新版高中数学北师大版必修5习题第三章不等式3.1

3.2 基本不等式与最大(小)值

第1课时 利用基本不等式求最值

课时过关·能力提升

1.设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1𝑎+1𝑏的最小值为( )

A.8 B.4 C.1 D.14

解析:因为3a·3b=3,所以a+b=1,所以1𝑎+1𝑏=(a+b)(1𝑎+1𝑏)=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2√𝑏𝑎·𝑎𝑏=4,当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=b=12时,等号成立.

答案:B

2.若x>0,则y=33x1𝑥的最大值是( )

A.3 B.33√2 C.32√3 D.1

解析:y=33x1𝑥=3(3𝑥+1𝑥)≤32√3𝑥·1𝑥=32√3,当且仅当3x=1𝑥,即x=√33时,等号成立.

答案:C

3.已知a>0,b>0,则1𝑎+1𝑏+2√𝑎𝑏的最小值是( )

A.2 B.2√2

C.4 D.5

解析:1𝑎+1𝑏+2√𝑎𝑏≥2√1𝑎𝑏+2√𝑎𝑏≥2√2√1𝑎𝑏·2√𝑎𝑏=4.

当且仅当{1𝑎=1𝑏,√1𝑎𝑏=√𝑎𝑏,即a=b=1时,等号成立,故1𝑎+1𝑏+2√𝑎𝑏的最小值为4.

答案:C

4.若x>1,则函数y=x2+11-𝑥2的最大值为( )

A.3 B.0 C.1 D.2

解析:当x>1时,x2+1𝑥2-1=x21+1𝑥2-1+1≥2√(𝑥2-1)·1𝑥2-1+1=3,当且仅当x=√2时,等号成立,所以x2+11-𝑥2≤3.

答案:A

5.若a>0,b>0,a+b=2,则y=1𝑎+4𝑏的最小值是(

)

A.72 B.4 C.92 D.5

解析:∵a+b=2,∴1=𝑎+𝑏2,4=2(a+b).

∴y=1𝑎+4𝑏=𝑎+𝑏2𝑎+2(𝑎+𝑏)𝑏=12+𝑏2𝑎+2𝑎𝑏+2=52+(𝑏2𝑎+2𝑎𝑏)≥52+2√𝑏2𝑎·2𝑎𝑏=92,当且仅当a=13,b=23时,等号成立.

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鑫达捷 第3章 3.1

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一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最小的一个是( )

A．a2＋b2 B．2ab

C．2ab D．a＋b

解析： 由基本不等式得a＋b2＞ab，

∴a＋b＞2ab.

又∵0＜a＜1,0＜b＜1，

∴ab＜1，∴ab＜1，∴2ab·ab＜2ab，

即2ab＜2ab.又2ab＜a2＋b2，∴2ab最小．

答案： C

2．设M＝3x＋3y2，N＝(3)x＋y，P＝3xy(其中0＜x＜y)，则M、N、P的大小顺序是( )

A．P＜N＜M B．N＜P＜M

C．P＜M＜N D．M＜N＜P

解析： 由基本不等式知3x＋3y2＞3x·3y＝3x＋y＝(3)x＋y，即M＞N.又∵x＋y2＞xy，而(3)x＋y＝3x＋y2＞3xy，即N＞P，

∴M＞N＞P.

答案： A

3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )

A．ab≤12 B．ab≥12

C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3

解析： ∵a＋b＝2，∴(a＋b)2＝4，

即a2＋b2＋2ab＝4，又∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥4，

∴a2＋b2≥2.

答案： C

4．已知a、b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是( ) & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &

鑫达捷 A.1ab≥8 B.1a＋1b≥4

C.ab≥12 D.1a2＋b2≤12

解析： ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1a＋1b＝1＋ba＋ab＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.

答案： B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与p＋q2的大小关系为______．

用心 爱心 专心 - 1 - 1.1 不等关系

分层训练

1.设a=2－5，b=5－2，c=5－25，则a、b、c之间的大小关系为____________.

解析：a=2－5=4－5＜0，∴b＞0.c=5－25=25－20＞0.

b－c=35－7=45－49＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a

2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.

解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km，则

19),8(x12)-9(x200, 219)8(x解之,得 256＜x＜260.答案：256＜x＜260

考试热点

3..若a＜b＜0，则下列不等式不能．．成立的是

A.a1＞b1 B.2a＞2b

C.|a|＞|b| D.（21）a＞（21）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·ab1＜b·ab1，即a1＞b1成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.

又（21）x是减函数，所以（21）a＞（21）b成立.

故不成立的是B.

答案：B

4. 已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0能推出ba11成立的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0ba11，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ.

拓展延伸

6. 若22,则的取值范围是

解析:由,2222,可得(,0)

1 §1 不等关系

课时过关·能力提升

1.已知a<0,-1

A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a

解析:∵-1b2>0>b>-1,即bab2>a.

答案:D

2.已知x>0,y>0,M=𝑥+𝑦2,N=2𝑥𝑦𝑥+𝑦,则M与N的大小关系为( )

A.M>N B.M≥N C.M≤N D.M

解析:M-N=(𝑥+𝑦)2-4𝑥𝑦2(𝑥+𝑦)=(𝑥-𝑦)22(𝑥+𝑦).

∵x>0,y>0,∴x+y>0.

又(x-y)2≥0,∴M-N≥0,即M≥N.

答案:B

3.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式表示就是( )

A.{𝑥≥95,𝑦≥380,𝑧>45 B.{𝑥≥95,𝑦>380,𝑧≥45

C.{𝑥>95,𝑦>380,𝑧>45 D.{𝑥≥95,𝑦>380,𝑧>45

答案:D

4.已知a,b,c均为实数,有下列命题:

①a

②𝑎𝑏

③a>b,则c-2a

④a>b,则1𝑎<1𝑏.

其中,正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①特殊值法.令a=-2,b=-1,则4>1,故①错;

②当b<0时,有a>bc,故②错;

③当a>b时,有-2a<-2b,从而c-2a

④当a>0,b<0时,显然有1𝑎>1𝑏,故④错.

综上可知,只有③正确,故选A. 答案:A

5.已知a,b,c∈R,且c≠0,则下列命题正确的是( )

A.如果a>b,那么𝑎𝑐>𝑏𝑐

B.如果ac

C.如果a>b,那么1𝑎<1𝑏 2 D.如果a>b,那么𝑎𝑐2>𝑏𝑐2

解析:举反例进行判断,取a=2,b=-1,c=-1,满足A,B,C中的条件.对A有𝑎𝑐<𝑏𝑐,故A错;对B有a>b,故B错;对C有1𝑎>1𝑏,故C错;对于D,∵c≠0,∴1𝑐2>0,由不等式的性质知,选项D正确.