专题12 倍长中线问题(学生版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
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专题12 倍长中线问题
【规律总结】
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。
【典例分析】
例1.(2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,AD的取值范围是( )
A.1<AD<6 B.1<AD<4 C.2<AD<8 D.2<AD<4
例2.(2019·山东临沂市·八年级期中)如图,在△ABC中,△ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC△BC,则点A到直线CD的距离是_____.
例3.(2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末)在ABC与CDE中,90ACBCDE,26ACBC,2CDED,连接,AEBE,点F为AE的中点,连接DF,CDE绕着点C旋转.
(1)如图1,当点D落在AC的延长线上时,DF与BE的数量关系是:__________;
(2)如图2,当CDE旋转到点D落在BC的延长线上时,DF与BE是否仍有具有(1)中的数量关系,如果具有,请给予证明;如果没有,请说明理由;
(3)旋转过程中,若当105BCD时,直接写出2DF的值.
【好题演练】
一、单选题
1.(2021·全国八年级)如图,ABC中,D为BC的中点,点E为BA延长线上一点,DFDE交射线AC于点F,连接EF,则BECF与EF的大小关系为( )
A.BECFEF B.BECFEF C.BECFEF D.以上都有可能
2.(2020·四川绵阳富乐国际学校)如图,在ABC中,ABAC,AD是中线,AE是角平分线,点F是AE上任意一点(不与A,E重合),连接BF、CF.给出以下结论:①ABEBACEC;②1()2DAEACBABC;③11()()22ABACADABAC;④ABCFACBF.其中一定正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
3.(2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末)如图,在正方形ABCD中,MN分别是AD、BC边上的点,将四边形ABNM沿直线MN翻折,使得点A、B分别落在点'A、'B处,且点'B恰好为线段CD的中点,''AB交AD于点G,作DPMN于点P,交''AB于点Q.若4AG,则PQ________.
4.(2020·成都市树德实验中学九年级月考)如图,在矩形ABCD中,,EF分别为边CD,AD的中点,CF与EA、EB分别交于点M、N.已知8AB,12BC,则MN的长为______________.
三、解答题
5.(2020·宜春市宜阳学校八年级月考)阅读理解:
(1)如图1,在ABC中,若10AB,6AC,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E,使得ADDE,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在ABE△中,利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______.
(2)解决问题:如图2,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BECFEF. (3)问题拓展:如图3,在ABC中,D是BC边上的中点,延长DA至E,使得ACBE,求证:CADBED.
6.(2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考)在等腰RtAOB和等腰RtDOC中,90AOBDOC,连,ADM为AD中点,连OM.
(1)如图1,请写出OM与BC的关系,并说明理由;
(2)将图1中的COD△旋转至图2的位置,其他条件不变,(1)中结论是否成立?请说明理由.