专题12 倍长中线问题(学生版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

专题12 倍长中线问题

【规律总结】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【典例分析】

例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ）

A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4

例2．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC中，△ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC△BC，则点A到直线CD的距离是_____．

例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）在ABC与CDE中，90ACBCDE，26ACBC，2CDED，连接,AEBE，点F为AE的中点，连接DF，CDE绕着点C旋转．

（1）如图1，当点D落在AC的延长线上时，DF与BE的数量关系是：__________；

（2）如图2，当CDE旋转到点D落在BC的延长线上时，DF与BE是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

（3）旋转过程中，若当105BCD时，直接写出2DF的值．

【好题演练】

一、单选题

1．（2021·全国八年级）如图，ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DFDE交射线AC于点F，连接EF，则BECF与EF的大小关系为( )

A．BECFEF B．BECFEF C．BECFEF D．以上都有可能

2．（2020·四川绵阳富乐国际学校）如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，AE是角平分线，点F是AE上任意一点（不与A，E重合），连接BF、CF．给出以下结论：①ABEBACEC；②1()2DAEACBABC；③11()()22ABACADABAC；④ABCFACBF．其中一定正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题

3．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在正方形ABCD中，MN分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点'A、'B处，且点'B恰好为线段CD的中点，''AB交AD于点G，作DPMN于点P，交''AB于点Q．若4AG，则PQ________．

4．（2020·成都市树德实验中学九年级月考）如图，在矩形ABCD中，,EF分别为边CD，AD的中点，CF与EA、EB分别交于点M、N．已知8AB，12BC，则MN的长为______________．

三、解答题

5．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：

（1）如图1，在ABC中，若10AB，6AC，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得ADDE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．

（2）解决问题：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF． （3）问题拓展：如图3，在ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得ACBE，求证：CADBED．

6．（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）在等腰RtAOB和等腰RtDOC中，90AOBDOC，连,ADM为AD中点，连OM．

（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；

（2）将图1中的COD△旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．