人教A版普通高中数学教科书“几何与代数”主题教材解读

3.3几何概型教材解读一、几何概型1．几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点： （1）每个基本事件的发生都是等可能的． （2）所有基本事件为无限个． 3．古典概型与几何概型的比较： （1）相同点：试验中每个基本事件出现的可能性都是相等的；（2）相似点：两种概型的求法相似，同属于“比例求法”，即通过求比例得到结果，但其具体公式中的分子与分母不同．（3）不同点：古典概型问题中，所有可能出现的基本事件只有有限个；而几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个． 4．几何概型的判断：几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题．如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题． 5．几何概型概率公式：．A A μμΩ=构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域的长度(面积或体积) 其中：表示区域的几何度量；表示子区域的几何度量．μΩΩn μA 6．计算几何概型的概率的基本步骤为： （1）计算构成所求概率的事件的区域的长度（面积或体积）m ； （2）计算试验全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）n ；（3）应用公式，计算概率．()m P A n=二、均匀随机数的产生 1．间随机数的产生：[]01， 在计算器中应用随机函数可连续产生范围内的均匀随机数．不同的计算器[]01，具体操作过程可能会不同． 2．随机模拟法的应用：随机模拟法可用来求某些特殊图形（特别是不规则图形）的面积的近似值，或求某些量（如）的近似值．π 3．随机模拟方法求面积的具体步骤： （1）用计算器或计算机产生一系列内的随机数；[]01，11x y ， （2）经平移和伸缩变换，，，使得随机数的范1()x x b a a =⨯-+1()y y d c c =⨯-+x 围在内，随机数的范围在内；[]a b ，y []c d ， （3）计算落在所求面积的区域内的随机数组的个数，有时需计算检验；()x y ，N （4）应用公式计算近似面积，其中为相应的矩形面积N s S M=⨯S ，为总的随机数组的个数，为所求图形的面积的近似值()()b a d c -⨯-M ()x y ，s ．三、特别提示１．计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题（如时间问题）转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算． 2．几何概型中基本事件的“等可能性”的判断切勿忽略，否则易致错．3．“单点事件”不影响几何概型问题概率的计算，所以计算概率时，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．4．如果事件A所对应的区域的长度、面积、体积等较难运算，可从对立区域入手P A P A=-()1()考虑，然后应用对立事件的概率公式来解决问题．5．随机模拟法应用前可先对问题进行一定的简化，以使得试验更加方便易行．。

重视研究起点，体现研究方法在本章，基本立体图形和基本图形位置关系是主要的学习内容．对于基本立体图形，主要研究空间几何体的结构特征和它们的表面积与体积，它们反映了立体图形的形状和大小．对于基本图形位置关系，主要研究空间点、直线、平面的位置关系，重点是直线、平面之间的平行、垂直关系，它们反映了立体图形的位置关系．对于这些内容的教学，要注意加强研究过程中的“一般观念”的引导：首先要让学生明确研究对象，也就是要研究什么问题；其次要让学生知道怎么研究，也就是体会研究立体图形的基本思路和方法，使学生逐步学会抽象数学对象，提出数学问题的方法，提升发现和提出问题的能力．1．利用结构特征描述空间几何体的形状，抽象得到基本立体图形如前所述，对于各种空间几何体，可以按照“定义一平面表示直观图一面积．和体积”的研究路径展开．这一过程中，要重视各种空间几何体的概念的形成过程．认识一个几何体，要从它的结构特征入手，想象围成它的每个面的形状、面与面之间的关系．从组成它们的面的形状不同、面与面之间的关系不同，可以将它们分为多面体和旋转体．再进一步考察多面体和旋转体的组成元素——棱与棱、棱与面、面与面——的形状和位置关系，将它们分为具体的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等．对此，教科书呈现了如下建立各种空间几何体的概念的过程：1呈现一些实物图片，并向学生提出问题：“这些物体图片所表示的物体具有怎样的形状？数学中，具有这种形状的物体叫做什么？你是如何描述它们的形状的？”2对如何观察这些物体、描述它们的形状进行引导：“观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象组成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．”3将实物图片所表示的几何体按照“由若干个平面多边形围成的”和“封闭的旋转面围成的”分成两类，得到多面体和旋转体的概念．4从多面体、旋转体组成元素的形状、位置关系入手，提出进一步认识特殊的多面体和旋转体的问题．5对于多面体，例如棱柱，结合表示棱柱的实物图片，分析组成它们的每个面的形状、面与面、棱交线与棱之间的位置关系，发现其共同特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，进而抽象出棱柱的概念．6对于旋转体，重点分析经旋转得到旋转面的平面曲线的形状以及它们与轴的位置关系，以了解不同旋转体的结构特征，形成各种旋转体的概念．7回顾棱柱、棱锥、棱台等多面体，分析其结构上的相同点和不同点，建立这些概念之间的联系；对圆柱、圆锥、圆台等旋转体类似处理．这样处理，紧扣用点、棱线段、面等组成要素的形状和位置关系刻画结构特征，用结构特征描述空间几何体的形状，体现了获得基本立体图形空间几何体这一立体几何的研究对象的过程，这也是“用数学的眼光观察世界”的过程，也是提升数学抽象、直观想象素养的过程．2．重视研究起点，体现研究方法，研究基本图形位置关系点、直线、平面是组成立体图形的基本元素，也是基本图形位置关系的研究对象．对于直线、平面间的判定和性质的研究，首先要明确研究起点，也就是要明确什么是判定，什么是性质．例如，对于直线与平面垂直这种位置关系，其判定就是它的充分条件，也就是与已知直线、平面有关的直线、平面具备什么样的位置关系时，该直线和平面垂直；其性质就是它的必要条件，也就是在已知直线和平面垂直的情况下，与之有关的直线、平面具有什么样的位置关系．明确了研究起点，在对直线、平面间平行、垂直关系的研究中，还要重视前述“直观感知—操作确认一推理论证”的研究过程，在这一过程中从一般到特殊地思考问题，将高维问题转化为低维问题，同时关注确定平面的条件．这样处理，体现了从“一般观念”出发研究一个数学对象的基本过程，使学生不仅“知其然”“知其所以然”，还要“何由以知其所以然”①，在掌握具体的知识、技能的同时，学会如何发现和提出问题，如何分析和解决问题，从而发展其数学核心素养．例如，对于平面与平面垂直的性质的研究，教科书呈现了如下过程：1要让学生明确，研究平面与平面垂直的性质，就是在两个平面垂直的条件下，能推出哪些结论．这些结论又该从哪个角度提出呢？实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系．2根据以往的研究经验平面与平面的位置关系转化为直线与平面的位置关系，我们可以研究其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系．3对于一个平面内的直线与另一个平面的位置关系，一般情况是相交，这时这条直线与两个平面的交线这一特殊元素发生关系，它们相交．这启发我们要关注一个平面内的直线与两个平面的交线的位置关系．4从一般到特殊，这条直线和两个平面的交线的特殊位置关系是平行和垂直．一个平面内的直线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行已研究，一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置关系？5容易发现这条直线与另一个平面垂直，从而得到平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．再对定理进行证明．6拓展探究：对于两个平面互相垂直的性质，前面探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？上述过程，比较完整地体现了从什么是几何图形的性质，到怎么研究性质的过程．教学中，应注意引导学生经历上述过程，使学生不仅学到具体的平面与平面垂直的性质定理，更能在这一过程中体会研究几何图形性质的一般思路和方法，学会“用数学的思维思考世界”，培养发现和提出问题的能力．。

高中数学教材解读全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学教材解读一、高中数学教材的内容结构高中数学教材通常包括代数、几何、数论、函数、概率与统计等多个模块，每个模块又分为不同的章节和小节。

代数部分主要包括方程、不等式、函数、数列等内容，几何部分则包括平面几何、立体几何、解析几何等内容。

数论部分主要涉及整数的性质和运算规律，而函数和概率统计则是数学的重要分支，涵盖了各种函数类型和统计学方法。

在这些内容中，代数和几何是高中数学的重点，它们既是数学学科的基础，又是学生课程考试的重要内容。

学生需要在高中阶段扎实掌握代数和几何的基本知识，以便更深入地学习和应用数学知识。

高中数学教材的教学方法主要包括讲解、练习、讨论和实践。

在课堂上，老师会通过讲解数学知识，引导学生理解时应用；通过练习题，巩固学生的知识点和解题能力；通过讨论和实践，激发学生的思考和创造力。

在教学方法中，练习是高中数学教育的重要环节。

通过大量的练习题，可以帮助学生熟练掌握数学知识，培养解题能力和自信心。

通过讨论和实践，可以让学生更深入地理解数学概念和方法，提高数学思维能力。

高中数学教材的学习策略主要包括理解、记忆、练习和应用。

在学习数学知识时，学生需要先透彻地理解每一个概念和方法，然后进行记忆和总结，巩固所学知识。

接着，通过大量的练习题，提高解题能力和技巧，将所学知识运用到实际问题中，培养数学思维能力和解决问题的能力。

还需要学生注重思维训练，培养逻辑思维和创造力。

数学是一门需要逻辑性思维的学科，学生需要通过练习题和实践，锻炼自己的逻辑推理能力和解题技巧。

也要注重培养创造力，发散性思维和创新能力，让学生在解决数学问题时能够灵活应用知识。

第二篇示例：高中数学教材解读高中数学作为中学阶段的一门重要学科，是学生思维能力的重要训练和素质教育的重要组成部分，高中数学教材作为学生学习数学知识的重要工具，承载着数学教育的使命和责任。

本文将对高中数学教材进行解读，探讨其内容、特点和教学方法，帮助学生更好地掌握高中数学知识。

新课标高中数学人教A版必修四教材分析及教学建议迁安二中杨桂芹一、教材内容、地位：1．内容：人教A版数学（必修4）的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。

2．地位：（1）三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.（2）向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

（3）变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。

代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。

在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换，在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。

二、新教材与旧教材的内容上对比：三角函数是高中数学的重要组成部分，是进一步学习数学的基础，也是数学与其他学科联系的重要工具。

三角函数的内容是新课程标准中删减、变化较大的内容之一，教师在教学过程中应积极转变教学思想和研究教学方法，将新课程标准的理念贯彻到课堂教学中去。

“平面向量”一章，突出强调了向量的工具特性，充分利用向量的物理背景与几何背景建立向量及其运算的概念，并在这个过程中强调用向量解决实际问题及几何问题。

其中，特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”，从而比较好地体现了数形结合思想。

另外，作为一个应用，用向量方法推导了两角差的余弦公式。

为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。

内容安排本章内容主要包括两部分，第一部分是基本立体图形，主要是对空间几何体的认识．教科书从对空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，帮助学生认识这些图形的几何结构特征，学习它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算．第二部分是基本图形位置关系，主要是对组成立体图形的几何元素之间的位置关系的认识．教科书从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面的平行和垂直这两种特殊的位置关系．本章第1节是“基本立体图形”，主要内容是认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征．教科书从日常生活中这些几何体的实物模型出发，让学生观察组成这些物体的表面，引导他们思考空间几何体的分类方法，得到多面体、旋转体的概念；再进一步从围成物体的表面形状、位置关系等入手认识棱柱、棱锥、棱台等多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征，得到它们的相关概念，再进一步讨论由它们组合而成的简单组合体．学习了基本立体图形，接下来自然的问题就是将它们在平面上表示出来，这也就是本章第2节“立体图形的直观图”的内容．教科书从观察矩形窗户的影子、矩形农田出发，利用平行投影，给出了平面图形直观图的斜二测画法．在此基础上，介绍了几何体的直观图的画法．需要注意的是，画旋转体的直观图时，对于圆的直观图的正等测画法，教科书没有作为基本要求，学生能用椭圆模板画示意图即可．本章第3节是“简单几何体的表面积与体积”，主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法．受学生所学知识基础的限制，本节中的大部分体积公式都没有给出推导过程，而是直接给出的，学生能应用即可．另外，在本节，除了《标准（2021年版）》要求的棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积公式以外，为了加强知识之间的整体性和联系性，教科书还归纳了学生在义务教育阶段学习过的圆柱、圆锥的表面积和体积公式，并给出了圆台的表面积和体积公式，进而从这些几何体的结构特征上建立它们的体积公式之间的联系．在前三节通过直观感知、操作确认等认识基本立体图形（即认识它们的结构特征、直观表示、表面积和体积的计算）的基础上，按照从整体到局部、从具体到抽象的安排，教科书接下来对立体几何内容的学习进入“局部”“抽象”“思辨论证”的定性研究的阶段．立体几何定性研究的重点是直线、平面之间的位置关系，在研究这些位置关系时，从复杂图形向简单图形、从立体图形向平面图形转化是考虑问题的一般思路．在这一过程中，确定图形的组成要素和特殊的位置则是考虑问题的出发点．为此，教科书在接下来的3节内容中，首先研究了平面的概念和基本性质，由此出发，研究空间点、直线、平面的位置关系，并重点研究直线、平面之间平行和垂直关系的性质和判定方法，在此基础上，解决一些简单的推理论证和应用问题．按照上述思路，本章第4节安排了“空间点、直线、平面之间的位置关系”．首先是平面的概念和基本性质．平面是立体几何中不加定义的概念，它的“平”和“无限延展”的基本特征是通过三个基本事实刻画的，这三个基本事实以及它们的三个推论又提供了确定一个平面的方法，因此这部分内容是后续研究直线和平面的位置关系的基础．对于空间点、直线、平面的位置关系，教科书也是按照从整体到局部的思路来安排的，本节后半部分就是对这些位置关系的整体认识．结合长方体，教科书重点呈现了直线、平面之间的位置关系，包括直线和直线的位置关系相交直线、平行直线、异面直线），直线和平面的位置关系（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行），平面和平面的位置关系（两个平面平行、两个平面相交．按照一般到特殊的思路，在对空间点、直线、平面的位置关系整体认识的基础上，接下来教科书重点研究直线、平面间的平行、垂直关系，这也就是接下来教科书第5节、第6节的内容．教科书第5节“空间直线、平面的平行”是按照位置关系展开的，即按照直线和直线平行、直线和平面平行、平面和平面平行展开研究，重点研究它们的判定和性质．对于垂直，教科书第6节“空间直线、平面的垂直”也是按照这一思路，一脉相承地处理．按照《标准（2021年版）》的要求，对于直线和平面平行、垂直的判定方法，在本章并不要求证明（将在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中进行证明），因此教科书按照直观感知、操作确认的思路处理，让学生经历研究思路的引导，观察发现、操作确认这一研究判定定理的过程．对于性质，则要在上述过程的基础上思辨论证，即对性质定理进行证明．在学习直线、平面的平行、垂直判定和性质的基础上，教科书还安排了一些简单的几何命题以及应用问题，以要求学生应用这些图形的判定和性质．在本章，在对空间几何体的整体认识部分，简单几何体的结构特征是教学的重点，在认识空间几何体时，需要数学抽象，需要从“感性具体”略去非数学特征到“理性具体”，再由“理性具体”把握其共同属性到“理性一般”．在教学中，需要充分使用直观模型，在抽象过程中引导学生关注组成几何体的面的特征及其位置关系这一观察重点，逐步深入，抽象出空间几何体的本质属性，形成概念．本章的四个基本事实是考虑立体几何问题的出发点，因此它们是本章教学的重点．在研究直线、平面的位置关系的过程中，重点是其特殊情况，即直线、平面的平行和垂直关系．对它们的研究又体现了由简单到复杂、由易到难的研究方法，同时也体现了在解决空间图形问题过程中，空间图形问题转化为平面图形问题的重要思想方法．因此，直线、平面平行和垂直的判定和性质也是本章的重点内容，它们也是解决立体几何问题的基本定理．在解决空间图形的问题中，有时需要在较复杂的图形中分析其中直线、平面的位置关系，需要综合运用本章一些基本事实以及位置关系的判定和性质，这需要较高的直观想象和逻辑推理能力，这是本章教学的难点．这需要在教学相关定理时遵循直观感知、操作确认、思辨论证的研究空间图形的过程，引导学生体会研究空间图形的方法，关注基本图形，从基本图形再到复杂图形，逐步形成研究和解决空间图形问题的思路和方法．课时安排本章教学时间约需19课时，具体分配如下（仅供参考）：81基本立体图形约2课时82立体图形的直观图约2课时83简单几何体的表面积与体积约2课时84空间点、直线、平面之间的位置关系约2课时85空间直线、平面的平行约3课时86空间直线、平面的垂直约3课时文献阅读与数学写作*几何学的发展约1课时小结约2课时。

章建跃：人教A版高中数学课标教材中的解析几何人教A版高中数学课标教材中的解析几何──“中学数学中的解析几何”之四人民教育出版社中学数学室章建跃一、“课标”对解析几何内容的安排为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。

必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

选修1、2模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。

作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了《坐标系与参数方程》专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程──圆与方程──圆锥曲线与方程──极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。

二、人教A版解析几何教材的特点在编写人教A版解析几何教材的过程中，我们按照“课标”的要求，注意吸收以往教材的优点，强调在继承基础上进行创新。

在内容的选择上，加强背景和应用，减少抽象的、形式化的理论；注重按照学生学习心理组织教材内容，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，减少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化；等。

编写意图1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理，定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决．一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲“：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题：第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．这种利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．在解决几何问题时具有程序性、普适性．对于立体几何中的向量方法，教科书采取了先分放后集中的方式，即在学生系统学习空间向量知识的同时，安排利用空间向量解决简单的立体几何问题，渗透向量方法；而在建立空间向量的体系后，则集中围绕“使学生认识向量方法在解决立体几何问题中的作用，体会向量方法的“三步曲””这个中心来设计，结合具体问题明确给出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，安排用“三步曲”解决空间直线、平面的位置关系以及距离、夹角等度量问题的内容，进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的普适作用．5．关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作用空间向量投影是《课程标准（2021年版）》新增加的内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确的要求，我们在编写教科书时．关注了课程标准的这一变化．向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量．空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义，教科书在引入向量数量积后，类比在必修课程中学习过的平面向量投影的概念，利用几何直观给出了空间向量投影的概念，距离是空间中的重要度量．本章涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，分析上述距离的内容，可以得到如下认识：（1）除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题．（2）无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向．法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻面，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题．由此可见，投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法，在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、三者的差，构成直角三角形．这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解．在本章，教科书注意尽可能地使用投影向量研究立体几何中的距离问题，在“142用空间向量研究距离、夹角问题”中，教科书采取了如下的对“距离”的研究顺序：首先，通过问题“已知直线的单位方向向量为u，A是直线上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线的距离？”引出对点到直线的距离的研究，进而利用投影向量得到求点到直线的距离的公式．这也为下一章利用投影向量，结合坐标法获得解析几何中的点到直线的距离公式进行了铺设．接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？”引导学生自己研究两条平行直线之间的距离．进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法：第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量（如图，向量即为参考向量）；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，利用向量运算求投影向量的长度，最后，结合例题、习题，解决直线到平面、平行平面图问的距离问题（都可转化为点到平面的距离）．6．关注用空间向量研究空间中直线、平面间的夹角问题与距离类似，角度是立体几何中的另一个重要的度量．空间直线、平面间的夹角问题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，而直线、平面又都可以利用它的方向向量或法向量来刻画，因而空间直线、平面间的夹角问题就转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的夹角问题，进而可以利用空间向量的数量积运算加以解决．。

人教版A版高中数学知识点总结高中数学是学生在中学阶段学习的一门重要学科，它不仅培养学生的逻辑思维能力，还是大学及未来职业生涯中不可或缺的基础工具。

人教版A版高中数学教材以其系统性和严谨性，成为众多学校的首选教材。

本文将对该教材中的知识点进行总结，以帮助学生更好地复习和掌握。

函数与导数函数是高中数学的核心概念之一，它描述了两组数之间的一种特定关系。

在人教版A版高中数学教材中，函数的概念、性质、运算以及函数图像的绘制都是基础且重要的内容。

此外，导数作为函数的一个重要衍生概念，它描述了函数在某一点处的切线斜率，是微积分的基础。

学生需要理解导数的物理意义和几何意义，掌握求导法则，并能够应用导数解决实际问题。

三角函数三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解决与角度和三角形相关的问题中扮演着重要角色。

教材中详细介绍了三角函数的定义、性质、图像以及如何利用三角函数解决实际问题。

特别是在解决平面几何问题和解析几何问题时，三角函数是一个不可或缺的工具。

数列与数学归纳法数列是按照一定顺序排列的一列数，它在数学分析、组合数学以及离散数学中都有广泛的应用。

教材中不仅介绍了等差数列和等比数列的性质和求和公式，还涉及了无穷数列和级数的基本概念。

数学归纳法作为一种证明方法，对于证明与自然数相关的命题尤为重要，学生需要掌握其基本步骤和应用技巧。

解析几何解析几何是研究图形的几何性质和代数表示的学科。

在人教版A版高中数学教材中，涵盖了直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等基本图形的方程和性质。

学生需要理解这些图形的代数形式，能够根据给定条件求解几何问题，以及掌握利用坐标变换研究图形的几何变换。

概率与统计概率与统计是研究随机现象的数学理论，它在科学研究和日常生活中都有着广泛的应用。

教材中介绍了概率的基本概念、计算方法以及常见的概率分布，如二项分布和正态分布。

统计部分则包括了数据的收集、整理、分析和解释，以及统计图表的绘制和解读。

数学思维与方法数学思维是指在解决数学问题时所采用的思考方式和策略，它对于培养学生的创新能力和解决问题的能力至关重要。

普通高中课程标准实验教科书数学1(必修,人教A版〕简介与课程理念南京师大附中陶维林教授〔高中数学新课程人教A版编委，国内几何画板高手〕一、本册教科书的结构框架全书共36课时，包含三章：第一章集合与函数概念约13课时1.1 集合约4课时1.2 函数与其表示约4课时1.3 函数基本性质约3课时实习作业约1课时小结约1课时第二章基本初等函数〔Ⅰ〕约14课时2.1 指数函数约6课时2.2 对数函数约6课时2.3 幂函数约1课时小结约1课时第三章函数的应用约9课时3.1 函数与方程约3课时3.2 函数模型与其应用约4课时实习作业约1课时小结约1课时二、理念和处理方式上的变化Ø 强调对函数概念本质的理解〔1〕先讲函数后讲映射〔2〕削弱对定义域、值域过于繁、难的，尤其是人为的过于技巧化的训练〔3〕在高中阶段，多次反复、螺旋上升式地帮助学生逐步加深理解函数概念强调函数是刻画现实世界变化规律的模型目的：使学生认识到函数是刻画现实世界变量间依赖关系的基本数学模型。

做法：选取大量背景实例和应用实例；专门安排第3章“函数的应用〞。

注重与信息技术的整合〔1〕正文中适于信息技术使用的内容以“旁注〞的方式给于提示；〔2〕设置拓展性栏目“信息技术应用〞；〔3〕信息技术支持系统。

〔几何画板，Excel等〕本册教科书适合使用信息技术的内容•求函数值•作函数图象•研究函数性质•拟合函数三、各章中关键问题的具体处理方式Ø 集合1. 把集合作为一种语言来学习创设使用集合语言描述数学对象的情境；提供自然语言、集合语言、图形语言互相转换的机会。

2. 注重归纳、概括、类比等思维方法由实例归纳、概括出集合含义；类比数的关系、运算引入集合的关系、运算。

函数函数概念的处理方式——强调对函数本质的理解〔1〕从丰富的背景实例引入概念；〔2〕从函数三要素、函数符号、函数表示三个方面剖析、理解函数概念；〔3〕从函数推广到映射。

2. 讨论函数性质的“三步曲〞——加强几何直观、数形结合〔1〕观察图象，描述变化规律；〔2〕结合图、表，用自然语言描述变化规律；〔3〕用形式化语言描述变化规律。