已知三角函数值求角

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角；

2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。

新课引入：

sin4=_______,sin34=_______,sin54=_______,sin74=________.

结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题

例1、(1)已知sinx= 22，且x∈[-2，2],求x;

(2)已知sinx=22，且x∈[0，2],求x的取值集合。

解：（1）由正弦函数在区间[-2，2]上是增函数和sin4=22，可知符合条件的角有且只有一个，即4，于是x=4。

（2）因为sinx=22﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣4)=sin4=22，可知符合条件的角有且只有两个，即第一象限角4或第二象限角π﹣4即34。于是所求的x的集合是{4,34}。

方法总结：（1）决定象限（由三角函数值决定x是第几象限角）

（2）找锐角x1（由三角函数值的绝对值定对应的锐角x1）

（3）写出[0，2π]内的角（第一象限角为x1，第二象限角为π- x1，第三象限角为π+ x1 ，第四象限角为2π- x1 ）

（4）表主角（利用终边相同的角函数值相等的规律表示）

即：“一定、二找、三写、四表”。

注：本题还可以用三角函数图象、单位圆中的三角函数线求解，体现数形结合的思想。也可以把上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用。

第1页/共3页 高考数学知识点：已知三角函数值求角

（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx；

注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。

（2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x,高考英语，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。

（3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。

反三角函数的性质：

（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a（-1≤a≤1），

tan（arctana）=a；

（2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana；

（3）arcsina+arccosa=；

（4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。

已知三角函数值求角的步骤：

（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或第2页/共3页 终边在哪条坐标轴上）；

（2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1；

（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

已知三角函数值求角教案

林艳君

学习目的：

1、理解反正弦、反余弦、反正切的意义，会用反三角符号表示角。

2、会由已知三角函数值求角。

3、培养自己的数学应用意识、逻辑推理能力。

重点难点分析：

1、重点：已知三角函数值求角。

2、难点：⑴ 根据[0，2π]范围由已知三角函数值求角；

⑵ 对反正弦、反余弦、反正切概念及其符号的正确认识；

⑶ 用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。

时间：2010年5月11日

第一课时

学习过程：

一、回顾旧知识：

1、α，π－α，π＋α，2π－α，－α分别理解为哪些象限的角？

2、在区间,22上，满足条件sin11xaa的x有几个？

3、在区间0,2上，满足条件sin11xaa的x有几个？

二、新课讲授：

例１：⑴、已知sinx22，且x[，0]，求x的取值集合。

⑵、已知sinx22，且x[22，]，求x；

由例1思考已知三角函数值求角的方法是什么？

练习：已知sinx21，求x的取值集合。

例2：已知sinx31，且x[22，]，求x；

（回想反函数的定义）

三、反正弦的概念 根据正弦函数的性质，为了使符合条件sin11xaa的角x有且只有一个，我们选择闭区间,22作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件sin11xaa的角x叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即arcsinxa，其中,22x，且sinax．

说明：当11a时，arcsina表示,22内的一个角，其正弦值等于a，故sinarcsinaa．

第五单元5.8《已知三角函数值求指定范围的角》教案

授课题目 已知三角函数值求指定范围的角

授课课时 2 课 型 讲授

教学

目标 1. 知识与能力

（1）根据特殊三角函数值求出指定范围的角；

（2）借助计算器，解决已知任意三角函数值求角的问题.

2. 过程与方法

（1）问题探究由特殊到一般，展示规律发现的一般特征；

（2）发挥数学工具在问题解决过程中的重要作用.

3. 情感、态度与价值观

（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；

（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.

教学

重难点 重点：由三角函数值求角的问题；

难点：利用计算器处理问题的能力.

第1课时

教学过程

教学活动 学生活动 设计思路

已知特殊三角函数值求角

问题引入

如果6x，那么1 2sinx；反之，如果1 2sinx，那么6x吗？

一、探究新知

对于上述问题，由1 62sin可知，6x是满足1 2sinx的一个角，还有没有更多的角也能满足1 2sinx呢？我们借助正弦曲线来探究问题.

对给出的问题积极主动的思考，进行初步的探究.

通过问题探究，激发学生好奇心，增强学习热情

分析：

如图1所示，条件中的1 2sinx，在图像中就可以表示为1 2ysinx,问题就转化为求当1 2ysinx时x的取值，即直线12y与正弦曲线 ysinx交点所对应的x的值.

观察图像可知，直线12y与正弦曲线 ysinx的交点有无数个.

现设定[0,2]x，由图像可以，满足条件的交点共有两个.

因为1 02sinx，所以x为第一或第二象限角.

当x为第一象限角时，由1 2sinx可知，6x；

当x为第二象限角时，由诱导公式1 ()sin662sinx可知，

566x.

所以6x或56x.

二、例题讲解