对应题型5

第四单元多边形的面积一、比较图形的面积1.从量上来说：数方格2.从形上来说：（1）重叠法（即平移、轴对称）（2）割补法：出入相补（3）拼接法：3.图形面积相同，其形状可以是不同的。

二、认识底和高1.认识底和高（1）平行四边形的底和高：从平行四边形一边上的一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是平行四边形的底。

（2）三角形的底和高：三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

（3）梯形的底和高：从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的高。

（4）高和底的关系是对应的。

2.用三角板画高的方法：（①贴②移③画④标）（1）用三角板画出平行四边形的高的方法：把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

（2）用三角板画出三角形的高的方法：把三角板的一条直角边与三角形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边对应的顶点。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形一条边上的高。

（3）用三角板画出梯形的高的方法：把三角板的一条直角边与梯形的一条平行的边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是梯形一条边上的高。

3.底和高的条数对应题型：三、平行四边形的面积1.平行四边形的面积推导过程：利用割补法，可以把平行四边形转化成长方形，转化后的长方形面积与原平行四边形面积相等，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，因为长方体的面积=长×高，所以平行四边形的面积=底×高。

题型5 漫画类选择题题型概述漫画类选择题形式新颖、设计精巧、内容丰富、考核全面,使得整个试卷充满生机与活力,它是历年高考的重要题型。

这类试题利用漫画形象生动的特点,对某种错误的思想或行为进行辛辣而又不失幽默的讽刺和批判,从而给人以启迪和教育,同时考查学生分析问题、解决问题的能力。

该类试题的命题方式一般是给出一幅或一组漫画,有的还采用图文结合的形式,其题干以简单的文字提出问题,要求从备选项(题肢)中作出选择。

解题策略巧解漫画类选择题,除了采用解答选择题的常用方法外,还可采用“口诀”法解答。

学生应牢记下列口诀:字画要看全,褒贬弄明白,题旨是什么,联系课本选。

“字画要看全”,是指要看清漫画中的人和物,把握人、物的特征及其相互关系,注意漫画中的文字,分析漫画中的人、物与文字的关系,从整体上把握漫画的寓意。

“褒贬弄明白”,是指我们要先弄清漫画意思是褒还是贬,这对于选择有导向作用。

“题旨是什么”,是指在分析漫画的基础上,真正弄清漫画的寓意和主旨。

弄清题旨要通过分析与综合,实现从现象到本质、从表意到寓意的飞跃。

“联系课本选”,是指在具体做题时,应将题干、选项(题肢)和书本相关知识相联系,不能脱离课本知识。

注意:有时命题所选择的漫画不是单幅,而是一组漫画,这时在把握漫画寓意时,还要特别注意漫画中事情的来龙去脉、变化过程和发展趋势,以及对不同小幅漫画所体现的信息的异同等进行分析,才能有效地把握整组漫画整体上所要反映的意思。

典型例题漫画《再摔一跤》(作者:刘青云)启示我们,若要避免再摔一跤,需要( )A.看到道路曲折,坚信前途光明B.发挥主观能动性,遵循事物规律性C.承认和分析矛盾,揭露并解决矛盾D.尝试中积累经验,实现安全飞跃答案 C解析漫画反映出不搬石头摔跤,搬了还是要摔跤,即强调矛盾有普遍性,要承认矛盾,分析矛盾,揭露矛盾,并找到正确的办法解决矛盾,C项正确。

其余选项与漫画寓意不符。

题型集训1.观察漫画《爱斯基摩人教非洲人如何生活》。

[专题强化训练]1．(经典题)ⅠA、ⅦA族元素及其化合物在生活、生产中有广泛应用。

回答下列问题：(1)基态钠原子的核外电子排布式为_________________________________________；ⅠA族元素的基态原子的价电子的电子云轮廓图的形状为____________。

(2)与H2F＋互为等电子体的分子是____________(填一种即可)。

H2分子中原子轨道的重叠方式是________(填字母)。

A．s­s B．s-pC．p-p(3)OF2和O2F都是氧元素的氟化物，其中，OF2分子中氧原子的杂化类型是________；氯的某含氧酸的分子式为HClO x，其对应的含氧酸根离子的立体构型是三角锥形，则x＝________。

(4)碱金属单质的熔点随原子序数增大而降低，原因是________________________________________________________________________；而卤素单质的熔、沸点随原子序数增大而升高，原因是________________________________________________________________________。

(5)金属钠、钾的晶胞结构如图1所示，其中金属原子的堆积模式为________。

(6)氯化钠的晶胞结构如图2所示(白球代表Cl－，黑球代表Na＋)。

则氯化钠晶胞中Cl－的配位数为________。

解析：(1)基态钠原子的电子排布式为1s22s22p63s1或[Ne]3s1。

ⅠA族元素的价电子排布式为n s1，s轨道的电子云轮廓图的形状为球形。

(2)与H2F＋互为等电子体的分子有H2O、H2S、H2Se、H2Te。

基态氢原子只在1s轨道上有电子，H2分子中的两个氢原子成键时，两个s轨道“头碰头”重叠，故选A。

(3)OF2中氧原子的价层电子对数为4，氧原子的杂化类型是sp3。

专题02 图形的旋转（七大类型）【题型1 生活中的旋转现象】【题型2 利用旋转的性质求角度】【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【题型5 作图-旋转变换】【题型6 旋转对称图形】【题型7 旋转中周期性问题】【题型1 生活中的旋转现象】1．（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）A．钟表上的时针运动B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动D．将等腰三角形沿着底边上的高对折【答案】A【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确；B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误；D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误；故选：A．2．（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯【答案】B【解答】解：由题意知，匀速转动的摩天轮属于旋转，故选：B．3．（2021秋•栖霞市期末）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D 既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．4．（2022春•诏安县期中）下列现象不是旋转的是（ ）A．传送带传送货物B．飞速转动的电风扇C．钟摆的摆动D．自行车车轮的运动【答案】A【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A【题型2 利用旋转的性质求角度】5．（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）A．30°B．60°C．90°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．6．（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝50°，∴∠ABD＝∠ADB＝＝65°，又∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣65°＝25°，故选：B．7．（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，故选：B．8．（2023春•惠安县期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD．若点A、D、E在同一条直线上，则∠CAD的度数为（ ）A．.100°B．.90°C．.80°D．.110°【答案】A【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD，∴∠EBA＝80°，BE＝BA，∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠BAE＝∠CAB，∵∠CAD＝∠CAB+∠BAE，∴∠CAD＝∠BAE+∠E，∵∠EBA＝80°，∴∠E+∠BAE＝100°，即∠CAD＝100°，故选：A．9．（2023•普兰店区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）A．50°B．60°C．40°D．30°【答案】A【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．10．（2023•小店区校级一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（ ）A．35°B．40°C．50°D．70°【答案】B【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【题型3 利用旋转的性质求线段长度】11．（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP 绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）A．1B．C．2D．2【答案】B【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，∴PE＝＝＝，故选：B．12．（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）A．4B．2C．3D．【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，∴∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BC＝＝＝2，∴BB'＝2，故选：B．13．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）A．2B．C．5D．【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∵，∴BM＝3，在Rt△BMC中，由勾股定理得，CM＝＝5，∵将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，∴CM＝CE＝5，∴BE＝2，在Rt△CBE中，由勾股定理得，CE＝＝2，设点M到直线CE的距离为h，则S＝，△MCE∴h＝，∴点M到直线CE的距离是2，故选：D．14．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）A．B．C．1D．2【答案】C【解答】解：如图：OE交AB于点N，O交BC于点M，∵四边形ABCD和四边形OEFG是两个边长相等的正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BON＝∠MOC，在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴S△OBN ＝S△OCM，∴四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，∴两个正方形的重合部分的面积＝，故选：C．15．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（ ）A．B．C．1D．2【答案】D【解答】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．∴∠ADF＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠DAF＝∠GAB，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴点G、B、E共线，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴BE＝2，故选：D【题型4 旋转中的坐标与图形变换】16．（2023•沛县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（ ）A．（1，−）B．（−，1）C．（0，2）D．（，1）【答案】D【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，过A'作A'C⊥x轴于C，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴点A′坐标为（，1），故选：D．17．（2023春•六盘水期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点按顺时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（ ）A．（﹣6，1）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣6，﹣1）D．（﹣1，6）【答案】B【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点顺时针方向旋转90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴点B的坐标为（﹣1，﹣6），故选：B．18．（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A 顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，•∴∠ACO＝∠BAD，在△AOC和△BAD中，，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，∴OD＝AD+OA＝6，∴C（6，2）．故答案为：A．19．（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）【答案】C【解答】解：过A′作A'C⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴OC＝OB+BC＝7，∴点A'坐标为（7，4）．故选：C．20．（2023•柘城县模拟）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，将△OAB绕O点逆时针旋转30°，此时点A 的对应点A1的坐标为（ ）A．（3，）B．（，3）C．（2，2）D．（2，2）【答案】B【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1H⊥OB于H．∵B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，∴∠AOB＝30°，∠ABD＝60°，AB＝OB＝2，∴AD＝AB＝，∴OA＝2AD＝2，∵OA1＝OA＝2，∴△OAB绕点O逆时针旋转30°得到△OA1B1，则∠A1OH＝60°，∴OH＝OA1＝，A1H＝OH＝3，∴点A1的坐标是（，3），故选：B．21．（2023•大冶市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【答案】C【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），故选：C．【题型5 作图-旋转变换】22．（2023•蜀山区校级三模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，P即为所求．23．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.（2）如图，线段DE即为所求．24．（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）计算△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝4×2﹣＝．25．（2022秋•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．【答案】（1）图见解析，C1的坐标为（4，1）；（2）图见解析，点C2的坐标为（2，﹣5）．【解答】解：（1）△A1B1C1如图，点C1的坐标为（4，1）；（2）解：△A2B2C2如图；点C2的坐标为（2，﹣5）．【题型6 旋转对称图形】26．（2023•东方校级二模）将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）A．B．【答案】C【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确的是C选项图形．故选：C．27．（2023•宁江区三模）下列图形绕某点旋转90°后，能与原来图形重合的是（ ）A．B．【答案】B【解答】解：A、绕它的中心旋转60°才能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项符合题意；C、绕它的中心旋转180°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意．故选：B．35．（2023•海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）A．45B．60C．72D．144【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．28．（2023•南关区校级三模）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米．A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵三个叶片的总面积为12平方厘米，∴一个叶片的总面积为4平方厘米，∵∠AOB＝120°，∴阴影部分的面积之和一个叶片的总面积为4平方厘米，故选：B．29．（2022春•丰县月考）如图，以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，是旋转角可以为（ ）A．60°B．180°C．90°D．120°【答案】D【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，即可得到∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，所以旋转120°或240°后与原图形重合．故选：D．30．（2021春•子洲县期中）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）A．90°B．120°C．180°D．270°【答案】B【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故这个角不能是120°．故选：B．31．（2022秋•澄海区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为　72　度时，旋转后的五角星能与自身重合．【答案】见试题解答内容【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故答案为：72．【题型7 旋转中周期性问题】32．（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）【答案】C【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴，B 2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B 6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，∴点B2023的坐标为；故选：C．33．（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故选：B．34．（2023•叶县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x 轴上，点B（3，0），点D（1，2），将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【答案】D【解答】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每旋转4次则回到原位置，∵2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90°，∵点B（3，0），点D（1，2），∴C（3，2），∴第2023次旋转结束时，点C的坐标是（3，﹣2），故选：D．35．（2023春•迁安市期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如图所示：由A的坐标为可知：，AB＝3，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，，由旋转性质可知：△AOB≌△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝60°，OA′＝OA，∴∠A′OC＝180°﹣∠A′OB′﹣∠AOB＝60°，在△A′OC与△AOB中：，∴△A′OC′≌△AOB（AAS），∴，A′C＝AB＝3，∴此时点A′对应坐标为，当第二次旋转时，如所示：此时A′点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为，当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为，当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于2023÷6＝337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：D．36．（2023•太康县一模）如图，平面直角坐标系中，有一个矩形ABOC，边BO 在x轴上，边OC在y轴上，AB＝1，BO＝2．将矩形ABOC绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形A1B1OC1，再将矩形A1B1OC1，绕着点C1顺时针旋转90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋转下去，则经过第2023次旋转，点A的对应点的坐标是（ ）A．（3033，1）B．（3033，2）C．（3033，0）D．（3032，0）【答案】C【解答】解：由题意，A1（1，2），A2（3，0），A3（3，0），A4（4，1），……，四次应该循环，∵2023÷4＝505…3，∴A2023在x轴上，坐标为（505×6+3，0），即（3033，0）．故选：C．37．（2023•鲁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后，点B的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥y轴于H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝1，OH＝OA+AH＝3，由勾股定理得BH＝＝，∵AB＝OA＝2，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2BH＝2，∴B（，3），B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），....，6次一个循环，∴2023÷6＝337……1，∴第2023次旋转后，点B的坐标为（﹣，3）．故选：D．38．（2023•阜新模拟）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为（ ）A．（6070，2）B．（6072，2）C．（6073，2）D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2024÷4＝506，P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故选：C．。

列方程解分数应用题精选题型(量率对应)1. 小红看一本故事书,第一天看了全书的15,第二天看了全书的38,还剩51页没有看完,问这本故事书有多少页? 2. 八月份上旬生产钢材40万吨,中旬生产35万吨,下旬生产的是全月的83｡八月份共生产钢材多少万吨?3. 生产小组生产一批机器,第一天生产了30%,第二天生产了150台,还剩下这批机器的25没完成,这批机器有多少台? 4. 小明家买了一袋大米,第一周吃去9千克,第二周吃去了40%,还剩下6千克｡这袋大米共多少千克?5. 一批货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,还剩51吨,这批货物原有多少吨?6. 运一批煤,第一天运走这批煤的103,第二天运走了1吨,还剩下5.4吨,这批煤共有多少吨?7. 一批面粉,第一周吃去40%,第二周吃去500千克,还剩700千克｡这批面粉一共多少千克?8. 货场有一批棉花,第一天运走总数的40%,第二天运走15吨,还剩9吨,这批棉花一共有多少吨?9. 某修路队修一段路,第一天修了全长的25%,第二天修了全长的40%,还剩140米没有修｡这条路全长多少米?10. 一堆货物,上午运走它的30%,下午运走它的40%,还剩78吨,这堆货物共有多少吨? 11. 一批货物,第一次运走28吨,第二次运走总数的53,还剩51吨没有运走,这批货物原有多少吨?12. 一批化肥,第一次运走150袋,第二次运走200袋,还剩下总数的72｡这批化肥共多少袋?13.4700米没有铺｡这条公路全长多少米?14. 小明看一本书,第一天看了25页,第二天看了30页,还剩这本书的61没有看完,这本故事书共有多少页?15. 一根绳子,第一次剪去72米,第二次剪去72,还剩72米,这根绳子原来长多少米?16. 李叔叔对自己6月份的总收入做了如下安排｡(1)李叔叔6月份购买建设基金用去了1440元,那么李叔叔6月份的总收入是多少元?(2)李叔叔6月份在伙食费和房租费两项共用去多少元?17. 一桶煤油,第一次倒出总数的13,第二次倒出15.4升,还有20升,第一次倒出多少升煤油?18. 一根铁丝,第一次剪去41米,第二次剪去全长的41,还剩12米,求这根铁丝原长多少米?19. 一辆汽车从甲地驶往乙地,第一天行了全程的1/4,第二天行了全程的1/3,这时距乙地还有140千米,甲乙两地相距多少千米?20. 一根电线,第一次用去全长的14 ,第二次用去全长的25,这时还剩下35米,这根电线原来长多少米?21. 张鸣抄一篇稿件,第一次抄了1500个字,第二次抄了2000个字,这时还剩下这篇稿件的3/8没有抄,这篇稿件共有多少个字?22. 某工程队修筑一条马路｡第一天修了全长的3/10,第二天修了全长的2/5,还剩630米没有修｡这条马路全长多少米?23. 某套书分上､中､下三册,印上册用了全部印刷时间的40%,印中册用了全部印刷时间的36%,印下册用24天,印完全套书共用了多少天?24. 一根绳子,第一次剪去全长的51,第二次剪去43米,还剩2.05米｡这根绳子原来长多少米?25.26. 一本书,第一天看12页,第二天看了全书的31,还剩16页,这本书一共有多少页?27. 某乡修一条环山水渠,第一期工程修了全长的50%,第二期工程修了全长的30%,还剩800米没有修｡这条环山水渠长多少米?28. 一批货物,第一次运走总数的53,第二次运走200吨,还剩51吨没有运走,这批货物原有多少吨?29. 幼儿园买来一些苹果,第一天吃了1/5,第二天吃了1/4,还剩55千克,幼儿园买来多少千克苹果?30. 有一根绳子,第一次剪去全长的1/3,第二次剪去2米,这时还剩下一半｡这根绳子原来有多长?31. 筑路队铺一条公路,第一周铺了全长的81,第二周铺了900米,还剩4700米没有铺｡这条公路全长多少米?32. 小红看一本故事书,第一天看了32页,第二天看了全书的81,还剩下52页没有看,这本书共多少页?33. 一本故事书,小华第一周看了全书的83,第二周看了全书的51,还剩34页没有看,这本书共多少页｡34. 一袋米,第一周吃了40%,第二周吃了15,还剩6千克,这袋米原来有多少千克?35. 修一条公路,第一天修了全长的1/3,第二天修了全长的1/2,还剩下90千米没有修,这公路有多少千米?36. 筑路队修一条公路,第一天修了全长的1/5,第二天修了3/4千米,还剩2.05千米｡这条路全长多少千米?37. 小明要买不同档次的文具盒｡高档的5个,中档的占总数的75%,低档的占总数的61｡你知道小明一共要买多少个文具盒吗?38. 小明看一本故事书,第一天看了全书的17,第二天看了全书的15,还剩92页没有看｡这本书有多少页? 39. 小强读一本课外书,第一天读了全书的12%,第二天读了全书的13%,还余下60页没有读,这本书有多少页?40. 新建一条高速公路,第一期建了全长的83,第二期建了全长的41,还剩下24千米,这条公路全长多少千米?41. 织一批布,第一天织了总数的51,第二天织了100米,还剩下总数的157｡这批布一共多少米?42. 看一本书,上午看全书的25%,下午看45页｡还剩下31｡这本书多少页?43. 一本书小明第一天看了35%,第二天看了31页,还剩下34页没有看,他第一天看了多少页?44. 小刚看一本书,第一天看了18页,第二天看了全书的1/8,还余45页没有看,第二天看了多少页?45. 仓库有一批货物,第一天运出31,第二天运出52,还剩下66吨,仓库原来有货物多少吨?46. 有一桶油,第一次用去20%,第二次用去1.4千克,还剩1.6千克｡这桶油重多少千克? 47. 行一段路,客车第一小时行了这段路的1/4,第二小时行了这段路的2/5,距终点还有140千米｡这段路长多少千米?48. 一本书第一天看了31,第二天看了6页,这时还剩下一半,这本书有几页?49. 甲乙两组同学做花,甲组做的朵数是乙组的60%,乙组做的花拿走了70%后还剩27朵,甲组做了多少朵花?50. 妈妈买一件大衣用去所带钱的一半,买一条围巾又用去25元,最后还剩220元｡妈妈出门时带了多少钱?51.52. 工程队修一段公路,第一天修了全长的41,第二天修了150米,第三天全长的81,三天正好完成任务,这段公路长多少米?53. 化工厂卖一批化肥,第一天卖出52,第二天卖出5.2吨,这时还剩这批化肥的61｡这批化肥共有多少吨?54. 食堂运进一批大米,第一周吃了它的31,第二周吃了它的21,还剩下17021千克,这批大米原有多少千克?55. 修一条路,第一天修了全长的52,第二天修了全长的50%,还剩剩3.2km 没修,这条路全长多少千米?56. 小林看一本书,第一天看了这本书的51,第二天看了这本书的94,这时还有32页没有看,这本书有多少页?57. 从甲地到乙地,汽车第一次行了全程的25%,第二次行了全程的40%,这时离乙地还有175千米甲乙两地间的距离是多少千米?58. 小明有一本故事书,第一天看了16页,第二天看了20%,还剩下54页,这本书共有多少页?59. 一筐梨,先拿出140个,又拿出总个数的60%,这时剩下的梨正好是原来总个数的41,这筐梨有多少个?60. 有一袋米,第一周吃了40%,第二周吃了12千克,还剩6千克｡这袋大米原有多少千克?61. 一桶水第一次倒92,第二次倒31,还剩14千克,这桶水有多少千克?62. 王明从图书馆借了一本书,准备三天归还,她第一天看了全书的31,第二天看了48页,第三天看了全书的72,这本书全部看完,她第二天看了全书的几分之几?这本书共有多少页?63. 小波看一本书,第一天看了30页,第二天看了25%,还剩60页没看,这本书一共有多少页?64. 一桶油,第一次用去52,第二次用去31,还剩8千克｡这桶油多少千克?65. 施工队修一段公路,第一个月修了全长的41,第二个月修了1500米,第三个月修了全长的81,三个月正好完成任务｡这段公路长多少米?66. 李楠三天看完一本书,第一天看了全书的310,第二天看了24页,还剩下全书的25未看｡这本书共有多少页? 67. 甲､乙､丙三个修路队共同修完了一条公路｡下面是三位队长的一段对话:甲队长说:我们完成了全部任务的一半｡乙队长说:我们修了120米｡丙队长说:我们承担了全长的30%｡请你根据以上信息,算一算这条公路长多少米?68. 修一条公路,第一天修了全长的52,第二天修了全长的25%,还剩下1400米没修｡这条公路全长多少米?69. 一根电线第一次用去全长的51,第二次用去51米,还剩9米,电线长15米｡( )70. 一桶油,第一次用去12千克,第二次用去31,还剩12千克｡这桶油多少千克? 71. 有一桶油第一次倒出52千克,第二次倒出整桶油的31,这时桶里还剩522千克｡这桶油有多少千克?72. 一本故事书,第一天看了全书的20%,第二天看了28页,剩下15页没看,这本故事数多少页?73. 小华读一本科技书,第一天看了全书的41,第二天看了全书的52,还剩下28页没有看,这本书共有多少页?74. 李强看一本故事书,第一天看了25页,第二天看了这本书的14,还剩下62页没有看,那么李强第三天应该从第几页开始看起?75. 小明看一本《十万个为什么》,第一天看了85页,第二天看了65页,还剩下27没有看,这本书有多少页? 76. 某水泥专卖店运来一批水泥,第一天出售23%,第二天出售27%,这时还剩下1100吨,这批水泥共有多少吨?77. 修路队三天修完一段公路,第一天修了全长的40%,第二天修了2.5千米,第三天修了全长的21,这段公路长是多少千米? 78.79. 六福鸡场卖出一批肉鸡,第一次卖出肉鸡总数的40%,第二次卖出肉鸡总数的31,还剩肉鸡1200只,鸡场有肉鸡共多少只?。

专题15 反应热计算的几种类型目录一、热点题型归纳 (1)【题型一】热化学方程式的书写及判断 (1)【题型二】根据键能和能量计算反应热 (3)【题型三】根据比热公式计算反应热 (5)【题型四】根据盖斯定律计算反应热 (6)【题型五】根据反应途径计算反应热 (9)【题型六】多个反应综合选择判断型 (10)二、最新模考题组练 (12)【题型一】热化学方程式的书写及判断【典例分析】【典例1】（重庆市2022~2023学年高三上学期半期质量监测）下列热化学方程式正确的是（）。

A．31g白磷比31g红磷能量多bkJ：P（白磷、s）4P（红磷、s）△H＝－4bkJ·mol －1B．1mol SO2、0.5mol O2完全反应后，放出热量98.3kJ：2SO2（g）+O2（g）2SO3（g）△H＝－98.3kJ·mol－1C．H+（aq）+OH－（aq）H2O（1）△H＝－57.3kJ·mol－1：H2SO4（aq）+Ba（OH）（aq）BaSO4（s）+2H2O（1）△H＝－114.6kJ·mol－12D．H2的燃烧热为akJ·mol－1：H2+Cl22HCl △H＝－akJ·mol－1【解析】选A。

31g白磷比31g红磷能量多bkJ，则由白磷转化为红磷时会放出热量，且生成4mol红磷时放热4bkJ，故热化学方程式P（白磷、s）4P（红磷、s）△H＝－4bkJ·mol－1，A正确；1mol SO2、0.5mol O2完全反应后，放出热量98.3kJ，则2SO2（g）+O2（g）2SO3（g）表示有2molSO2参加反应，则放热应为98.3kJ×2，所以△H＝－196.6kJ·mol－1，B不正确；H2SO4（aq）+Ba（OH）2（aq）BaSO4（s）+2H2O（1）反应中，不仅包含反应H+（aq）+OH－（aq）H2O（1）△H＝－57.3×2kJ·mol－1，还包含SO42－（aq）+Ba2+（aq）BaSO4（s）的反应，所以H2SO4（aq）+Ba（OH）2（aq）BaSO4（s）+2H2O（1）△H ＜－114.6kJ·mol－1，C不正确；H2的燃烧热是指H2在O2中燃烧放出的热量，反应H2+Cl22HCl △H＝－akJ·mol－1中，没有标明各物质的状态，反应热的数值也不匹配，D不正确。

第三单元倍数与因数一、倍数与因数1.倍数与因数（1）概念：9×4＝36，36是9和4的倍数，9和4是36的因数。

（2）倍数与因数研究范围：只在自然数（零除外）范围内。

（3）倍数与因数的关系：倍数与因数是相互依存的关系，要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

3.找一个数的倍数的方法：（1）利用倍数与因数的意义，即乘法：（2）利用整除，即除法：3.一个数的倍数的特点：（1）一个数的倍数的个数是无限的.（2）一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

对应题型：二、2、5、3的倍数特征1.5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

2.2的倍数（1）2的倍数特征：个位上是2，4，6，8，0的数都是2的倍数。

（2）奇数和偶数的定义：像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，也叫偶数；像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，也叫奇数。

3.补充：2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。

4.3的倍数特征：各个数位上数字之和都是3的倍数。

5.扩展：（1）既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是10，最大两位数是90，最小三位数是100，最大三位数是990。

（2）既是3的倍数，又是5的倍数的最小两位数是15，最大两位数是90，最小三位数是105，最大三位数是990。

（3）既是2、3、5的倍数最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120，最大三位数是990。

6.9的倍数特征：各个数位上数字之和都是9的倍数，这个数也一定是3的倍数。

对应题型：三、找因数1.找因数方法（1）乘法（2）除法2.一个数的全部因数的书写格式：成对书写，并按照从小到大的顺序。

3.一个数的因数的特点：（1）一个数的因数的个数是有限的。

（2）一个数最小的因数是1，最大因数是它本身。

对应题型：四、找质数1.按照因数的个数分为3类，分别为质数、合数和1。

（1）质数的概念：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

切线问题综合近5年考情(2020-2024)考题统计考点分析考点要求2024年甲卷第6题，5分考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参(1)求在某处的切线(2)设切点求过某点的切线以及公切线(3)利用切线的条数求参数范围2024年新高考I 卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I 卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I 卷第7题，5分热点题型解读（目录）【题型1】求在曲线上一点的切线【题型2】求过某点的切线【题型3】已知切线斜率求参数【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值【题型5】奇偶函数的切线斜率问题【题型6】切线斜率取值范围问题【题型7】公切线问题【题型8】由切线条数求参数范围【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题【题型11】牛顿迭代法核心题型·举一反三【题型1】求在曲线上一点的切线函数y =f (x )在点A (x 0 ，f (x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0)，抓住关键y 0=f (x 0)k =f (x 0)1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线f x =x6+3x-1在0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-322.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.233.已知曲线f x =x ln x在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为()A.-2B.-1C.1D.24.(23-24高三·福建宁德·期末)已知函数f x 在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0，则f -1+ f-1=()A.-1B.0C.1D.2【题型2】求过某点的切线【方法技巧】设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值．5.(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条6.(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．7.已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为()A.1e ,-1B.e,1C.1e,1D.0,18.(2024·山西吕梁·二模)若曲线f x =ln x在点P x0,y0处的切线过原点O0,0，则x0=.9.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.10.(23-24高三·广东·期中)过点P1,1作曲线y=x3的两条切线l1，l2.设l1，l2的夹角为θ，则tanθ= ()A.513B.713C.913D.1113【题型3】已知切线斜率求参数已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．11.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知曲线f x =ln x +x 2a 在点1,f 1 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.12.(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线y =x 2-3ln x 的一条切线方程为y =-x +m ，则实数m =()A.-2B.-1C.1D.213.(2024·全国·高考真题)若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln (x +1)+a 的切线，则a =.14.(23-24高三·山西晋城·期末)过原点O 作曲线f (x )=e x -ax 的切线，其斜率为2，则实数a =()A.eB.2C.e +2D.e -215.(2024·四川·模拟预测)已知m >0,n >0，直线y =1ex +m +1与曲线y =ln x -n +3相切，则m +n =．16.(23-24高三·安徽合肥·期末)若函数f x =ln xx与g x =e x -a -b 在x =1处有相同的切线，则a +b =()A.-1B.0C.1D.217.(2024·河北沧州·模拟预测)已知直线l :y =kx 是曲线f x =e x +1和g x =ln x +a 的公切线，则实数a =．【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.18.(23-24高三·安徽·阶段练习)已知P 是函数f x =e x +x 2图象上的任意一点，则点P 到直线x -y -9=0的距离的最小值是()A.32B.5C.6D.5219.(23-24高三·广东惠州·阶段练习)已知点P 在函数f x =e 2x +x +9的图象上，则P 到直线l :3x -y -10=0的距离的最小值为．20.(23-24高三·河南南阳·阶段练习)点P 是曲线f (x )=x 上一个动点，则点P 到直线x -y +2=0的距离的最小值是()A.728B.74C.324D.3421.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)曲线y =ln (3x -2)上的点到直线3x -y +7=0的最短距离是()A.5 B.10C.35D.122.(23-24高三·河南·阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点P 是曲线y =3ln x -12x 2上任意一点，则P 到直线4x -2y +5=0的距离的最小值为.23.(2024·山西朔州·模拟预测)已知A ，B 分别为曲线y =2e x +x 和直线y =3x -3上的点，则AB 的最小值为.【题型5】奇偶函数的切线斜率问题奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.24.已知f x 为奇函数，且当x <0时，f x =xe x，其中e 为自然对数的底数，则曲线f x 在点1,f 1 处的切线方程为．25.(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f x 是偶函数，当x >0时，f x =x 3+2x ，则曲线y =f x 在x =-1处的切线方程为()A.y =-5x -2B.y =-5x -8C.y =5x +2D.y =5x +826.(2024·湖北·一模)已知函数f x 为偶函数，其图像在点1,f 1 处的切线方程为x -2y +1=0，记f x的导函数为f x ，则f -1 =()A.-12B.12C.-2D.227.已知f x 是奇函数，当x <0时，f x =xx +2，则函数f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.2x -y +1=0B.x -2y +1=0C.2x -y -1=0D.x +2y -1=028.(23-24高三·河南洛阳·期末)已知函数g x 为奇函数，其图象在点a ,g a 处的切线方程为2x -y +1=0，记g x 的导函数为g x ，则g -a =()A.2B.-2C.12D.-1229.(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (-x )+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是()A.3x -y -2=0B.3x +y -2=0C.3x +y +2=0D.3x -y +2=030.(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-231.(23-24高三·广东深圳·期中)已知函数f x =e x ln x 与偶函数g x 在交点1,g 1 处的切线相同，则函数g x 在x =-1处的切线方程为()A.ex -y +e =0B.ex +y -e =0C.ex -y -e =0D.ex +y +e =0【题型6】切线斜率取值范围问题利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率32.点P 在曲线y =x 3-x +23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.0,π2B.π2,3π4C.3π4,π D.0,π2∪3π4,π33.(2021·河南洛阳·二模)已知点P 在曲线y =x 3-x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是.34.过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为()A.0,3π4B.0,π2 ∪3π4,π C.3π4,πD.π2,3π435.(22-23高三·江苏镇江·阶段练习)点P 在曲线y =x 3-33x +14上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.5π6,π B.2π3,π C.0,π2 ∪5π6,π D.-π6,π2【题型7】公切线问题公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．公切线问题主要有以下3类题型(1)求2个函数的公切线解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解(2)2个函数存在公切线，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题36.(浙江绍兴二模T 15)与曲线y =e x和y =-x 24都相切的直线方程为.37.(2024·广东茂名·一模)曲线y =ln x 与曲线y =x 2+2ax 有公切线，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-12B.-12,+∞ C.-∞,12D.12,+∞ 38.(2024·福建泉州·模拟预测)若曲线y =x 2与y =te x t ≠0 恰有两条公切线，则t 的取值范围为()A.0,4e 2B.4e 2,+∞C.-∞,0 ∪4e2,+∞D.-∞,0 ∪4e 239.(23-24高三·江西吉安·期末)函数f(x)=2+ln x与函数g(x)=e x公切线的斜率为()A.1B.±eC.1或eD.1或e240.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f x =e x与曲线g x =ln x+2的公切线，则a+b的值为.41.已知直线l与曲线C1:y=x2和C2:y=-1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42.已知函数f x =mx+ln x,g x =x2-mx，若曲线y=f x 与曲线y=g x 存在公切线，则实数m的最大值为．43.(2024·湖南长沙·三模)斜率为1的直线l与曲线y=ln x+a和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为()A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或144.(长沙雅礼中学月考(六))已知函数f x =2ln x，g x =ax2-x-12a>0，若直线y=2x-b与函数y=f x ，y=g x 的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则a的取值范围是【题型8】由切线条数求参数范围设切点为P(x0 ， y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值，有多少个解对应有多少条切线．45.(2022年新高考全国I卷数学真题)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．46.(2024·河南信阳·模拟预测)若过点1,a仅可作曲线y=xe x的两条切线，则a的取值范围是. 47.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数f(x)=-x3+2x2-x，若过点P1,t可作曲线y=f x 的三条切线，则t的取值范围是48.(23-24高三·湖北武汉·阶段练习)已知过点A a,0可以作曲线y=x-1e x的两条切线，则实数a的取值范围是()A.1,+∞B.-∞,-e ∪2,+∞C.-∞,-2 ∪2,+∞D.-∞,-3 ∪1,+∞49.(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点3,0 作曲线f x =xe x 的两条切线，切点分别为x 1,f x 1 ，x 2,f x 2 ，则x 1+x 2=()A.-3B.-3C.3D.350.(2024·宁夏银川·二模)已知点P 1,m 不在函数f (x )=x 3-3mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与f (x )的图象相切，则实数m 的取值范围为()A.0,14 ∪14,12B.(-∞,0)∪14,+∞ C.0,14 ∪14,+∞ D.-∞,14 ∪12,+∞ 51.(2024·内蒙古·三模)若过点a ,2 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则a 的取值范围为()A.-∞,e 2B.-∞,ln2C.0,e 2D.0,ln252.已知点A 在直线x =2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y =x 3-x 相切，则点A 的轨迹长度为()A.2B.4C.6D.853.若曲线f x =xe x有三条过点0,a 的切线，则实数a 的取值范围为()A.0,1e 2B.0,4e 2C.0,1eD.0,4e54.若过点a ,b 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则()A.e b >0>aB.ln a >0>bC.e b >a >0D.ln a >b >055.(2024高三·辽宁本溪·期中)若过点1,b 可以作曲线y =ln x +1 的两条切线，则()A.ln2<b <2B.b >ln2C.0<b <ln2D.b >1【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.56.(2024·河北邢台·二模)已知函数f x =x 2+2ln x 的图像在A x 1,f x 1 ，B x 2,f x 2 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()A.x1+x2=2B.x1+x2=103C.x1x2=2 D.x1x2=10357.已知函数f x =a-3x3+a-2x2+a-1x+a若对任意x0∈R，曲线y=f x 在点x0,f x0和-x0,f-x0处的切线互相平行或重合，则实数a=()A.0B.1C.2D.358.(2024·辽宁·二模)已知函数y1=x12的图象与函数y2=a x(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a=，切线方程为.59.(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x+a2+ln x的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线y=f x 在点A,B处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是()A.-∞,1-2B.1-2,0C.-∞,1+2D.0,1+260.(23-24高三·辽宁·阶段练习)已知函数f x =x m-e x，曲线y=f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=x平行，则实数m的取值范围是()A.1-e-2,1B.-1-e-2,-1C.-e-2,0D.1-e-2,+∞61.(2024·河南·三模)已知函数f(x)=x+12e x,x>0,x3,x<0,点A，B在曲线y=f(x)上(A在第一象限)，过A，B的切线相互平行，且分别交y轴于P，Q两点，则BQAP的最小值为．62.(2024·北京朝阳·一模)已知函数f x =12sin2x.若曲线y=f x 在点A x1,f x1处的切线与其在点B x2,f x2处的切线相互垂直，则x1-x2的一个取值为.【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.63.(2024·全国·模拟预测)若直线y=2x-b与曲线f(x)=e2x-2ax(a>-1)相切，则b的最小值为()A.-eB.-2C.-1D.064.(2024·重庆·模拟预测)已知直线y=ax+b与曲线y=e x相切于点x0,e x0，若x0∈-∞,3，则a+b的取值范围为()A.-∞,eB.-e 3,eC.0,eD.0,e 365.(2024·广东广州·模拟预测)已知直线y =kx +b 恒在曲线y =ln x +2 的上方，则bk的取值范围是()A.1,+∞B.34,+∞C.0,+∞D.45,+∞66.已知直线y =kx +b 与函数f x =12x 2+ln x 的图象相切，则k -b 的最小值为．67.对给定的实数b ，总存在两个实数a ，使直线y =ax -b 与曲线y =ln x -b 相切，则b 的取值范围为.【题型11】牛顿迭代法数形结合处理68.(23-24高三·河南郑州·期中)“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r 是函数f x 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r 的实数x 0，x 1，x 2，⋯，x n ，其中x 1是f x 在x =x 0处的切线与x 轴交点的横坐标，x 2是f x 在x =x 1处的切线与x 轴交点的横坐标，⋯，依次类推．当x n -r 足够小时，就可以把x n 的值作为方程f x =0的近似解．若f x =115x 3-35x 2+2x -125，x 0=4，则方程f x =0的近似解x 1=．69.(2024·山东潍坊·三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0,f x 的图象在点x 0,f x 0 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1,f x 的图象在点x 1,f x 1 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1,x 2,⋯,x n ，它们越来越接近r ．设函数f x =x 2+bx ，x 0=2，用牛顿迭代法得到x 1=1619，则实数b =()11A.1B.12C.23D.3470.牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0，f x 的图象在横坐标为x 0的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1，f x 的图象在横坐标为x 1的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1，x 2，⋯，x n ，它们越来越接近r ．若f x =x 2-2x >0 ，x 0=2，则用牛顿法得到的r 的近似值x 2约为()A.1.438B.1.417C.1.416D.1.37571.(2023·湖北咸宁·模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton -Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r 是f x =0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，过点x 0,f x 0 作曲线y =f x 的切线l ：y -f x 0 =f x 0 x -x 0 ，则l 与x 轴交点的横坐标为x 1=x 0-f x 0 f x 0f x 0 ≠0 ，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x n +1=x n -f x n f x nf x n ≠0 ，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f x =ln x +x -3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)A.2.207B.2.208C.2.205D.2.20472.(多选)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法--牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是f x =0的根，首先选取x 0作为r 的初始近似值，在x =x 0处作f x 图象的切线，切线与x 轴的交点横坐标记作x 1，称x 1是r 的一次近似值，然后用x 1替代x 0重复上面的过程可得x 2，称x 2是r 的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数x 0,x 1,x 2,⋯,x n ,⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x n-1,x n n∈N∗近似值相等时，该值即作为函数f x 的一个零点r，若使用牛顿法求方程x2=3的近似解，可构造函数f(x)=x2-3，则下列说法正确的是()A.若初始近似值为1，则一次近似值为3B.x4=x0-f x0f x0-f x1f x1-f x2f x2-f x3f x3C.对任意n∈N∗，x n<x n+1D.任意n∈N∗，x n+1=12x n+32x nx n≠012。

专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）目录题型一：中点四边形题型二：正方形中的十字架模型题型三：四边形中的对角互补模型题型四：与正方形有关三垂线题型五：正方形与45°角的基本图题型一：中点四边形“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一一．选择题（共5小题）1．（2023春•栖霞区校级期中）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA 的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么至少应满足的条件是( )A ．AC BD ^B ．AC BD =C ．AB CD =D ．AD BC=2．（2023春•高港区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB CD =B ．AC BD ^C ．CD BC =D ．AC BD=3．（2023春•海州区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 只需要满足一个条件是( )A ．//AB CD B ．四边形是菱形C ．AC DB =D ．AD BC^4．（2023春•盱眙县期中）如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB CD =，下列结论：①四边形EFGH 是菱形；②EG FH ^；③若245BAD ADC Ð+Ð=°，则27.5EFH Ð=°；④1()2EG BC AD =-；其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是线段AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，需添加的条件是( )A ．AC BD =B ．AC BD ^C ．AB CD =D ．AB CD^二．填空题（共3小题）6．（2023春•大丰区期中）如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，顺次连结各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为 cm ．7．（2023春•梁溪区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ^，若12AC =，9BD =，则四边形ABCD 各边中点连线构成的四边形EFGH 的面积是= ．8．（2023春•苏州期中）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，对角线8AC BD +=，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．则四边形EFGH 的面积为 ．三．解答题（共4小题）9．（2023春•徐州期中）如图，E 、F 、G 、H 为菱形ABCD 各边中点．（1）求证：四边形EFGH 为矩形；（2）若6EFGH S =四边形，则ABCD S =菱形 ．10．（2023春•靖江市期中）如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ^，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111A B C D 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C ，3D ¼¼以此类推，取11n n A B --，11n n B C --，11n n C D --，11n n D A --的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111A B C D 的面积是 ；②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n = ；③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积 ．11．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，连接AC 、BD ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．12．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；D和MCB（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且AMDD为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．题型二：正方形中的十字架模型一．选择题（共2小题）1．（2022春•海门市校级期中）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE DF =，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE BF =；（2）AE BF ^；（3）AO OE =；（4）AOB DEOF S S D =四边形中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD 纸片沿EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，点D 与点H 重合，CG 与EF 交于点P ，取GH 的中点Q ，连接PQ ，则V GPQ 的周长最小值是（ ）A ．32+B C ．32+D ．92二．填空题（共2小题）3．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形ABOC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐-，则点A的坐标为 ．标为(2,3)Ð=°，4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD，四边形AECF分别是菱形与正方形．若22BAE Ð= °．则D三．解答题（共2小题）5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且=，连接BQ，AP．求证：BQ AP^．DQ CP6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：^，垂足为M．那么AE与BF相如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE BF等吗？（1）直接判断：AE BF（填“=”或“¹”)；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE BF^，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN AE^，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接D沿着AN翻折，点H落在点H¢处．AN，将AHN①四边形AHNH¢是正方形吗？请说明理由；¢的最小值为 ．②若6=，直接写出PH ANBD BPAB=，点P在BD上，3题型三：四边形中的对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型 3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）一．选择题（共1小题）1．（2023春•金湖县期中）如图，AC 是ABCD Y 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，105D Ð=°，则BAC Ð是( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°二．解答题（共3小题）2．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段AB 的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，AB 为边的等补四边形ABCD ；探究：（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB AD=，连接AC，AC是否平分BCDÐ？请说明理由．3．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；=，180（2）在“完美”四边形ABCD中，AB ADÐ+Ð=°，连接AC．B D①如图1，求证：AC平分BCDÐ；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分:ÐBCD想法一：通过180=，通过证明AEB ACDD@D，从而可证AC平Ð+Ð=°，可延长CB到E，使BE CDB D分BCDÐ；D，可证C，B，E想法二：通过AB AD=，可将ACDD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB三点在一条直线上，从而可证AC平分BCDÐ．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCDÐ；②如图2，当90Ð=°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．BAD4．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足180Ð+Ð=°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．A C（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且::2:3:4Ð的度数为 ；ÐÐÐ=，则AB C D（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，90=．BAD BCDÐ=Ð=°，AB AD求证：AC平分BCDÐ．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM BCD@D，得到ACMD是等=，连AM，可证明ABC ADM腰直角三角形，由此证明出AC平分BCDÐ，还可以知道CB、CD、CA三者关系为： ；=，试证明：（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60BADÐ=°，AB AD①AC平分BCDÐ；②CA CB CD=+；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60=，则BA、BC、BD三者Ð=°，AD CDABC关系为： ．题型四：与正方形有关三垂线一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形AFDC 是正方形，CEA Ð和ABF Ð都是直角，且E ，A ，B 三点共线，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题2．（2023春·八年级课时练习）如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．三、解答题3．（2022春·广东东莞·八年级塘厦初中校考期中）四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB＝4，CE＝CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．4．（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB，CF＝3，请直接写出DE的长．5．（2021春·山西·八年级统考期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE^交直线BC 于点F ．（1）试猜想线段DE 与EF 的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CE CD CF 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E 在线段CO 上时（不与点C ，O 重合），EF 交BC 延长线于点F ，保持其余条件不变，直接写出线段,,CE CD CF 之间的数量关系．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），EF AE ^与正方形的外角DCG Ð的角平分线交于点F ．(1)求证：AE EF =．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF 、BF ，BF 与AE 交于点H ，若正方形ABCD 的边长为4，则四边形ABFD 的面积是否随E 点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD 的面积．(3)在的（2）条件下，若4BCF S =△，求四边形AHFD 的面积．题型五：正方形与45°角的基本图一、填空题1．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45Ð=°，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM Ð=°；②290AMN MNC Ð-Ð=°；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．二、解答题2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．（1）求证：B ，M 关于AE 对称；（2）若EFC Ð的平分线交AE 的延长线于G ，求证：AG =．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF Ð=°，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．连结DM 并延长交AE 的延长线于N ，求证：45AND Ð=°．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）在图1中，若G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：①如图2，在直角梯形ABCD 中，()//AD BC BC AD >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE Ð=°，4BE =，求DE 的长．②如图3，在ABC V 中，45BAC Ð=°，AD BC ^，2BD =，3CD =，则ABC V 的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程）6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图正方形ABCD 的边OA 、OC 在坐标轴上，已知点()3,3B ．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连接AP 、AG ．（1）求PAG Ð的度数．（2）当OAG CPG Ð=Ð时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ^于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明V V ≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ¹时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN V 中，45MAN Ð=°，AH MN ^于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：四边形ABCD 为正方形，AMN D 是等腰Rt D ，90AM N Ð=°．（1）如图：当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF D 中AE 边上的高．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，将∠EAF 绕顶点A 旋转，角的两边始终与直线CD 交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接EF ．。