圆C ：()2210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D ．22197x y +=【答案】A8．已知点12,F F分别是椭圆1259x y+=的左､右焦点,点P在此椭圆上,1260F PF∠=,则12PF F∆的面积等于A B．C．D．60及三角形面积公式即可求解【详解】椭圆225x+9．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线22:1x yCm n+=描述正确的是（）A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线C．曲线C的椭圆D．曲线C可表示为渐近线方程是y=的双曲线A ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为4B ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为6C ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为6D ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为8 【答案】BD【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点()0,2，()0,2-的距离为46<，所以选项A 不符合椭圆定义，选项B 符合椭圆定义；因为两定点()3,0，()3,0-的距离为68<，所以选项C 不符合椭圆定义，选项D 符合，11．在曲线()22:10,0C Ax By A B +=>>中，（ ）A ．当AB >时，则曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆 B ．当A B ≠时，则曲线C 为椭圆 C ．曲线C 关于直线y x =对称D ．当A B ≠时，则曲线C 的焦距为【答案】ABD12．若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为______．【详解】 又PF 13．过椭圆142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的2ABF 的周长是______．【答案】8，利用椭圆的定义可得出2ABF 的周长由题意可知，2ABF 的周长为12BF BF +14．椭圆22115x y m ++=的焦距为4，则m ＝______．1715．已知方程164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；16．椭圆194x y +=的短轴长为______．17．椭圆123x y +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为_____.19．已知椭圆22110036x y+=上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离．20．已知椭圆的两个焦点分别为1和2，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为221 259x y+=？(1)22110064x y +=； (2)221916x y +=；(3)2222x y +=．49-，求点A 的轨迹方程．．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点1折叠到点，连接1，标记出1OP 与折痕1l 的交点1M （如图），若不断在圆周上取新的点2P ，3P ，…进行折叠并得到标记点2M ，3M ，…，则点1M ，2M ，3M ，…形成的轨迹是什么？并说明理由．24．已知定点1、2和动点．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M 的轨迹及其方程． 条件①：1212MF MF += 条件②：128MF MF +=(2)()1220MF MF a a +=>，求：动点M 的轨迹及其方程．一、单选题1．椭圆22110064x y+=的焦点为1F，2F，椭圆上的点P满足1260F PF∠=︒，则点P到x轴的距离为（）A B C D．64 312PF F S=2．已知1F 、2F 是椭圆2:1163x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PF PF ⋅（ ）A ．有最大值，为16B ．有最小值，为16C ．有最大值，为4D ．有最小值，为43．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得122F PF π∠=B ．12cos F PF ∠的最小值为725-C ．12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925根据120D D F F ⋅<得，结合余弦定理与基本不等式求解判断进而计算面积判断选项，由于()(124,3,4,3F F D D =--=-，1216D D F F ⋅=-12F PF S=对于D 4．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C ．若1O N D N ==，3MN =，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为______．依题意，2MD DN =，且1DN ON ==，)()00,2x y x t y -=-，且()0220x t x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩5．如图，1，2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为_______．在1PF Q 中，6．与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且过点()3,2-的椭圆方程为______．【答案】2211510x y +=【分析】结合已知条件求出c ，然后利用7．已知直线y =与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，若122MF MF ⋅=，求椭圆的标准方程．，进而由122MF MF ⋅=求得.⎝又因为122MF MF ⋅=，所以122,MF MF c ⎛⋅=- ⎝()2,2M ，1F 矩形的最大面积．9．已知P 是椭圆221259x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点．(1)若1290F PF ∠=︒，求12PF F 的面积； (2)求12PF PF ⋅的最大值． 12Rt F PF 中，11002PF -⋅12F PF 的面积为(1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 上是否存在点M 使12MF MF ⊥?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．11．已知椭圆1C 与椭圆2:1305x y C +=具有共同的焦点1F ，2F ，点P 在椭圆1C 上，12PF PF ⊥，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆1C 过点()；②椭圆1C 的短轴长为10；③椭圆1C 的离心率为2．(1)求椭圆1C 的标准方程； (2)求12PF F △的面积．12PF F S=12．已知椭圆()2210x y a b a b +=>>的长轴长为4，右焦点到直线4x =的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y x =M ，N 两点，椭圆上存在点P ，使得()()0OP OM ON λλ=+>，求实数λ的值.所以(0,OM =-，87ON ⎛= ⎝又()83,7OP OM ON λλ⎛=+= ⎝8363,77P λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，13．已知P 点坐标为(0,2)-，点,A B 分别为椭圆22:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右顶点，ABP △是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.所以0OM ON ⋅>，即12121x x y y x +=)(2122k x x k +-。
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椭圆的简单的几何性质(1）一、选择题1．如果方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) A．(3，＋∞）B．（－∞，－2）C．（3,＋∞)∪（－∞，－2）D．(3,＋∞）∪（－6，－2）［答案］D[解析] 由于椭圆的焦点在x轴上，所以错误!即错误!解得a〉3或－6〈a〈－2，故选D。
2．若焦点在y轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，则m的值为( ）A．1 B．错误!C. 3 D．错误!［答案］B［解析] 由题意得a2＝2，b2＝m,∴c2＝2－m，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m＝错误!。
3．椭圆C1：错误!＋错误!＝1和椭圆C2：错误!＋错误!＝1 （0〈k〈9）有( ）A．等长的长轴B．相等的焦距C．相等的离心率D．等长的短轴［答案] B4．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为错误!，过F2的直线B的周长为4错误!，则C的方程为( ）l交C于A、B两点，若△AF1A.错误!＋错误!＝1 B．错误!＋y2＝1C.错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［答案] A[解析] 根据条件可知错误!＝错误!,且4a＝4错误!，∴a＝3，c＝1，b＝错误!，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.二、填空题5．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．[答案］错误!＋x2＝1［解析] 由已知，2a＝8，2c＝2错误!，∴a＝4，c＝错误!，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为错误!＋x2＝1.6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________．[答案] （2,4］［解析] ∵b＝1，∴c2＝a2－1，又错误!＝错误!＝1－错误!≤错误!，∴错误!≥错误!，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长为2〈2a≤4。
