n次方根与分数指数幂 教案

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第四章指数函数与对数函数

4.1 指数

【素养目标】

1．弄清()nna与nna的区别，掌握n次方根的运算．(数学抽象)

2．能够利用mnmnaa进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)

3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)

【学法解读】

本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

4.1.1 n次方根与分数指数幂

必备知识·探新知

基础知识

知识点一 n次方根

定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的___n次方根____，其中n＞1，且n∈N*

个数 n是奇数 a＞0 x＞0

x仅有一个值，记为na a＜0 x＜0

n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±na

a＜0 x不存在

思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？

提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．

知识点二 根式

(1)定义：式子___na__叫做根式，这里n叫做___根指数__，a叫做___被开方数__.

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①(na)n＝a.

②nan＝ a，n为奇数，|a|，n为偶数.

思考2：(na)n与nan中的字母a的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同．式子(na)n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，第 2 页 共 11 页 a∈R；式子nan中，a∈R.

知识点三 分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)

正分数指数幂

mnmnaa

负分数指数幂 11mnmnmnaaa

0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?

提示：(1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则mna，mna无意义；

(2)当a＝0时，a0无意义．

知识点四有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)

(1)rsrsaaa.

(2)()rsrsaa.

(3)()rrrabab.

思考4：同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除arbr分别等于什么？

提示：(1)ar÷as＝ar－s；

(2)arbr＝(ab)r.

第 3 页 共 11 页 基础自测

1.3－8等于( B )

A．2 B．－2

C．±2 D．－8

[解析] 3－8＝3－23＝－2.

2．下列各式正确的是( A )

A．33()aa B．44(7)7

C．55()||aa D．66aa

[解析] (3a)3＝a，(47)4＝7，(5a)5＝a，6a6＝|a|＝ aa≥0－aa<0，故选A．

3．324可化为( C )

A．8 B．432

C．18 D．342

[解析] 3233322211114284(2).

4．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是( D )

A．mmnnaaa B．nmmnaaa

C．( )nmmnaa D．01nnaa

[解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．

5．若66－x有意义，则实数x的取值范围为_____(－∞，6]___.

[解析] 要使式子66－x有意义，应满足6－x≥0，

∴x≤6.

第 4 页 共 11 页 关键能力·攻重难

题型探究

题型一 n次方根的概念

例1 (1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；

(2)已知x7＝6，则x＝__76__；

(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.

[分析] 解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．

[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.

(2)∵x7＝6，∴x＝76.

(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．

[归纳提升] (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；

(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．

【对点练习】❶计算下列各值：

(1)27的立方根是__3___；

(2)256的4次算术方根是__4___；

(3)32的5次方根是__2___.

[解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3.

(2)∵(±4)4＝256，∴256的4次算术方根为4.

(3)∵25＝32，∴32的5次方根为2.

题型二 利用根式的性质化简或求值

例2 化简：(1)3＋22＋3－22；

(2)5＋26－6－42＋7－43；

(3)32＋5＋32－5.

[分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．

(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．

[解析] (1)原式＝22＋22＋1＋22－22＋1

＝2＋12＋2－12＝2＋1＋2－1＝22.

(2)原式＝3＋22－2－22＋2－32

＝3＋2－(2－2)＋2－3＝22.

(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，

得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)， 第 5 页 共 11 页 即x3＝4－3x，所以x3＋3x－4＝0，

所以(x－1)(x2＋x＋4)＝0，x2＋x＋4＝(x＋12)2＋154>0，所以x－1＝0，x＝1，

所以32＋5＋32－5＝1.

[归纳提升] 形如A±B的双重根式，当A2－B是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．

【对点练习】❷计算下列各式：

(1)5－a5＝_______；

(2)63－π6＝________；

(3)614－3338－30.125＝______.

[解析] (1)5－a5＝－a.

(2)63－π6＝6π－36＝π－3.

(3)614－3338－30.125＝522－3323－3123＝52－32－12＝12.

题型三 根式与分数指数幂的互化

例3 用分数指数幂表示下列各式：

(1)a3·3a2；

(2)b3a·a2b6(a>0，b>0)；

(3)a－4b23ab2(a>0，b>0)．

[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．

[解析] (1)a3·3a2＝a3·a23 ＝a3＋23 ＝a113 .

(2)∵a>0，b>0，

∴b3a·a2b6＝a－1b312 ·a2b－612

＝a－12 b32 ·ab－3＝a12 b－32 ＝(a12 b－32 )12 ＝a14 b－34 .

(3)∵a>0，b>0，∴a－4b23ab2＝a－4b2a13 b23 ＝a－113 ·b83 ＝(a－113 b83 )12 ＝a－116

b43 . 第 6 页 共 11 页 [归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式amn ＝nam(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：

(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式．

(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．

【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为___11125____；

(2)4b－23 (b>0)化为分数指数幂的形式为____16b____；

(3)13x5x22(x≠0)化为分数指数幂的形式为____53x____.

[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125.

(2)原式＝(b－23 )14 ＝b－23 ×14 ＝b－16 .

(3)原式＝13x·x25 2＝13x·x45 ＝13x95 ＝1x95 13 ＝1x35 ＝x－35 .

题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值

例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；

(2)化简：3a72 a－3÷3a－83a15÷3a－3a－1.

[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．

[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.

(2)原式＝3a72 a－32 ÷a－83 a153 ÷3a－32 a－12

＝3a2÷a73 ÷3a－2

＝a23 ÷(a73 )12 ÷(a－2)13

＝a23 ÷a76

÷a－23

＝a23 －76 ÷a－23 ＝a－12 ＋23 ＝a16 .