讲义第3章-2b

3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围 两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理名称已知条件 示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．解 方法一 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， 当x ＝0时，y ＝2－5k ，当y ＝0时，x ＝5－2k .根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. 综上，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条答案 C解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条．1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1 C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 答案 A2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为______． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0， 直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0， 直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B. 2．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.3．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 019 B ．2 018 C ．2 017 D ．2 016 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009， 则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.6．(2017·菏泽二中检测)一条光线从点A ⎝⎛⎭⎫－12，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝⎛⎭⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 符合．8．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.二、填空题9．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_________________________________________________________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.10．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)， 由两点式可得， y －03－0＝x －21－2， 整理得3x ＋y －6＝0.11．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 三、解答题12．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y－52＝1.13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)， 即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为 y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0. 四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程，得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。

（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。

（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。

（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。

第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。

学生讲义第三章有机化合物第一节最简单的有机化合物——甲烷重庆市铜梁中学校左先群【课程三维目标】[知识技能] 1、甲烷的结构特点，电子式、结构式2、甲烷的物理性质和化学性质3、同分异构体和同系物的现象[过程方法] 1、实践活动，通过动手做甲烷的分子模型，理解正四面体结构，培养空间想象能力2、通过学习同分异构体，培养学生分析问题的能力[情感态度] 1、从有机物种类繁多，体验物质世界的多样化2、认识物质结构，理解本质结构与化学现象的内在联系【课前预习案】了解：（教辅67~68页）1、什么是有机物？2、为什么有机物的种类繁多？3、有机物的特点4、有机物的元素组成及分类5、有机物的发展甲烷：——看教材，利用身边的材料做出CH4的结构模型1、确定甲烷化学式的方法2、利用碳元素的成键特征，去推敲并掌握CH4的空间结构、电子式、结构式3、掌握CH4的组成、结构、性质4、掌握取代反应概念、类型、特点，以及CH4与Cl2反应的实验和相关计算5、CH4的燃烧反应6、了解CH4的实验室制法【课内探究案】概述1、什么是有机物？——世界上绝大多数的含碳化合物，都是有机化合物，简称有机物。

CO、CO2、H2CO3(碳酸)、CO32－(碳酸盐)、HCO3－(碳酸氢盐)、金属碳化物(CaC2)、金刚砂(SiC)、KSCN(硫氰化物)、KCN(氰化物)、KOCN(氰酸盐)等含碳化合物结构、性质与无机物很相似，这些物质不称为有机物。

2、为什么有机物的种类繁多？（结构特点）①碳原子最外层有4个电子，既不易失去电子，也不易得到电子，通常与其它原子共用电子形成4个共价键②碳原子不仅可以与其它原子形成共价键，碳原子之间也可形成共价键，碳原子之间可以形成碳碳单键(C－C)、碳碳双键(C=C)、碳碳三键(C≡C)③碳原子之间成键后，可以形成长长的碳链或者是碳环，还可以有支链④相同碳原子数和其他原子种类和数目的化学式，可存在不同的结构。

3、有机物的性质特点①有机物在固态时多数属于分子晶体，其熔沸点较低，硬度小②绝大多数有机物难溶于水，易溶于汽油、酒精、苯、CCl4等有机溶剂(相似相溶原理——结构与组成相似)③绝大多数有机物为非电解质，不导电④绝大多数有机物热稳定性差，受热易分解，熔点较低、易燃烧⑤有机物所起的反应复杂，且慢，常有副反应发生，且通常需要加热或使用催化剂，故用“→”表示反应生成4、有机物的元素组成及分类①元素组成：C 、H 、O 、N 、P 、S 、卤素等，主要为非金属元素(CH 3COONa 为有机物，属于离子化合物；叶绿素为有机物，其中含有Mg 元素)②简单分类5、有机物的发展①发现有机物②测定元素组成③初步探讨合成④研究结构⑤大量深入地探讨有机合成(创造新物质) ⑥运用于生物工程，进行高效、无污染的化学产业6、有机物与无机物的比较——教辅68页2比较 碳酸、 尿素、 氰酸铵结构简式：化学式： H 2CO 3 CO(NH 2)2 NH 4OCN结论：有机物和无机物并无绝对的界限甲 烷引言：烃——①最简单的有机物种类，只含有C 、H 两种元素(CH 4为最简单的烃) ②烃完全燃烧产物为CO 2、H 2O ，但燃烧产物为CO 2和H 2O 除了烃之外，还有含氧衍生物一、甲烷的分子结构化学式 电子式 结构式 空间构型 结构简式 最简式 球棍模型 比例模型（实验式） CH 4 正四面体 CH 4 CH 4指导阅读：成才之路必修二 教辅资料69页——有机物结构和组成的几种表示方法1、证明CH 4为空间正四面体结构的依据：CH 2Cl 2只有一种结构CH 4为非极性分子2、结构简式——比结构式简单，比化学式复杂，表示出特殊价键的连接方式；将C 所连的H 原子全部合并，用脚标表示个数；同一C 上所连的相同基团也可合并，用括号括起来，用脚标表示个数；相连的同一基团也可合并，用括号括起来，用脚标表示个数。

第三章重要词性了解二、代词Exercises:1. Here is the that his younger brother loves best.A. coffee cupB. coffee’s cupC. cup of coffeeD. coffee of cup2. Mr. Tony always has to tell his students at the beginning of his lectures.A. some good pieces of newsB. some pieces of good newsC. some good piece of newsD. some piece of good news3. As a businessman, Mr. Li gained his by selling famous of English and American writers.A. wealth; workB. wealth; worksC. wealths ; worksD. wealths ; work4. He is a kind-hearted man. People can get on well with him.A. FewB. A littleC. Quite a fewD. Little5. The post office isn’t far from here. It’s only bicycle ride.A. half an hours’B. an hour and a halfC. half an hourD. half an hour’s6. The population of Shanghai very big and most of its population native people.A. are ; isB. is ; isC. are; areD. is; are7. —Would you like to have ,Tom?—No, thanks, l have had enough.A. any more orange and applesB. some more oranges and applesC. any more oranges and applesD. some more oranges and apple8. —Which do you prefer to drink, or coffee?—, please.A. teas; Two teaB. tea; Two teaC. tea; Two teasD. teas; Two teas9. lt was really to get a present from him on her birthday party that she couldn’t believe it, looking at him in .A. such big surprise; a surpriseB. such a big surprise; surpriseC. so big surprise; a surpriseD. such big surprise; surprise10. These are bikes. The twin brothers like them very much.A. Jack’s and Jerry’sB. Jack’s and JerryC. Jack’s and Jerry B. Jack and Jerry’s11. —How much water is there in the bottle?—.You’d better come to fetch another bottle.A. A littleB. NothingC. No oneD. None12. Bill works harder than in his class. He is the most excellent student l have met.A. the other boysB. other boysC. any boyD. another boy三、形容词二、比较级1、只能修饰形容词原级的词very, quite, so, too. 例如：He is too tired to walk on. 他太累了以至不能再继续走了。

第三章教育预测的类型与基本程序本章主要内容第一节教育预测的类型第二节教育预测的基本程序第一节教育预测的类型一、宏观教育预测与微观教育预测按照教育预测范围或层次的不同，可以将教育预测分为：宏观教育预测与微观教育预测。

（一）宏观教育预测的概念和特点1.宏观教育预测的概念宏观预测一般指针对国家或部门、地区的活动进行的各种预测。

宏观教育预测，是指根据教育本身的发展规律，和社会、经济发展的客观规律，以及根据教育与政治、经济、科技、文化人口等的相互联系，从全局的相互联系、相互作用的角度，对一个国家、地区或部门的教育发展趋势等进行总体预测的活动。

宏观教育预测的主要内容包括：教育制度、教育功能、教育结构、教育形式，以及教育发展的规模和速度等。

2.宏观教育预测的特点（1）宏观教育预测所涉及的范围比较广，预测结果的指向范围较为宽泛，预测过程有一定的难度，所以宏观教育预测一般要花费较多的人力、物力和财力。

（2）由于宏观教育预测一般是为政府在政府部门制定政策时服务，因此，在解决教育预测所需的条件上相对是有保障的。

在政府部门的需要和支持下，宏观教育预测一直是教育预测的重要实践领域。

（二）微观教育预测的概念和特点1.微现教育预测的概念微观预测是指针对基层单位的各项活动进行的各种预测。

微观教育预测，是指对教育局部问题的预测，一般是从教育对受教育者个体产生的作用与影响的角度进行的预测活动。

从预测的范围来看，微观教育预测包括：学校发展前景预测、个人教育前途预测等；从预测所涉及的问题来看，微观教育预测包括：生源预测、师资需求预测、教育经费预测、教学内容预测、教学方法预测、教学组织形式预测、课程设置预测、教学手段预测和教学设施预测等。

2.微观教育预测的特点（1）微观教育预测的突出特点是，根据教育、教学活动和受教育者生理、心理发展的客观规律，对受教育者在教育教学活动作用下的成长过程和成就作出预测。

（2）微观教育预测是比较灵活多样的，对教育预测结果的准确性要求也相对较低一些，因此，微现教育预测工作的组织比较容易，花费较小，但微观教育预测的权威性不高，其预测结果不容易得到广泛的承认。

第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x 12＋y2－y 12.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：的解(2)|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？ 名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.讲一讲1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．(链接教材P 103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． (2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2. 2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1，故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二：设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )， 即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A 、B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A ，B 间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [思考3] 怎样理解两点间的距离公式？ 名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P 1P 2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P 1P 2平行于x 轴时|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；②直线P 1P 2平行于y 轴时|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.讲一讲2．已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． [尝试解答] 法一：∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－－＝32，k AB ＝－3－13－－＝－23， 则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝＋2＋－2＝213， |AB |＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 练一练3．保持讲2条件不变，求BC 边上的中线AM 的长．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝－3－2＋－2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.讲一讲3．如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8， ∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )； ②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )； ③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )； ④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )； ⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )；⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )． 练一练3．求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点坐标．解：设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，则有AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0.解得a ＝1，b ＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1. (2)计算两点间距离的方法，见讲2. (3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－2＋－2＝42，|CB |＝－2＋－2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 解析：选C |AB |＝＋2＋32＝32，|BC |＝＋12＋0＝3，|AC |＝－2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0，即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1. 答案：－13或－1 5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2. ∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝x －2＋－2 ＋x －2＋－2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝－2＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。