两个重要极限、无穷小的比较

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

一、计划学时：2节

二、内容

三、要求

四、重点

五、难点

六、教学过程：

（一） 无穷小与无穷大

一、无穷小量

定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义：

定义2 设函数f(x)当x充分大时有定义。若  M>0， X >0， |x|> X  f (x) >M，则称函数f (x)当x→∞时为无穷大量，记为)()(xxf或)(limxfx.

注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x→0时，x1是无穷大；x→ -1时，2)1(1x也是无穷大；x→∞时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x→∞， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。将定义2中的“|x|> X”相应地改为“x< X ”和“x>-X ”即可得到x→∞时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。

例2 证明11lim1xx.

证  M >0，要使f (x) =│11x│>M，只要

| x -1|< M1，取  =M1，则当|1|0x时，

 │11x│>M， ∴ 11lim1xx.

注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图10—13 2)1(1xy

y=1

1

1 第 二周教案 （第二次） 高等数学A 13专业 日期：

教学内容 第二章 极限与连续

§2.6两个重要极限 预计学时 2

教学目的 会用两个重要极限求极限，会用简单的等价无穷小量代换求极限。

教学重点 用两个重要极限求极限，

教学难点 用两个重要极限求极限，

教学方法 理论与实例相结合

教学手段 板书+多媒体

教学方案

一. 极限存在的准则

定理2.11（准则1：夹逼原理）：如果在某一变化过程中，三个变量x,y,z总有关系zxy，且Azylimlim，则Axlim

证明：因为AzAylim,lim，所以|y-A|，|z-A|都是无穷小量，即

任意给定>0，某时刻以后

||Ay,||Az

即：AyA，AzA

又因为zxy，所以AxA，

即||Ax，这就证明了x-A是无穷小量，即Axlim。

例3：)1...2111(lim222nnnnn

单调增加数列：设数列)n(fyn，对任意正数n，恒有

)1()(nfnf，则)(nf为单调增加数列；

例如：0，1/2，2/3，……1-1/n，……

单调减少数列：设数列)n(fyn，对任意正数n，恒有

)1()(nfnf，则)(nf为单调减少数列；

例如：1,1/2，1/3,……1/n……

有界数列：如果存在两个常数n，M（m

定理2.12（准则2：单调数列存在定理）：如果数列)n(fyn是单调有界数列，则)(limnfn一定存在。

二. 两个重要极限

（1）1sinlim0xxx

（2）e)x11(limxx（幂指函数）或者e)x1(limx10x

2 e)n11(limnn（n为自然数）

1．第一个重要极限的应用

例4：求xxtanlim0x

解：xxtanlim0x=1xcoslimxxsinlimxcosxxsinlim0x0x0x

1 高等数学课程教案

授课题目 §2.6 两个重要极限 主讲人 刘艳

授课时间 2013年11月9日 课时安排 两课时

教学目的：

（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；

（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。

教学重点、难点

重点：两个重要极限公式及其变形式

难点：两个重要极限的灵活应用

授课类型：理论课 教学方式：讲授 教学手段：多媒体及板书结合

教学过程 备注

回顾：

说出函数极限的四则运算法则。

BAxgxfxgxfBxgAxf)(lim)(lim)]()(lim[,)(lim,)(lim:1则设法则

BAxgxfxgxfBxgAxf)]([lim)]([lim)]()(lim[,)(lim,)(lim2则：设法则

BAxgxfxgxfBBxgAxf)(lim)(lim)()(lim,0,)(lim,)(lim3则且：设法则

新课：

一、问题的提出

“00型”极限的计算方法 ，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“00型”都可以用这两种方法解决呢？

问题：如何求xxxsinlim0？

教师引导，学生回忆口述

提出问题，引发学生兴趣

2 准则1 （夹逼定理）设函数)(),(),(xhxgxf在0x的某一邻域),(0xU内满足

)()()(xhxfxg

且有极限Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则有Axfxx)(lim0

例1 求

0limsinxx

解 由题意，当02x时，0sinxx，因为0lim0xx，由定理得

0limsin0xx

例2. 求 xxcoslim0

解 由题意2)2(22sin2cos10222xxxx，因为02lim20xx，

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1 公 开 课 教 案

教 者 龚桂琼 科 目 数学 班 级 12级数一班

课 题 两个重要极限（一） 课 型

时 间 地 点

教材分析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。

学情分析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“00

型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。

教学目标 知识与技能：让学生了解公式1sinlim0xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。

情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。

教学重点 正确理解公式1sinlim0xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 教学难点 公式1sinlim0xxx的证明、公式及其变形式灵活运用。

教法学法

本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。