高中数学新人教版选修2-2课时作业：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念
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林老师网络编辑整理 3.1.1
数系的扩充和复数的概念
明目标、知重点
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
情境导学]
为解决方程x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一 复数的概念
思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2 如何理解虚数单位i?
答 (1)i2＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？
答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．
思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；
(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；
(4)实部为－2的纯虚数．
解 (1)存在且有无数个，如－2＋i等；(2)存在且不唯一，如1－2i等；(3)存在且唯一，即－2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0. 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 例2 当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)当 m2－2m＝0m≠0，即m＝2时，复数z是实数；
(2)当 m2－2m≠0，m≠0
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当 m2＋m－6m＝0m2－2m≠0，
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足mm＋2m－1＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
探究点二 两个复数相等
思考1 两个复数能否比较大小？
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
思考2 两个复数相等的充要条件是什么？
答 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
解 由复数相等的充要条件得 2x－1＝－y，1＝y－3. 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 解得 x＝－32，y＝4.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练3 已知x2－x－6x＋1＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
解 由复数相等的定义得
x2－x－6x＋1＝0.x2－2x－3＝0.解得：x＝3，
所以x＝3为所求．
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.2，1 B.2，5
C．±2，5 D．±2，1
答案 C
解析 令 a2＝2－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.
2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±2i D．±2i
答案 C
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
答案 B
解析 由题意知 mm＋1＝0m2－1≠0，
∴m＝0.
4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 ③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦2i是一个无理数．
其中正确命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
呈重点、现规律]
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．
一、基础过关
1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．
“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
2．下列命题正确的是( )
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
D．两个虚数不能比较大小
答案 D
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；
在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；
在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确． 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．－5＋5i
C．2＋i D.5＋5i
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.12 B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
x＋y＝0，x－1＝0，解得 x＝1，y＝－1，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案 A
解析 由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得 x2－1＝0，x－1≠0，解得x＝－1.
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析
m2＋m－2＝0m2－1≠0⇒m＝－2.
7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴ 2x－y＋1＝0，y－2＝0.解得 x＝12，y＝2.
所以实数x，y的值分别为12，2.
二、能力提升
8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．－1或－2
