1.2 课时2 基本不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222a b ab +≥推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。
使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式.3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用.（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22a b + 2ab ，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ；，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ； ③3a b c ++≥ ，当且仅当 时，等号成立，其中,,a b c ∈ ； （2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,a b ∈R ；②③中等号成立时,(0,)a b ∈+∞.应用于求函数的最值.2．预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.A ．大于B ．小于C ．不大于D ．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D ．（2）若6x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】基本不等式 【解题过程】由2()2x y xy +≤，得26()2xy ≤，即9xy ≤，当且仅当3x y ==时，等式成立. 【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D ．（3）函数2sin ,(0,]sin 2y x x x π=+∈的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin sin y x x =+≥，当且仅当2sin sin x x =即sin x =取等号，不满足sin [0,1]x ∈，当2x π=时，min 3y =.【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,a b c 满足27abc =，则24a b c ++的最小值为（ ）A ．21B ．18C ．15D ．12【知识点】三个正数的均值不等式.【解题过程】由243a b c ++≥，2418a b c ++≥=，当且仅当24a b c ==即36,3,2a b c ===取等号. 【思路点拨】【答案】B(二)课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法.（2）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负.2．问题探究探究一 认识基本不等式●活动① 重要不等式定理1 如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.证明：由作差比较法得，222()2()0a b ab a b +-=-≥，且当且仅当a b =时，等式成立. 几何解释：如果把实数,a b 作为线段长度，那么可以这样a b ≥解释定理1（以为例）如图，在正方形ABCD 中，AB a =；在正方形CEFG 中，EF b =.那么22ABCD CEFG S S a b +=+正方形正方形.矩形,BCGH JCDI 的长均为a ，宽均为b ，它们面积之和为2BCGH JCDI S S ab +=矩形正方形以上两个矩形的公共部分为以边长为b 的正方形，其面积为2b ，所以上述两个矩形面积之和2ab 就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即222a b ab +=.【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．●活动② 基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式） 如果,0a b >，那么2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 证明：因为22()()22a b a b a b ab +=+≥=，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =，即a b =时，等号成立.几何解释：如图，CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，,AD a BD b ==.于是，11()22OC AB a b ==+.由Rt DCA ∆∽Rt DCB ∆，得2CD AD BD =⋅，即CD ab =，易知，OC CD ≥，且当且仅当,O D 重合时OC CD =，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. 如果,a b 都是正数，我们就称2a b +为,a b ab 为,a b 的几何平均数.于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．●活动③ 了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值.由基本不等式2a b ab +≥，得2()24a b a b ab ab ++≥≤： （1）当积为定值时，和有最小值，为ab ；（2）当和为定值时，积有最大值，为2()4a b +.【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法.探究二 三个正数的均值不等式●活动① 认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数,,a b c ，可能有：如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥a b c ==时，等号成立. 如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知,,a b c +∈R ，那么3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.证明：因为33332233()333a b c abc a b a b ab c abc ++-=+--+-332222()333()(()())3()a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c =++---=+++-++-++22222()(()()3)()()a b c a b a b c c ab a b c a b c ab ac bc =+++-++-=++++---2221()(()()())02a b c a b b c a c =++-+-+-≥ 所以3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3 如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥a b c ==时，等号成立. 这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n n a a a n +++≥12n a a a ===时，等号成立.【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．探究三 均值不等式的应用●活动① 利用基本不等式求最值例1 求函数12(0)y x x x =+>的最小值. 【知识点】基本不等式【解题过程】解：12y x x =+≥=，当且仅当12x x=，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x=+>的最小值为【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】同类训练 求函数12(0)y x x x=+<的最大值. 【知识点】基本不等式【解题过程】解：112((2)())y x x x x =+=--+-≤-=-，当且仅当12x x-=-，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x=+<的最大值为-. 【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】-同类训练 求函数12(1)y x x x=+≥的最小值. 【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想 【解题过程】由双勾函数12(1)y x x x=+≥的图像可知，函数在[1,)+∞上单调递增，所以12(1)y x x x=+≥的最小值为3. 【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值.【答案】3例2 求函数14(1)1y x x x =+>-的最小值. 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法）1144(1)44811y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当14(1)1x x -=-，即32x =时取等号.法2：（换元法）令1(0)x t t -=>，则114(1)4448y t t t t =++=++≥=，当且仅当14t t =，即13,22t x ==时取等号. 【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练 求函数2449(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令1(0)x t t +=>，则224(1)4(1)9449944t t t t y t t t t-+-+-+===+-48≥=，当且仅当94t t =，即31,22t x ==时取等号. 【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式.【答案】8同类训练 求函数y =的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】(2)t t =≥，则2112t y t t t +==+≥，当且仅当1t =时取等号，不满足2t ≥，由双勾函数图像可知，函数在[2,)+∞单调递增，所以函数的最小值为52. 【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像.【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．●活动② 求含双变量的代数式的最值例3 若236(0,0)x y x y +=>>，求以下代数式的最值:①xy 的最大值；②213x y+的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】①236x y +=≥，所以32xy ≤,当且仅当233x y ==，即3,12x y ==时取等号；②2121112613()(23)(5)(53366362x y x y x y x y y x +=++=++≥+=,当且仅当263x y y x=，即22,3x y ==时取等号. 【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法 【答案】①32 ②32同类训练 已知211,,2m n m n +∈+=R ，求2m n +的最小值. 【知识点】基本不等式【解题过程】2142(2)()22(4)2(416n m m n m n m n m n +=++⋅=++≥+=，当且仅当4n m m n =，即8,4m n ==时取等号.【思路点拨】掌握“1”的代换的应用【答案】16例4 已知2234(0,0)32x y xy x y +-=>>，求2x y +的最大值. 【知识点】基本不等式 【解题过程】由223432x y xy +-=，得23(2)532x y xy +-=， 所以223552(2)2()32222x y x y x y ++-=⋅≤，即233(2)832x y +≤，所以122x y +≤，当且仅当11,48x y ==时取等号. 【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分 【答案】12同类训练 已知0,0,228x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】因为228x y xy ++=，所以2(2)28(2)4x y x y x y +⋅=-+≤， 所以2(2)4(2)320x y x y +++-≥，即(28)(24)0x y x y +++-≥，因为0,0x y >>， 所以24x y +≥，当且仅当2x y =，即2,1x y ==时取等号.【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值.【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值． ●活动③ 三个正数的均值不等式的应用例5 求函数242(0)y x x x=+>最小值. 【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】22226y x x x =++≥=，当且仅当222x x=,即1x =时取等号. 【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练 把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？.【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则231132324(32)(32)(32)4()2443x x x V x x x x x -+-+=-=-⋅-⋅≤= 当且仅当324x x -=，即12x =时取等号. 【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题 【答案】当切去的正方形边长是12时，才能使盒子的容积最大. 【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值．3. 课堂总结知识梳理（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．（2）运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件．重难点归纳（1）正确理解基本不等式的意义．（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x yy x + B. C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 【知识点】基本不等式【解题过程】因为20,20x x ->>，所以22x x -+≥.当且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D2．设,R x y ∈且5x y +=，则33x y +的最小值是( )A ．10B ．C ．D ．【知识点】基本不等式【解题过程】33x y +≥==，当且仅当52x y ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D. 3．设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【知识点】基本不等式【解题过程】,x y 为正数，144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当4y x x y=，即2y x =时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B4．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【知识点】基本不等式. 【解题过程】因为直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，所以111a b+=.所以11()()224a b a b a b a b b a+=++=++≥+=，当且仅当2a b ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】C5．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是________． 【知识点】基本不等式【解题过程】11333(3)3y x x x x =--=-+≤-，当且仅当13x x =，即x =. 【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件【答案】3-6．设,,R x y z +∈，且6x y z ++=，则lg lg lg x y z ++的取值范围是( )A ．(,lg 6]-∞B ．(,3lg 2]-∞C ．[lg 6,)+∞D ．[3lg 2,)+∞【知识点】基本不等式；对数的运算.【解题过程】因为lg lg lg ()x y z lg xyz ++=，而33()23x y z xyz ++≤=. 【思路点拨】利用基本不等式求最值所以3lg lg lg ()lg 23lg 2x y z lg xyz ++=≤=，当且仅当2x y z ===时取等号．【答案】B能力型 师生共研 7．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【知识点】基本不等式；恒成立 【解题过程】不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则min 1(()())9a x y x y ++≥，21()()111)a y ax x y a a x y x y++=+++≥++=+，得到21)9≥，2≥4≤-(舍去)．即正实数a 的最小值为4. 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B8．若log 2x y =-，则x y +的最小值是( )【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算.【解题过程】当log 2x y =-，得2x y -=且0,0x y >>，221122x x x y x x x +=+=++≥=.当且仅当212x x=，即x =时取等号． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】A探究型 多维突破9．定义运算“*”：22*(,,0)R x y x y x y xy xy-=∈≠，当0,0x y >>时，*(2)*x y y x +的最小值为________．【知识点】基本不等式．【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】因为22*(,,0)x y x y x y xy xy-=∈≠R ，所以22222242*(2)*222x y y x x y x y x y y x xy yx xy y x --++=+==+≥=，当且仅当2x y y x=，即x =时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值10.函数25()(52)(0)2f x x x x =-<<的最大值是________． 【知识点】三个正数的均值不等式 【解题过程】231145252250()(52)=4(52)(52)()44327x x x f x x x x x x +-+-=-⋅⋅-⋅-≤=， 当且仅当452x x =-，即56x =时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】25027自助餐11.若不等式240x ax ++≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[0,)+∞B.[4,)-+∞C.[5,)-+∞D.[4,4]-【知识点】基本不等式；恒成立问题．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由240x ax ++≥，得4a x x -≤+，所以min 4(),(0,1]a x x x -≤+∈，因为45x x +≥，当且仅当1x =时取等号，所以5a -≤，即5a ≥-．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D12．直线220(,)ax by a b R ++-=∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b+的最小值是（ ） A.1 B.5 C.42 D.3+22【知识点】基本不等式；圆．【解题过程】由题可得，直线220(,)ax by a b ++-=∈R 过圆心(1,2)，所以1(,)a b a b ++=∈R 所以21212=()()33a b a b a b a b b a +++=++≥+，当且仅当2a b b a=，即21a b ==时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D13．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的取值范围是 .【知识点】基本不等式.【解题过程】3xy x y =++≥，所以3≥或1≤-（舍去），即9xy ≥，当且仅3x y ==时取等号.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】[9,)+∞14．已知函数()2x f x =，点(,)P a b 在函数1(0)y x x=>的图象上，那么()()f a f b ⋅的最小值是________．【知识点】基本不等式【解题过程】点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，所以有1ab =.因为0,0a b >>，所以()()=224a b f a f b +⋅≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】415．设,,0x y z >且346x y z ++=，则23x y z 的最大值是_________．【知识点】n 个正数的均值不等式.【解题过程】因为634422x x x y z y y y z =++=+++++≥，所以231x y z ≤，当且仅当42x y z ==，即12,1,4x y z ===时取等号. 【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值【答案】116.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3x -与1t +成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2018年生产的化妆品正好能销售完，试将2018年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【知识点】基本不等式【数学思想】函数与方程思想【解题过程】(1)由题意可设31k x t -=+，将0,1t x ==代入，得2k =.所以231x t =-+. 当年生产x 万件时，年生产成本为232332(3)31x t +=-++，当销售x 万件时，年销售收入为211.5[32(3)3]12t t -+++.由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．(2)令1(1)t λλ=+≥，则2(1)98(1)353250()504222y λλλλλ--+-+==-+≤-=， 当且仅当32=2λλ，即8λ=，7t =时等号成立. 【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题【答案】（1）29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大.。
