11系统的稳定性分析Bode稳定判据

相角裕度也叫相位稳定性储备。
1
正增益裕度
Kg
-1
正相角裕度
A
jY ()
1
0
X ()
负相角裕度
jY ()
A 1
-1 0
X ()
稳定系统 (a)
1
负增益裕度
Kg
不稳定系统
(b)
L( )(dB)
L( )(dB)
正增益裕度
0
0
负增益裕度
Fra Baidu bibliotek
-90° ()()
-90° ()()
-180° 正相角裕度
-270°
稳定系统 (c)
在对数相频特性曲线ω=0+处，由下向上补画一条
虚线，该虚线通过的相位为ν·90°，计算正负穿越时， 应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。
例1 系统开环传递 函数为
G(s)H (s) K s(Ts 1)
L( )(dB)
-20dB/dec
0
1/T
20lgK
-40dB/dec
试用对数稳定判据
角增加)；反之，称为负穿越（相角减少）。
Bode图相频曲线图上， (ω)从－180°线开始往上 称为半个正穿越， (ω)从－180°线开始往下称为
半个负穿越。
二、 对数幅相频率特性的稳定性判据
表述为：
如果开环系统在s平面的右半平面有p个极点，在对数 幅频特性为正的所有频段内，相频特性曲线在-180°线
2. 增益裕度Kg
在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率）处，
开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做
Kg 。即
Kg 1 A(g )
在Bode图上，增益裕度改以分贝(dB)表示
Kg 20 lg A(g ) L(g )
1
正增益裕度
Kg
-1
正相角裕度
A
jY ()
1
0
X ()
负相角裕度
7.6 由伯德图判断系统的稳定性
一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系
Nyquist图与Bode图，有如下对应关系：
➢Nyquist图上的以原点为圆心的单位圆Bode
图上的0dB线，即对数幅频特性图的横坐标轴；
单位圆以外L(ω)>0的部分 单位圆内部L(ω)<0的部分
➢Nyquist图上的负实轴Bode图上的相频特性的
( )()
判断其稳定性 。
0°
-90°
-180°
例5-11的伯德图
解：系统的开环传递函数在s平面右半部没 有极点，即P=0，而在L(ω)≥0的频段内，相
频特性(ω)不穿越－180°线，故闭环系统必
然稳定。
例2. 判定下列图的稳定性
图(a): p=0, 穿越次数之差为零，闭环稳定； 图(b): p=1，为半次正穿越，闭环稳定； 图(c): p=2，穿越次数之差不等于p/2，闭环不稳定； 图(d): p=2，穿越次数之差等于p/2，闭环稳定。
-180°线。
一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系
幅相曲线（-1，j0）点左侧
A
的负实轴
j
-1
BC D 0
0
对数幅频特性L(ω)>0（即零 分贝线以上的区域）
对数相频特性-180°线
L( )(dB)
0
截止 频率
c
()()
相位交 0
A B cD
界频率 -180
-270
一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系
1. 相角裕度γ
在频率特性上对应于幅值A(ω)＝1(即L(ω)=0)的角频 率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示，在剪切频 率处，相频特性距－180°线的相位差γ叫做相角裕 度。即
(c ) (180) 180 (c )
下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而 且还有相当的稳定储备，它可以在ωc的频率下，允 许相角再增加（迟后）γ度才达到临界稳定状态。
-180°
负相角裕度
-270°
不稳定系统 (d)
相角裕度和增益裕度
1. 相角裕度γ
对于稳定的系统， (ωc)必在伯德图－180°线以上，
这时称为正相角裕度，或者有正相角裕度，如图(c)
所示。对于不稳定系统， (ωc)必在－180°线以下，
这时称为负相角裕度，如图(d) 所示;
相应地，在乃氏图中，γ即为乃氏曲线与单位圆的交 点A 对负实轴的相位差值。对于稳定系统， A点必 在负实轴以下。如图(a) 所示。反之，对于不稳定系 统，A点必在负实轴以上，如图 (b) 所示。
以上表明，在图 (c)中，对数幅频特性还可上移Kg， 即开环系统的增益增加Kg倍，则闭环系统达到稳定 的临界状态。
7.7 控制系统的相对稳定性
根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚 好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。
7.7 控制系统的相对稳定性
➢相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的 极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线 G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系统的稳定程 度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越近，则闭 环系统的稳定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0) 点，则闭环系统处于临界稳定状态。 ➢稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常 用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。
上的正负穿越之差为p/2时（p 为系统开环右极点
数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。
如果开环系统稳定，即p＝0，则在对数幅频特性为正 的所有频段内，相频特性曲线不穿越-180°线，则闭环 系统稳定，否则，闭环系统不稳定。
二、 对数幅相频率特性的稳定性判据
开环传递函数含积分环节
此时需对对数频率特性曲线作修正：
jY ()
A 1
-1 0
X ()
稳定系统 (a)
1
负增益裕度
Kg
不稳定系统
(b)
L( )(dB)
L( )(dB)
正增益裕度
0
0
负增益裕度
-90° ()()
-90° ()()
-180° 正相角裕度
-270°
稳定系统 (c)
-180°
-270°
相角裕度和增益裕度
负相角裕度
不稳定系统 (d)
对于稳定的系统，L(ωg )必在Bode图0 dB线以下，这 时称为正增益裕度，如图 (c) 所示。对于不稳定系统， L(ωg )必在0dB线以上，这时称为负增益裕度，如图 (d) 所示。
可见，同样可以利用伯德图来判别系统的稳定性。 这种方法称为对数频率稳定性判据，简称为对数 判据或伯德判据，它实质上与乃奎斯特判据有密 切联系。
正穿越 增加时，
相角增大
负穿越 相角方向为正
1
L( )
()
c
负穿越 正穿越
L( )
c
()
负穿越 正穿越
Bode图相频曲线图上， (ω)从 －180°线以下增加 到－180°线以上，称为(ω) 对-180°线的正穿越(相